《高职应用数学》教案 第28课 空间解析几何简介

第28课空间解析几何简介课题空间解析几何简介课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．理解空间直角坐标系2．理解曲面方程的概念，掌握常见曲面及其方程3．理解空间曲线思政育人目标：通过讲解空间解析几何的相关知识，启迪学生要善于辩证处理学习和生活中遇到的各类困难和问题；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：空间直角坐标系、曲面及其方程、空间曲线教学难点：了解多元函数微积分在空间解析几何中的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→趣味阅读（10min）→讲授新课（33min）第二节课：讲授新课（22min）→课堂测验（10min）→课堂指导（10min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前问答题：（1）什么是空间解析几何？（2）多元函数微积分与空间解析几何的关系是什么？（3）什么是空间直角坐标系？（4）什么是曲面方程？（5）什么是空间曲线？【学生】查找资料，预习教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况趣味阅读（10min）【教师】讲述《阿基米德轶事》【学生】聆听、理解通过故事导入，吸引学生关注，调动学生的主观能动性讲授新课（33min）【教师】通过图示讲解空间直角坐标系的概念过空间一定点O，作三条互相垂直的数轴Ox轴（横轴）、Oy轴（纵轴）、Oz轴（竖轴），三条数轴符合右手规则（即用右手握住z轴，当右手的四个手指从x轴正向以的角度转向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向，如图6-1所示），这就构成了一个．我们把点O称为坐标原点，数轴Ox，Oy，Oz称为坐标轴，平面xOy，yOz，zOx称为坐标面．三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限，如图6-2所示．在xOy坐标面上方有四个卦限，下方有四个卦限．含x轴、y轴、z轴正向的卦限称为第一卦限，然后沿着z轴正向看时，按逆时针顺序依次为第二、三、四卦限；分别位于第一、二、三、四卦限下面的四个卦限，依次为第五、六、七、八卦限．这八个卦限分别用字母Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ表示．图6-1图6-2【教师】讲解空间点的坐标图6-3设M为空间中一点，过M点作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P，Q，R，如图6-3所示，设P，Q，R三点在三个坐标轴的坐标依次为x，y，z．由此，空间一点M就唯一地确定了一个有序三维数组，称为点M的直角坐标，x，y，z分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作．图6-3八个卦限中点的坐标的特点如下：第一卦限：，，； 第二卦限：，，；第三卦限：，，； 第四卦限：，，；第五卦限：，，； 第六卦限：，，；第七卦限：，，； 第八卦限：，，．【教师】讲解两点间距离的求法，并通过例题介绍其应用设，为空间两点，如图6-4所示，则点与点之间的距离为．图6-4特别地，点与原点之间的距离为．例1求点到三条坐标轴的距离．例1解设点M在x轴的投影为点P，则点P的坐标为，且线段MP的长就是点M到x轴的距离．由空间中两点间的距离公式可得．同理，点M到y轴和z轴的距离分别为，，其中，Q，R分别是点M在y轴和z轴上的投影点．【学生】理解直角坐标系的概念，掌握空间点的坐标和两点间的距离的求法学习直角坐标系。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第二节课讲授新课（22min）【教师】讲解曲面方程的概念，介绍几种常见曲面及其方程，通过由易到难的例题使学生掌握其应用；通过图形讲解空间曲线，并通过例题介绍空间曲线的应用【教师】讲解曲面方程的概念在空间解析几何中，我们把曲面看成是空间中按照一定规律运动的点的轨迹．空间中的点按一定的规律运动，它的坐标就要满足某个关系式，这个关系式就是曲面方程，记作．于是有下列定义．若曲面∑上任意一点的坐标都满足方程，不在曲面∑上的点的坐标都不满足方程，则称方程为曲面∑的方程，而曲面∑称为方程的图形．【教师】介绍几种常见曲面及其方程，通过由易到难的例题使学生掌握其应用1）球面图6-5现在建立球心在点，半径为的球面的方程．图6-5设点为球面上任意一点，如图6-5所示，则．于是有，即，将上式展开并整理，可得，即有．显然，球面上的点的坐标都满足上述方程，不在球面上的点的坐标都不满足该方程，因此它就是所求的球面方程．特别地，球心在原点，半径为R的球面的方程为．例2方程表示怎样的曲面？例2解通过配方可将原方程写成，将上式与对比，可知它表示球心在点，半径为的球面．2）柱面图6-6动直线L沿定曲线C平行移动所形成的曲面称为柱面．定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线，如图6-6所示．图6-6下面我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面（即母线平行于某坐标轴的柱面）．先看一个例子．设一个圆柱面的母线平行于z轴，准线C是xOy平面上以原点为圆心，R为半径的圆．在平面直角坐标系中，准线C的方程为，现在我们来求这个圆柱面的方程．图6-7设点为圆柱面上任意一点，过点M的母线与xOy平面的交点一定在准线C上，如图6-7所示．因此，不论点M坐标中的z取什么值，它的横坐标x和纵坐标y必定满足方程．反之，不在圆柱面上的点的坐标不满足该方程，因此所求圆柱面的方程为．图6-7由此可知，在平面直角坐标系中，方程表示一个圆，而在空间直角坐标系中，方程表示一个母线平行于z轴的圆柱面．一般地，如果柱面的准线是xOy平面上的曲线C，它在平面直角坐标系中的方程为，那么以C为准线，母线平行于z轴的柱面方程就是．类似地，方程表示母线平行于x轴的柱面，方程表示母线平行于y轴的柱面．由此可见，在空间直角坐标系Oxyz中，只含两个变量的方程表示母线平行于所缺坐标轴的柱面．3）旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面，这条定直线称为旋转曲面的轴．例如，在yOz坐标面上的抛物线，把这条曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，如图6-8所示．（a）（b）图6-8在曲线方程中，将y换成，便得到旋转曲面的方程，即．一些常用空间曲面的方程及图像如表6-1所示．表6-1【教师】通过图形讲解空间曲线，并通过例题介绍空间曲线的应用空间曲线可以视为两个曲面的交线．设两个曲面方程分别为图6-9；．图6-9它们的交线为C，如图6-9所示．因为曲线C上的任意一点的坐标都同时满足这两个方程，不在曲线C上的点的坐标不能同时满足这两个方程，所以方程组就是曲线C的方程．例如，方程组中第一个方程表示以原点为球心、R为半径的球面，第二个方程表示xOy面，因此方程组表示球面与xOy面的交线，即xOy面上以原点为圆心、R为半径的圆．例3（地球赤道曲线）设地球是半径为6371km的球体，若以地球球心为坐标原点，赤道所在平面为xOy平面，以0度经线方向为x例3解将地球视为以原点为球心，半径为6371km的球，球面方程为，因为赤道所在平面为xOy面，即赤道所在平面方程为，所以，赤道的曲线方程为【学生】理解曲面方程的概念，掌握常见曲面方程的应用；理解空间曲线，掌握其应用学习曲面及其方程、空间曲线。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂指导（10min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，让答题快且正确的同学上台解答，为同学们做示范。如果题目比较难，无人答对则老师示范。【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家理解了空间直角坐标系的概念、曲面方程的概念和空间曲线，掌握了常见曲面及其方程的应用，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作