《基础数学（第3册）（第2版）》教案 第十三章 13.1椭圆（一）

课题椭圆（一）课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握椭圆的概念。（2）掌握椭圆的标准方程。（3）掌握椭圆的几何意义。（3）通过椭圆知识的学习与运用，培养学生的数学几何思维能力。素质目标：引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。教学重难点教学重点：椭圆的概念与标准方程教学难点：椭圆的几何意义教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学理念（1）通过生活中的实例导入椭圆的概念；（2）引导学生自然地认识椭圆的形成过程；（3）通过练习，巩固知识．（4）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学．教学设计第1节课：→→→问题→传授新知（15min）→→第2节课：→传授新知（25min）→课堂练习（10min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家回忆圆的概念和标准方称，体会圆形成的过程，并预习本节课的内容。【学生】完成课前任务通过课前的预热，让学生了解所学课程的大概内容，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况新课预热（5min）【教师】自我介绍，与学生简单互动，介绍课程内容、考核标准等【学生】聆听、互动【教师】介绍圆锥曲线在生活中的应用圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们在科学研究和我们的日常生活中应用非常广泛．例如，人造卫星的轨道是椭圆；发电厂冷却塔的轴截面曲线是双曲线；探照灯反光面的轴截面曲线是抛物线．圆锥曲线的广泛应用与其几何性质、光学性质是密不可分的．本章我们就来学习圆锥曲线的相关知识．【学生】聆听、记录、理解通过老师自我介绍，与学生相互熟悉，并让学生了解这章内容的大致要求问题导入（5min）【教师】提出以下问题：如图13-1所示，取一条定长的细绳，将它的两端分别固定在和两点．当细绳长大于和之间的距离时，用笔尖将细绳拉紧，让笔尖（即动点M）顺势在平面上移动一周．笔尖移动的轨迹就是一个椭圆．图13-1【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（15min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解椭圆的概念【知识精讲】【教师】根据导入问题讲解椭圆的概念1．椭圆的概念由上述得到椭圆的过程可以看出，椭圆上的点与两定点，的距离之和为一个定长．由此我们可以得到椭圆的概念：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点，称为椭圆的焦点，两焦点间的距离称为椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．【学生】理解、记忆、做笔记【头脑风暴｝【教师】提出问题在椭圆的概念中，为什么要强调常数大于呢？当常数等于或小于时，点的轨迹又是怎样的？【学生】讨论、质疑【教师】根据导入问题讲解椭圆的标准方程2．椭圆的标准方程如图13-2所示，以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．图13-2设椭圆的焦距为，则两个焦点的坐标分别为，．设为椭圆上任意一点，点到焦点，的距离之和为，则．因为，，所以．移项可得，两边分别平方，得，化简整理可得．两边分别平方，得，化简整理可得．已知，因此．令，则式可变形为，两边同时除以，得．这个方程就称为椭圆的标准方程，它表示焦点在轴上，中心在坐标原点上，焦点坐标为，的椭圆，其中．．图13-3这个方程也称为椭圆的标准方程，其中．【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例1求下列椭圆的焦点坐标．例1（1）； （2）．解（1）已知方程为椭圆的标准方程，且，因此这个椭圆的焦点在x轴上，且，．又因为，所以，该椭圆的焦点坐标为，．（2）将已知方程转化为椭圆的标准方程，得．由于，因此这个椭圆的焦点在y轴上，且，．又因为，所以，该椭圆的焦点坐标为，．例2求满足下列条件的椭圆的标准方程．例2（1）两个焦点的坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别为，，且图像经过点．解（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为．又因为，所以．又因为，所以．因此，所求椭圆的标准方程为．（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为．由椭圆的概念可知即．由此可得．因此，所求椭圆的标准方程为．【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生了解椭圆的概念和标准方程课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：1．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______________．2．已知椭圆的焦点坐标为，，图像经过点，则椭圆的标准方程为________________．3．下列方程中表示椭圆的是（）．A．B．C． D．4．椭圆的焦点坐标为（）．A．和 B．和C．和 D．和【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，及时了解学生知识掌握情况纠错记忆（8min）【教师】对学生进行同桌互助讨论（学困生回答）：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点，称为椭圆的焦点，两焦点间的距离称为椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．为什么要（大于请同学们讨论。【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错【教师】与学生一起纠错，并进行总结通过课堂讨论，加深学生对所学知识的理解，并培养学生的团队意识第二节课问题导入（5min）【教师】提出问题：中国国家大剧院是北京市的地标性建筑之一，如图13-4所示．远看时它的外形就是半个椭圆形，整个建筑倒映在水中时看起来就是一个完整的椭圆形．白天衬着蓝天和白云，晚上伴着月色和灯光，它就像一颗水上的明珠，格外美丽？观察图13-4，中国国家大剧院的椭圆外形有何特点？【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（20min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解椭圆的几何意义【知识精讲】【教师】根据导入问题讲解椭圆的范围、对称性、顶点和离心率、1．范围由可知，椭圆上任意一点的坐标都满足不等式，即，．这说明椭圆位于直线和所围成的矩形里，如图13-5所示．例如，椭圆位于直线和所围成的矩形里，如图13-6所示．图13-5图13-62．对称性在方程中，将换成，方程不变，这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，因此椭圆关于轴对称；同理，将换成，方程不变，因此椭圆关于轴对称；同理，将，分别换成，，方程也不变，因此椭圆关于原点对称．综上可知，椭圆既是分别以轴、轴为对称轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的中心对称图形．椭圆的对称中心称为椭圆的中心．3．顶点点，是椭圆与x轴的两个交点；同理，点，是椭圆与y轴的两个交点，如图13-7所示．图13-7因为轴和轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点称为椭圆的顶点．线段和分别称为椭圆的长轴和短轴．它们的长分别等于和，a和b分别称为椭圆的长半轴长和短半轴长．例如，椭圆的为，，，，长轴长为10，短轴长为6．4．离心率不同形状的椭圆，其扁平程度也不同，这一特征可通过椭圆的半焦距c及长半轴长a来反映．椭圆的半焦距与长半轴长之比称为椭圆的离心率，用表示，即．因为，所以．例如，椭圆的离心率为ca，于是越小，椭圆就越扁平；反之，c，从而b越a，椭圆就越接近于圆．．【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例3求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．例3（1）； （2）．解（1）将已知方程转化为椭圆的标准方程，得，其中，，，．因此，椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为，两个焦点的坐标分别为，，四个顶点的坐标分别为，，，．（2）将已知方程转化为椭圆的标准方程，得，其中，，，．因此，椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为，两个焦点的坐标分别为，，四个顶点的坐标分别为，，，．【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生掌握椭圆的几何意义课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：（1）； （2）．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，充分了解学情课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本次课学习了椭圆的概念，以及椭圆的标准方程。希望大家在课下多加复习，巩固所学知识，为后面的学习打下坚实的基础。【学生】总结回顾知识点总结知识点，加深学生对椭圆相关知识的印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业（1）阅读理解：教材13.1，小试牛刀13.1；（2）书面作业：小试牛刀13.1A组，（配套）学习与训