机器人技术课件

机器人技术

第一章绪论1.1机器人的定义、分类及发展概况1.1.1机器人的定义

机器人问世已有几十年，但没有一个统一的意见。原因之一是机器人还在发展，另一原因主要是因为机器人涉及到了人的概念，成为一个难以回答的哲学问题。也许正是由于机器人定义的模糊，才给了人们充分的想象和创造空间。

美国机器人协会（RIA)：一种用于移动各种材料、零件、工具或专用装置的，通过程序动作来执行各种任务，并具有编程能力的多功能操作机（Manipulator）。美国家标准局：一种能够进行编程并在自动控制下完成某些操作和移动作业任务或动作的机械装置。

*

1987年国际标准化组织(ISO)对工业机器人的定义：“工业机器人是一种具有自动控制的操作和移动功能，能完成各种作业的可编程操作机。日本工业标准局：一种机械装置，在自动控制下，能够完成某些操作或者动作功能。

英国：貌似人的自动机，具有智力的和顺从于人的但不具有人格的机器。

中国：我国科学家对机器人的定义是：“机器人是一种自动化的机器，这种机器具备一些与人或生物相似的智能能力，如感知能力、规划能力、动作能力和协同能力，是一种具有高度灵活性的自动化机器”。*

尽管各国定义不同，但基本上指明了作为“机器人”所具有的二个共同点：是一种自动机械装置，可以在无人参与下，自动完成多种操作或动作功能，即具有通用性。可以再编程，程序流程可变，即具有柔性(适应性）。

机器人集中了机械工程、材料科学、电子技术、计算机技术、自动控制理论及人工智能等多学科的最新研究成果，代表了机电一体化的最高成就，是当代科学技术发展最活跃的领域之一。*1.1.2机器人的发展历史1920年，捷克作家卡雷尔·卡佩克发表了科幻剧本《罗萨姆的万能机器人》。卡佩克在剧本中把捷克语“Robota”写成了“Robot”，引起了大家的广泛关注，被当成了机器人一词的起源。1950年，美国作家埃萨克·阿西莫夫在他的科幻小说《I，Robot》中首次使用了“Robotics”

，即“机器人学”。阿西莫夫提出了“机器人三原则”：1机器人不应伤害人类,且在人类受到伤害时不可袖手旁观；2机器人应遵守人类的命令，与第一条违背的命令除外；3机器人应能保护自己，与第一条相抵触者除外。

机器人学术界一直将这三原则作为机器人开发的准则，阿西莫夫因此被称为“机器人学之父”。*1954年，美国人GeorgeC.Devol提出了第一个工业机器人方案并在1956年获得美国专利。

1960年，Conder公司购买专利并制造了样机。

1961年，Unimation公司（通用机械公司）成立，生产和销售了第一台工业机器“Unimate”，即万能自动之意。1962年，A.M.F.（机械与铸造）公司，研制出一台数控自动通用机，取名“Versatran”，即多用途搬运之意，并以“IndustrialRobot”为商品广告投入市场。

*1967年，Unimation公司第一台喷涂用机器人出口到日本川崎重工业公司。1968年，第一台智能机器人Shakey在斯坦福研究所诞生。

1972年，IBM公司开发出直角坐标机器人。

1973年，CincinnatiMilacron公司推出T3型机器人。

1978年，第一台PUMA机器人在Unimation公司诞生。1982年，Westinghouse公司兼并Unimation公司，随后又卖给了瑞士的Staubli公司。

1990年，CincinnatiMilacron公司被瑞士ABB公司兼并。*日本、西欧各国、前苏联也相断引进或自行研制工业机器人。60～70年代是机器技术获得巨大发展的阶段。80年代，机器人在发达国家的工业中大量普及应用，如焊接、喷漆、搬运、装配。并向各个领域拓展，如航天、水下、排险、核工业等，机器人的感知技术得到相应的发展，产生第二代机器人。90年代，机器人技术在发达国家应用更为广泛，如军用、医疗、服务、娱乐等领域，并开始向智能型（第三代）机器人发展。

随着机器人技术的发展形成了新学科—

机器人学。建立了相应学术组织，定期举办学术活动。国际会议：ISIP、IEEE——IROS、ICR&A等。国际杂志：《RobticsResearch》、《Robotica》、《RoboticsandAutomation》等。*我国机器人技术起步较晚，70年代末，一些院校和企业，开始研制专用机械手，80年代初，开发小型的教育机器人。1985年哈工大研制出国内第一台弧焊机器人（华宇Ⅰ号）。

