《高职应用数学》教案 第27课 定积分的应用

第27课定积分的应用课题定积分的应用课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．理解定积分的微元法2．了解定积分在几何上的应用3．了解定积分在物理上的应用4．了解定积分在经济上的应用5．掌握用MATLAB求定积分的方法思政育人目标：借助直观的几何图形讲解微元法，并介绍定积分在几何、物理和经济领域的应用，使学生体会到数学在实际问题中的应用，增加学生的学习兴趣；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：定积分的微元法、定积分在几何上的应用、定积分在物理上的应用、定积分在经济上的应用教学难点：了解定积分在几何上的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→复习（10min）→讲授新课（33min）第二节课：讲授新课（20min）→课堂测验（10min）→数学实验（12min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前任务：复习定积分的定义和几何意义【学生】查找资料，预习教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况复习（10min）【教师】提前设计好复习题目（定积分的定义和几何意义），并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习所学知识，为讲授新课打好基础讲授新课（33min）【教师】讲解定积分的微元法应用定积分解决实际问题时，常用的方法是定积分的微元法，下面说明应用微元法解题的过程．我们已经知道，由闭区间上的连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形的面积S，通过“分割—近似代替—求和—求极限”四步，可表达为特定和式的极限，即．由于S的值与对应区间的分法及的取法无关，因此将简记为，区间长度即为．若取，则段所对应的曲边梯形的面积近似为．我们将称为面积S的微元，记作dS，即．以面积S的微元为被积表达式，在区间上作定积分，得．可见，面积S就是微元在上的积分．一般地，我们把在区间上某个量U的定积分计算方法简化为两步：第一步：将量U依赖的区间进行任意分割，代表性小区间记为，求出量U对应于代表性小区间上的微元（的近似值）．第二步：将微元在区间上积分（无限累加），即得．这种方法称为定积分微元法．微元法中，第一步写出变量的微元是关键，通常运用“以常量代替变量，以直边代替曲边，以均匀量代替不均匀量”等方法．微元法是一种实用性很强的数学方法和变量分析方法，在工程实践、经济管理和科学技术中有着广泛的应用．【教师】借助直观的几何图形，讲解利用定积分求平面图形的面积的方法设平面图形是由区间上的连续曲线及直线围成的，如图5-15所示．取为积分变量，在变化区间上任取一小区间，其所对应的面积微元为．由微元法可知，该平面图形的面积为．若平面图形是由区间上的连续曲线及直线围成的，如图5-16所示，那么该平面图形的面积为．图5-15图5-16例1例1图5-17解（1）先解方程组确定图形所在的范围，得交点坐标为及，如图5-17所示．取为积分变量，从而图形在直线之间，即积分区间为．图5-17（2）在区间上任取一小区间，对应的窄条面积近似于以为高，为底的小矩形的面积，从而得面积微元．（3）所求面积为．（例2、例3详见教材）【教师】借助直观的几何图形，讲解利用定积分求空间立体的体积的方法1）旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内的一条直线旋转一周而成的立体，这条直线称为旋转体的轴．球体、圆柱体、圆台、圆锥、椭球体等都是旋转体．类型1若一旋转体是由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的，如图5-21所示，求它的体积．取横坐标为积分变量，积分区间为，用过点x()且垂直于轴的平面截旋转体，得到截面半径为．从而所求体积为．类型2若旋转体是由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的，如图5-22所示．同理可求得其体积，即．图5-21图5-22例4求由所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积．例4解如图5-23所示，所求旋转体的体积为．（例5详见教材）2）平行截面面积为已知的立体体积图5-25设一立体位于平面与之间，如图5-25所示，用任意一个垂直于轴的平面截此物体所得的截面面积是上的连续函数，在上取一小区间，其相应薄片体积的近似值是底面积为、高为的柱体体积．于是该立体的体积微元为图5-25．将其在上积分，即得该立体的体积为．在实际应用时，通常情况下需要通过求解得到．例6为了修建水库，需要拦河修筑土坝，若某段河床的横向坡度（坡面的垂直高度和水平距离的比）为1∶100，土坝的顶宽为4m，横断面为等腰梯形，边坡为1∶2，一端的坝高为10m，求修筑100m长的土坝所需的土方量．