《基础数学（第3册）（第2版）》教案 第十二章 12.3平面向量的内积

课题平面向量的内积课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.（3）通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．素质目标：引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。教学重难点教学重点：平面向量数量积的概念及计算公式.教学难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学理念教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a,b>＝0时，a·b＝|a||b|；当<a,b>＝时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a|＝显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a,b>＝，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a·b＝0ab”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．教学设计第1节课：→→问题→传授新知（15min）→→第2节课：→传授新知（25min）→课堂练习（5min）→纠错记忆（5min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务回忆物理学中物体做功的概念。并预习本节课的内容。【学生】完成课前任务通过课前的预热，让学生了解所学课程的大概内容，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（10min）【教师】提出以下问题：如图12-27所示，如果一个物体在力F的作用下发生位移s，那么力F所做的功为．这表明，力F所做的功等于力F的大小、位移s的大小及力F与位移s夹角余弦的乘积．图12-27【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（15min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解向量的内积【知识精讲】【教师】根据导入问题讲解向量的内积如图12-28所示，设有两个非零向量，作出，则称为向量的夹角，记作．图12-28显然，当时，a与b同向；当时，a与b反向；当时，a与b垂直，记作．于是，我们将称为向量的内积（或数量积），记作，即由向量内积的定义可以得出以下结论．（1），．（2）同向时，；反向时，．（3）当时，有；反之，当时，有．因此，．（4），即．向量的内积还具有以下性质．（1）．（2）．（3）．【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例1若，，，的夹角θ为，求．例1解

例2已知，求的夹角θ．例2解因为所以【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生掌握向量的内积课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：1．已知，，的夹角θ为，求：（1）；（2）；（3）．2．已知，求．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，及时了解学生知识掌握情况讨论归纳（8min）【教师】提出问题：根据变式讨论公式形成的过程得然后讨论时公式的变化以及时公式的变化。【学生】聆听、思考、同桌讨论【教师】与学生一起讨论，并进行归纳通过课堂讨论，加深学生对所学知识的理解，并培养学生的团队意识第二节课问题导入（5min）【教师】提出问题：位移和力都是向量，而力在这个位移中做的功可以由两个向量进行内积运算得到．当位移和力方向相同、相反，或者不在一条直线上时，该如何计算力在这个位移中做的功呢？【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（25min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，复习各象限角的函数值正负号【知识精讲】平面向量内积的应用通常包括几何上的应用和物理上的应用两方面，其在物理上的应用通常是建立在几何应用的基础上．【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例3平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型．如图12-29所示，，，求平行四边形两条对角线长度与两条邻边长度之间的关系．例3图12-29即平行四边形两条对角线长度的平方和等于两条邻边长度平方和的二倍．例4如图12-30所示，已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平面上运动了．求力和摩擦力所做的功分别是多少？（）例4图12-30解如图12-30所示，设木块的位移为，则木块所受的重力大小为将力分解，它在铅垂线方向上的分力的大小为得到摩擦力的大小为因此即力和摩擦力所做的功分别是和．【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生掌握各象限角的三角函数值课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：1．在中，若，则是（）．A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形2．如图12-31所示，一个三角形铁支架安装在墙壁上，，在处挂一个的物体，求与所受的力．图12-31【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，充分了解学情课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本次课学习了平面向量的内积。希望大家在课下多加复习，巩固所学知识，为后面的学习打下坚实的基础。【学生】总结回顾知识点总结知识点，加深学生对向量内积相关知识的印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业（1）读书部分：教材章节12.3；（2）书面作业：小试牛刀12.3；（3）实践调查