国家“863”计划把机器人技术作为重点发展技术来支持。建立了“机器人示范工程中心”和机器人国家开放实验室（沈阳自动化所、哈工大、合肥机械所、上海交大、南开大学）。

我国也建立了机器人学的学术组织，定期举办学术活动。学术会议：每两年左右去办一次大型全国性会议。学术刊物：《机器人》、《机器人技术与应用》等。*1.1.3机器人的分类机器人的种类很多。可以按驱动形式、用途、结构和智能水平等观点划分

１、按驱动形式

气压驱动

液压驱动

电驱动

交流伺服驱动

直流伺服驱动

2、按用途划分（1）工业机器人弧焊机器人点焊机器人搬运机器人装配机器人喷涂机器人抛光机器人*（2）特种机器人空间机器人

水下机器人军用机器人教学机器人

服务机器人

医用机器人

排险救灾机器人

固定式移动式轮式履带式足式蛇行*3、按智能水平划分分类名称简要解释人工操作装置有几个自由度，有操作员操纵，能实现若干预定的功能。固定顺序机器人按预定的不变顺序及条件，依次控制机器人的机械动作。可变顺序机器人按预定的顺序及条件，依次控制机器人的机械动作。但顺序和条件可作适当改变。示教再现型机器人通过手动或其它方式，先引导机器人动作，记录下工作程序，机器人则自动重复进行作业。数控型机器人不必使机器人动作，通过数值、语言等为机器人提供运动程序，能进行可变程伺服控制。感知型机器人利用传感器获取的信息控制机器人的动作。机器人对环境有一定的适应性。智能机器人机器人具有感知和理解外部环境的能力，即使环境发生变化，也能够成功的完成任务。第一代第二代第三代*1.1.4机器人技术展望

进入90年代后,机器人数量增长速度下降,但由于人工智能、计算机科学、传感器技术的长足进步，使机器人技术研究在高水平上进行。未来机器人技术将有待于在以下几个方面发展。一、操作臂技术1．

高速操作臂：机构，伺服驱动，动态控制方法；2．

柔性操作臂：提高荷重比（＜30∶10），轻质材料；3．

冗余自由度臂；4．

高精度、多自由度力控制：精密组装；5．

微型操作臂。*二、移动技术1、新型移动机构：适合非结构环境的移动机构；2、运动控制：建模、制导、导航、路径规划。三、感知技术1、视觉：图像识别与处理；2、手眼协调；3、接触觉小型化；4、多信息融合。四、自主控制技术1、分布式计算机控制技术；2、人工智能技术。*20公斤点焊机器人点焊机器人在工作中6公斤弧焊机器人工业机器人（一）弧焊机器人在工作中*涂胶机器人龙门式喷漆机器人SCARA型装配机器人工业机器人（二）搬运机器人码垛机器人喷漆机器人*“双鹰”水下机器人水下扫雷机器人“探索者号”水下机器人Spirit火星漫游车Marshod火星漫游车CanadaArm太空机械臂特种机器人（一）*美国“别动队”无人机法国“红隼”无人机微型无人机特种机器人（二）豹式排雷机器人“徘徊者”侦察机器人“手推车”机器人机器人助手*特种机器人（三）足球机器人AIBO机器狗指挥机器人迎宾机器人导盲机器人跳舞机器人医疗机器人*特种机器人（四）管内机器人隧道凿岩机器人大型喷浆机器人室外保安机器人德国排爆机器人消防机器人防暴机器人**二、移动技术1、新型移动机构：适合非结构环境的移动机构；2、运动控制：建模、制导、导航、路径规划。三、感知技术1、视觉：图像识别与处理；2、手眼协调；3、接触觉小型化；4、多信息融合。四、自主控制技术1、分布式计算机控制技术；2、人工智能技术。*1.2

机器人的优缺点一、优点能不知疲倦、不厌其烦的持续工作，不会有心理问题；具有比人更高的精确度、速度，可以同时相应多个激励；可以在危险环境下工作，无需考虑生命保障或安全的需要；无需舒适的环境，如照明、空调、噪音隔离等；其感知系统及其附属设备具有某些人类所不具有的能力；二、缺点替代了工人，由此带来经济和社会问题；缺乏应急能力；灵活性、自适应能力还欠缺；设备费用开销较大。*1.3