例6解建立直角坐标系（见图5-26），则过和两点的直线方程为，从而垂直于轴的横截面面积为．所需的土方量为．图5-26【教师】借助直观的几何图形，讲解利用定积分求平面曲线的弧长的方法图5-27现在来计算曲线上从到的一段弧的长度，如图5-27所示．图5-27取横坐标为积分变量，其变化区间为．若函数具有一阶连续导数，则曲线上任意一小区间上一段弧的长度微元可用该曲线在点处切线上相应的长度近似代替，而切线上这一小段的长度为，从而曲线的弧长为．若曲线的方程为参数方程其中，取参数为积分变量，其变化区间为，则任意一小区间上一段弧的长度近似为．于是，所求曲线长为．例7计算曲线上从0到2的一段弧长．例7解因为，所以所求曲线长为．【学生】理解定积分的微元法，了解定积分在几何上的应用学习定积分的微元法，以及定积分在几何上的应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第二节课讲授新课（20min）【教师】借助实际案例，讲解定积分在物理上的应用1．变力做功如果一个物体在恒力的作用下，沿力的方向移动距离，则力对物体所做的功是．如果一个物体在变力的作用下做直线运动，不妨设其沿轴运动，那么当物体由轴上的点a移动到点b时，变力对物体所做的功是多少呢？我们仍然采用微元法，所求功对区间具有可加性．设变力是连续变化的，分割区间，任取一个小区间，由的连续性可知，物体在这一小段路径上移动时，的变化很小，于是可以得到功的微元．将微元从到b积分，得到整个区间上力所做的功为．图5-28例8如图5-28所示，某空气压缩机的活塞面积为，在等温压缩过程中，活塞由处压缩到处，求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功．图5-28例8解建立数轴，一定量的气体在等温条件下，压强p与体积的乘积为常数，即．由题意可知，体积是活塞面积与任意一点位置的乘积，即，因此．于是气体作用于活塞上的力为．因此，活塞所用的力，力所做的功为．2．液体压力现有一面积为的平板，水平置于密度为、深度为的液体中，则平板一侧所受的压力值为．图5-29若将平板垂直放于该液体中，对应不同的液体深度，其所受的压强值也不同，那么平板所受压力该如何求解呢？图5-29建立如图5-29所示直角坐标系，设平板边缘的曲线方程为，则所求压力F对区间具有可加性．在上任取一个小区间，将其对应的小横条上每个点的液面深度近似看成，且将液体对它的压力近似看成长为、宽为的小矩形所受的压力，根据微元法，可以知道压力的微元为．于是所求压力为．例9如图5-30所示，有一半径为3m的圆形溢水洞，试求水位为3m时作用在闸板上的压力例9图5-30解积分变量的变化区间为，其压力微元为图5-30．于是所求压力为．将，m/s2，m代入上式得．【教师】借助实际案例，讲解定积分在经济上的应用定积分在经济问题中的应用是多方面的，下面例10和例11体现了已知某经济量的变化率（即边际函数）如何求该经济量，例12是关于有效时段的问题．例10（利润问题）某公司每个月生产q台电视机，边际利润（单位：例10．目前公司每月生产1500台电视机，并计划提高产量，问每月生产1600台电视机时，利润增加多少？解．故当电视机的产量每月从1500台增加到1600台时，利润增加1000元．（例11、例12详见教材）【学生】了解定积分在物理和经济上的应用学习定积分在物理和经济上的应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目的正确答案，并演示解题过程通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象数学实验（12min）☞使用MATLAB进行数学实验【教师】演示用MATLAB求定积分通过前面的学习，我们知道积分运算过程比较复杂，但是利用MATLAB求解就非常容易了．在MATLAB中，积分由int函数来实现，该函数可求不定积分、定积分和广义积分，其基本格式如下：int(f)：表示函数f对默认自变量x的不定积分，即求；int(f,t)：表示函数f对自变量t的不定积分，即求；int(f,x,a,b)：表示函数f对自变量x从a到b的定积分，即求．例1计算不定积分．例1解在命令窗口输入：>>symsx %创建符号变量x>>f=2*x/(1+x^2); %定义函数>>f1=int(f,x) %对函数f求不定积分按回车，输出结果为f1=log(1+x^2) %输出的积分结果为例2计算定积分．例2解在命令窗口输入：>>symsx %创建符号变量x>>f=sqrt(4-x^2); %定义函数>>f1=int(f,x,0,2) %对函数f从0到2求定积分按回车，输出结果为f1=pi %输出的积分结果为【学生】观看、聆听、记录、思考通过演示使用MATLAB进行数学实验的过程，使学生了解数学在实际中的应用课堂小结（3分钟）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家理解了定积分的微元法，并了解了定积分在几何、物理和经济上的应用，还掌握了用MATLAB求定积分的方法