机器人的组成、构型及性能要素1.3.1

机器人的组成

机器人是一个机电一体化的设备。从控制观点来看，机器人系统可以分成四大部分：机器人执行机构、驱动装置、控制系统、感知反馈系统。机器人执行机构驱动装置控制系统感知系统

基座（固定或移动）手部腕部臂部腰部电驱动装置液压驱动装置气压驱动装置处理器关节伺服控制器内部传感器外部传感器*一、执行机构包括：手部、腕部、臂部、腰部和基座等。相当于人的肢体。二、驱动装置包括：驱动源、传动机构等。相当于人的肌肉、筋络。三、感知反馈系统包括：内部信息传感器，检测位置、速度等信息；外部信息传感器，检测机器人所处的环境信息。相当于人的感官和神经。四、控制系统包括：处理器及关节伺服控制器等，进行任务及信息处理，并给出控制信号。相当于人的大脑和小脑。内部传感器（位形检测）控制系统驱动装置执行机构工作对象外部传感器（环境检测）

1处理器关节控制器*1.3.2

机器人的构型

机器人的机械配置形式即构型多种多样。最常见的构型是用其坐标特性来描述的。

一、工业机器人

1、直角坐标型(3P)

其运动是解耦的，控制简单。但运动灵活性较差，自身占据空间最大。*2、圆柱坐标型(R2P)

其运动耦合性较弱，控制也较简单，运动灵活性稍好。但自身占据空间也较大。圆柱坐标型机器人模型Verstran机器人Verstran机器人*3、极坐标型（也称球面坐标型）(2RP)

其运动耦合性较强，控制也较复杂。但运动灵活性好。占自身据空间也较小。极坐标型机器人模型Unimate机器人*4、关节坐标型(3R)

其运动耦合性强，控制较复杂。但运动灵活性最好，自身占据空间最小。关节型搬运机器人关节型焊接机器人关节型机器人模型*5、平面关节型(SCARA)

仅平面运动有耦合性，控制较通用关节型简单。但运动灵活性更好，铅垂平面刚性好。SCARA型装配机器人*仿生型自由度一般较多，具有更强的适应性和灵活性，但控制更复杂，成本更高，刚性较差。类人型机器人仿狗机器人蛇形机器人

二、特种机器人

*六轮漫游机器人仿鱼机器人仿鸟机器人六足漫游机器人*1.3.3

机器人的性能要素

自由度数衡量机器人适应性和灵活性的重要指标，一般等于机器人的关节数。机器人所需要的自由度数决定与其作业任务。

负荷能力机器人在满足其它性能要求的前提下，能够承载的负荷重量。

运动范围机器人在其工作区域内可以达到的最大距离。它是机器人关节长度和其构型的函数。

精度指机器人到达指定点的精确程度。它与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关。

重复精度指机器人重复到达同样位置的精确程度。它不仅与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关，还与传动机构的精度及机器人的动态性能有关。*

控制模式引导或点到点示教模式；连续轨迹示教模式；软件编程模式；自主模式。

运动速度单关节速度；合成速度。

其它动态特性如稳定性、柔顺性等。*机器人运动学第二章数学基础—齐次坐标和齐次变换杜志江、纪军红科学园C1栋机器人研究所206室86414462-12duzj01@junhong.ji@参考教材付京逊《机器人学》蔡自兴《机器人学》2.1引言

机器人位置和姿态的描述机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以操纵物体人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动学问题机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系动画示例运动学研究的问题Whereismyhand?DirectKinematicsHERE!HowdoIputmyhandhere?InverseKinematics:Choosetheseangles!运动学正问题运动学逆问题丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg）于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法具有直观的几何意义能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题其数学基础即是齐次变换2.2点和面的齐次坐标

2.2.1点的齐次坐标

一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。

式中i,j,k为x,y,z轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例系数

显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1。列矩阵[例]：可以表示为：

V=[3451]T

或V=[68102]T

或V=[-12-16-20-4]T

齐次坐标与三维直角坐标的区别V点在ΣOXYZ坐标系中表示是唯一的（x、y、z）而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。

几个特定意义的齐次坐标：[0,0,0,n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数[1000]T—指向无穷远处的OX轴[0100]T—指向无穷远处的OY轴[0010]T—指向无穷远处的OZ轴

2个常用的公式：2.2.2平面的齐次坐标平面齐次坐标由行矩阵P=[abcd]来表示当点v=[xyzw]T处于平面P内时，矩阵乘积PV=O，或记为

如果定义一个常数m=，则有：=可以把矢量解释为某个平面的外法线，此平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。[例]：因此一个平行于x、y轴，且在z轴上的坐标为单位距离的平面P可以表示为：或

有：PV=例如：点V=[102011]T必定处于此平面内，而点V=[0021]T处于平P的上方点V=[0001]T处于P平面下方。因为：

与点矢相仿，平面也没有意义2.2旋转矩阵及旋转齐次变换

2.2.1旋转矩阵

设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw，研究旋转变换情况。①

初始位置时，动静坐标系重合，O、O´重合，如图。各轴对应重合，设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点，且固定不变。则P点在ΣO´uvw中可表示为：

、、为坐标系ΣO´uvw的单位矢量，则P点在Σoxyz中可表示为：当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系Σoxyz中的位置已知：P点在ΣO´uvw中是不变的仍然成立，由于ΣO´uvw回转，则：用矩阵表示为:（2-7）反过来：2.2.2旋转齐次变换用齐次坐标变换来表示式（2-7）2.2.3三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵

三个基本旋转矩阵

即动坐标系求的旋转矩阵，也就是求出坐标系中各轴单位矢量在固定坐标系中各轴的投影分量，很容易得到在重合时，有：由图2-5可知，在y轴上的投影为，在z轴上的投影为,在y轴上的投影为，在z轴上的投影为，所以有：方向余弦阵同理：

三个基本旋转矩阵:

合成旋转矩阵:例1：在动坐标中有一固定点，相对固定参考坐标系做如下运动：①R（x,90°）；②R(z,90°)；③R(y,90°)。求点在固定参考坐标系下的位置。解1：用画图的简单方法解2：用分步计算的方法①R（x,90°）②R（z,90°）③R（y,90°）（2-14）（2-15）（2-16）

上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：定义1：当动坐标系绕固定坐标系各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换

平移齐次变换矩阵注意：平移矩阵间可以交换，平移和旋转矩阵间不可以交换2.2.4相对变换

举例说明：例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系∑0′做如下运动：①R(Z,90º)②R（y,90º）③Trans(4，-3,7)，求合成矩阵解1：用画图的方法：解2：用计算的方法根据定义1，我们有：

以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：例2：①先平移Trans(4,-3,7)；②绕当前轴转动90º；③绕当前轴转动90º；求合成旋转矩阵。（2-20）解1：用画图的方法解2：用计算的方法（2-21）式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。结果均为为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相对于固定坐标系，

也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。

齐次变换矩阵T

的意义：机器人用到相对变换的时候比较多例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据手爪的坐标系表示但也要知道在∑O中的位姿，就用右乘的概念。

oH2.2.5绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换有时动坐标系∑O´可能绕过原点O的而分量分别为rx、ry、rz的任意单位矢量r转动φ角。研究这种转动的好处是可用∑O´绕某轴r的一次转动代替绕∑O各坐标轴的数次转动为推导此旋转矩阵，可作下述变换：绕X轴转α角，使r轴处于XZ平面内绕Y轴转-β角，使r

轴与OZ轴重合绕OZ轴转动φ角绕Y轴转β角绕X轴转-α角由上图容易求出：由定义1和定义2，上述5次旋转的合成旋转矩阵为：（2-25）带入式（2-25），得2.2.6齐次交换矩阵的几何意义

设T=，有一个手爪，已知其在∑O的位置，设一个该坐标系∑O´，已知，，那么∑O´在∑O中的齐次坐标变换为，如果手爪转了一个角度，

则：T反映了∑O´在∑O中的位置和姿态，即表示了该坐标系原点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。该矩阵可以由4个子矩阵组成，写成如下形式：为姿态矩阵，表示动坐标系∑O´在固定参考坐标系∑O中的姿态，即表示∑O´各坐标轴单位矢量在∑O各轴上的投影为位置矢量矩阵，代表动坐标系∑O´坐标原点在固定参考坐标系∑O中的位置为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，一般置为0为比例系数如果需要求解∑O在∑O´中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵为，即求逆矩阵：

其中：这些式子以后经常遇到，在机器人计算中，所要求的就是齐次变换矩阵下2.2.7透镜成像的齐次变换

因此，进行机器人运行学计算时，不能省略透视矩阵，有摄像头时，透视矩阵为

[0-0]，没有摄像头时为[000]。知识点：

点和面的齐次坐标和齐次变换三个基本旋转矩阵绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。绕任意轴选转，5步顺序透视变换习题1：∑O´与∑O初始重合，∑O´作如下运动：①绕Z轴转动30º

；②绕X轴转动60º

；③绕Y轴转动90º

。求T。

习题2：∑O´与∑O初始重合，∑O´作如下运动：①绕X轴转动90º；②绕w轴转动90º；③绕Y轴转动90º。求①T；②改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。

解①：解②：①绕Z（w）轴转动90º；②绕X轴转动90º；③绕Y轴转动90º。习题3：矢量在∑O´中表示为，∑O´相对于∑O的奇次变换为：解：1）解：2）解：3），，

习题4：如图所示，1）写出、、、；2）求解：1）解2）：根据定义2，绕自身旋转，右乘习题1：∑O´与∑O初始重合，∑O´作如下运动：①绕z轴转动90º；②绕v轴转动90º；③绕x轴转动90º。求①T；②改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。习题2：已知齐次变换矩阵要求R（f,θ),求f和θ值习题4：如图所示，1）写出、、、4T5；2）求oT5

783.1机器人机械设计的步骤1、作业分析

作业分析包括任务分析和环境分析，不同的作业任务和环境对机器人操作及的方案设计有着决定性的影响。2、方案设计

（1）确定动力源（2）确定机型（3）确定自由度（4）确定动力容量和传动方式

（5）优化运动参数和结构参数（6）确定平衡方式和平衡质量

（7）绘制机构运动简图

第三章机器人的机械结构与设计793、结构设计包括机器人驱动系统、传动系统的配置及结构设计，关节及杆件的结构设计，平衡机构的设计，走线及电器接口设计等。4、动特性分析

估算惯性参数，建立系统动力学模型进行仿真分析，确定其结构固有频率和响应特性。5、施工设计

完成施工图设计，编制相关技术文件。803.2工业机器人的驱动与传动系统结构

在机器人机械系统中，驱动器通过联轴器带动传动装置(一般为减速器)，再通过关节轴带动杆件运动。机器人一般有两种运动关节——转动关节和移(直)动关节。为了进行位置和速度控制，驱动系统中还包括位置和速度检测元件。检测元件类型很多，但都要求有合适的精度、连接方式以及有利于控制的输出方式。对于伺服电机驱动，检测元件常与电机直接相联；对于液压驱动，则常通过联轴器或销轴与被驱动的杆件相联。3.3.1驱动—传动系统的构成811—码盘；2—测速机；3—电机；4—联轴器；5—传动装置；6—转动关节；7—杆8—电机；

9—联轴器；10—螺旋副；11—移动关节；12—电位器

(或光栅尺)

821．电动驱动器

电动驱动器的能源简单，速度变化范围大，效率高，速度和位置精度都很高。但它们多与减速装置相联，直接驱动比较困难。电动驱动器又可分为直流(DC)、交流(AC)伺服电机驱动和步进电机驱动。直流伺服电机有很多优点，但它的电刷易磨损，且易形成火花。随着技术的进步，近年来交流伺服电机正逐渐取代直流伺服电机而成为机器人的主要驱动器。步进电机驱动多为开环控制，控制简单但功率不大，多用于低精度小功率机器人系统。3.3.2驱动器的类型和特点83843.液压驱动器

液压驱动的优点是功率大，可省去减速装置而直接与被驱动的杆件相连，结构紧凑，刚度好，响应快，伺服驱动具有较高的精度。但需要增设液压源，易产生液体泄漏，不适合高、低温场合，故液压驱动目前多用于特大功率的机器人系统。

853．气动驱动器气压驱动的结构简单，清洁，动作灵敏，具有缓冲作用。但与液压驱动器相比，功率较小，刚度差，噪音大，速度不易控制，所以多用于精度不高的点位控制机器人。

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3．其它驱动器

作为特殊的驱动装置，有压电晶体、形状记忆合金、87

驱动器的选择应以作业要求、生产环境为先决条件，以价格高低、技术水平为评价标准。一般说来，目前负荷为100kg以下的,可优先考虑电动驱动器；只须点位控制且功率较小者，可采用气动驱动器；负荷较大或机器人周围已有液压源的场合，可采用液压驱动器。对于驱动器来说，最重要的是要求起动力矩大，调速范围宽，惯量小，尺寸小，同时还要有性能好的、与之配套的数字控制系统。88

机器人几乎使用了目前出现的绝大多数传动机构，其中最常用的为谐波传动、RV摆线针轮行星传动和滚动螺旋传动。3.3.3机器人的常用传动机构

机器人传动机构的基本要求：(1)结构紧凑，即同比体积最小、重量最轻；(2)传动刚度大，即承受扭矩时角度变形要小，以提高整机的固有频率，降低整机的低频振动；(3)回差小，即由正转到反转时空行程要小，以得到较高的位置控制精度；(4)寿命长、价格低。

899091谐波传动工作原理

谐波传动是利用一个构件的可控制的弹性变形来实现机械运动的传递。谐波传动通常由三个基本构件(俗称三大件)组成，包括一个有内齿的刚轮，一个工作时可产生径向弹性变形并带有外齿的柔轮和一个装在柔轮内部、呈椭圆形、外圈带有滚动轴承的波发生器。柔轮的外齿数少于刚轮的内齿数。在波发生器转动时，相应于长轴方向的柔轮外齿正好完全啮入刚轮的内齿；在短轴方向，则外齿全脱开内齿。当刚轮固定，波发生器转动时，柔轮的外齿将依次啮入和啮出刚轮的内齿，柔轮齿圈上的任一点的径向位移将呈近似于余弦波形的变化，所以这种传动称作谐波传动。92

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二、谐波传动的主要特点(1)

传动比大，单级为50—300，双级可达2x106。(2)传动平稳，承载能力高，传递单位扭矩的体积和重量小。在相同的工作条件下，体积可减小20一50％。(3)齿面磨损小而均匀，传动效率高。当结构合理，润滑良好时，对i=100的传动，效率可达0.85。(4)传动精度高。在制造精度相同的情况下，谐波传动的精度可比普通齿轮传动高一级。若齿面经过很好的研磨，则谐波齿轮传动的传动精度要比普通齿轮传动高4倍。(5)回差小。精密谐波传动的回差一般可小于3’，甚至可以实现无回差传动。(6)可以通过密封壁传递运动。这是其他传动机构难实现的。(7)谐波传动不能获得中间输出，并且杯式柔轮刚度较低。94RV摆线针轮传动RV摆线针轮传动装置，是由一级行星轮系再串联一级摆线针轮减速器组合而成的。二、主要特点与谐波传动相比，RV摆线针轮传动除了具有相同的速比大、同轴线传动、结构紧凑、效率高等待点外，最显著的特点是刚性好，传动刚度较谐波传动要大2—6倍，但重量却增加了1—3倍。该减速器特别适用于操作机上的第一级旋转关节(腰关节)，这时自重是坐落在底座上的，充分发挥了高刚度作用，可以大大提高整机的固有频率，降低振动；在频繁加、减速的运动过程中可以提高响应速度并降低能量消耗。

9596滚动螺旋传动滚动螺旋传动是在具有螺旋槽的丝杠与螺母之间放入适当的滚珠。使丝杠与螺母之间由滑动摩擦变为滚动摩擦的一种螺旋传动，滚珠在工作过程中顺螺旋槽(滚道)滚动，故必须设置滚珠的返回通道，才能循环使用。为了消除回差(空回)，螺母分成两段，以垫片、双螺母或齿差调整两段螺母的相对轴向位置，从而消除间隙和施加预紧力，使得在有额定抽间负荷时也能使回差为零。其中用的最多的是双螺母式，而齿差式最为可靠。1一齿轮；2一返回装置；3一键；4一滚珠；5一丝杠；6一螺母；7—支座97

滚动螺旋特点：

(1)摩擦小、效率高。一般情况下，传动的效率在90％以上。

(2)动、静摩擦系数相差极小，传动平稳，灵敏度高。

(3)磨损小、寿命长。

(4)可以通过预紧消除轴向间隙，提高轴向刚度。滚动螺旋传动不能自锁，必须有防止逆转的制动或自锁机构才能安全地用于有自重下降的场合。最怕落入灰尘、铁屑、砂粒。通常，螺母两端必须密封，丝杠的外露部分必须用“风箱”套或钢带卷套加以密封。98另外，对于齿轮传动、蜗轮传动和齿轮齿条传动，须特别注意消除间隙问题，否则回差很大，达不到应有的转角精度要求。对于链传动、齿形带传动、钢带传动和钢丝绳传动，必须考虑张紧问题，否则也会产生很大的回差。

99关节是操作机各杆件间的结合部分，有转动和移动两种类型。工业机器人前三关节通常称作腰关节、肩关节和肘关节，它们构成了操作机的位置机构。后面关节构成了操作机的姿态机构，称作腕部。下面分别讨论这些关节的构造和传动配置。一、腰关节腰关节既承受很大的轴向力、径向力，又承受倾翻力矩，且具有较高的运动精度和刚度。多采用高刚性的RV减速器减速，也可采用谐波传动、摆线针轮或蜗杆减速器。3.3工业机器人关节的构造及其传动配置100腰关节〔电机上置)1—电机；2—RV减速器，3—支架，6—交叉滚子轴承；5—电缆101腰关节(电机下置)1—谐波减速器；2—电机；3—四点接触球轴承102腰关节1—电机；2—齿轮；3—立柱；4—结合螺栓2134103由上面的图例可以看出，腰关节的构造主要是两种类型：使用交叉滚子或四点接触式轴承的同轴式平行轴式。前者结构紧凑，腰关节高度尺寸小(使用特制抽承的缘故)，但后面关节的各种电缆走线比较困难，大多是在固定的中间柱体外面留有较大的环形空间，使电缆以盘旋的形式松松地套在中间柱体上，当腰支架等机体转动时，电缆犹如盘旋弹簧般收紧或放松。对于平行轴式腰关节，电缆则可方便地通过中空轴，联接于支座的固定接线板上。104二、肩关节和肘关节对于开式连杆结构，肩关节位于腰部的支座上，多采用高刚性的RV减速器减速，也可采用谐波传动或摆线针轮。肘关节位于大臂与小臂的联接处。其结构形式有偏置式或同轴式配置，多采用谐波传动、摆线针轮、齿轮传动等。1051—大臂；2—关节1电机；3—小臂定位板；4—小臂；5—气动阀；6—立柱；7—直齿轮；8—中间齿轮；9—机座；10—主齿轮；11—管形连接轴；12—手腕106107同轴减速传动结构108同轴减速传动结构1—腰支座；2、7—RV减速器；3、6—驱动电机；4—大臂；5—曲柄；8—轴承。109三、直动关节

直动关节可有两种类型；电机驱动和液压驱动。前者多采用滚动丝杠和导柱(轨)式；后者可采用油缸驱动齿轮的倍速移动结构。110四、手腕关节1、单自由度手腕

SCARA水平关节装配机器人多采用单自由度手肮。SCARA机器人111

SCARA机器人操作机的手腕只有绕垂直轴的一个旋转自由度。为了减轻操作机的悬臂重量，手腕的驱动电机固结在机架上。手腕转动的目的在于调整装配件的方位。由于传动为两级等径轮齿形带，所以大、小臂的转动不影响末端执行器的水平方位，而该方位的调整完全取决于腕转动的驱动电机，这是该种传动方式的主要优点，特别适合于电子线路板的插件作业。

2、两自由度手腕两自由度手腕关节有两种常见的配置形式，即汇交式和偏置式。1121—法兰；2—锥齿轮轴；3—锥齿轮；8，4—弹簧；5，7—链轮；6，9—轴承；10一转壳汇交式两自由度手流1—法兰；2—转壳；3、6—锥齿轮轴；4—小臂；5、7—链轮，8—链；9、10—弹簧偏置式两自由度手腕113两自由度手腕的另两种结构。图1属汇交型，将谐波减速器置于臂部，驱动器通过齿形带带动谐波，或经锥齿轮再带动谐波使末杆获得沿x、y轴两自由度运动。图2为偏置型，则是将驱动电机和谐波减速器连成一体，放于偏置的腕壳中直接带动腕完成角转动。1—扁平谐波；2—杯式谐波；3—齿形带轮；4—锥齿轮；5—腕壳图1谐波前置汇交手腕1—谐波减速9；2—马达；

3—铭轮；4—腕壳图2电机前置偏置手腕114

诱导运动把某一杆件因另一杆件的被驱动而引起的运动，称作诱导运动。在进行机器人运动学计算时，必须考虑诱导运动。

2—主动链轮；3、5—从动链轮手腕传动示意图1153、三自由度手腕三自由度手腕的结构形式繁多。三自由度手腕是在两自由度手腕的基础上加一个整个手腕相对于小臂的转动自由度而形成的。三自由度手腕是“万向”型手腕，可以完成两自由度手腕很多无法完成的作业。近年来，大多数关节型机器人都采用了三自由度手腕。116117118必须指出，若操作机为6自由度，当手腕为偏置式时，运动学反解得不出解析的显式，且动力学参数也是强耦合的。设计时必须给予充分注意。

第五章机器人操作机工作空间5.1概述5.1.1

基本概念

工作空间是从几何方面讨论操作机的工作性能。B．Roth在1975年提出了操作机工作空间的概念。

操作机的工作空间：机器人操作机正常运行时，末端执行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围；或者说该原点可达点占有的体积空间。这一空间又称可达空间或总工作空间，记作W(P)。

灵活工作空间：在总工作空间内，末端执行器可以任意姿态达到的点所构成的工作空间。记作Wp(P)。

次工作空间：总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的部分。记作Ws

(P)。

*

根据定义，有:一般说来，工作空间都是一块或多块体积空间，它们都具有一定的边界曲面(有时是边界线)。W(P)边界面上的点所对应的操作机的位置和姿态均为奇异位形。与奇异位形相应的机器人的速度雅可比矩阵是奇异的，所以操作机的工作空间边界面又常称作雅可比曲面，即雅可比矩阵的行列式等于零所对应的曲面。

灵活空间内点的灵活程度受到操作机结构的影响，通常分作两类：I类—末端执行器以全方位到达的点所构成的灵活空间，表示为Wp1(P)

；II类—只能以有限个方位到达的点所构成的灵活空间，表示为Wp2(P)。*

下面以平面3R操作机为例，说明上述基本概念。如图所示的3R操作机，由三杆L1，L2，和H组成。后两杆的长度之和小于L1的长度。取手心点P为末端执行器的参考点，令l1，l2分别为l1，l2杆的长度，h为手心点P到关节点O8的长度(即H杆的长度)，则：圆C1:半径为，

圆C4:半径为，分别是该操作机的总工作空间的边界。它们之间的环形而积即W(P)。C1C4C2C32）圆C2:半径为，

圆C3:半径为，分别是灵活工作空间的边界。它们之间的环形面积即Wp(P)。*C1C4C2C33）圆C1到圆C2之间；圆C3到圆C4之间两环形面积即为次工作空间。

由此可以看出：1)在Wp(P)中的任意点为全方位可达点。2)在C1和C4圆上的任一点，只可实现沿该圆的切线方向的运动。3)末杆H越长，即h越大，C1越大，C4越小，总工作空间越大；但相应的灵活工作空间则由于C2的增大和C3的减小而越小。4)工作空间同时受关节的转角限制。*5.1.2工作空间的两个基本问题1)给出某一结构形式和结构参数的操作机以及关节变量的变化范围，求工作空间。称为工作空间分析或工作空间正问题。

2)给出某一限定的工作空间，求操作机的结构形式、参数和关节变量的变化范围。称工作空间的综合或工作空间逆问题。5.2工作空间的形成及确定5.2.1

工作空间的形成Zn-1ZnZn-2PnPn—末杆上的参考点；W(*)—参考点占据的工作空间。

工作空间边界上的界限点构成界限曲面。界限曲面可以用不同方法求出。*1、解析法5.2.2

工作空间的确定

由操作机工作空间的形成可以看出，其工作空间的界限曲面可以看作是由末端参考点绕各关节运动形成的曲线族或曲面族的包络。因此，多次运用单参数曲面族的包络公式能够顺序求得工作空间的界限曲面。若在空间有一条曲线存在，它上面的每一个点都是与曲线族中的每一条曲线相切的切点，曲线中的不同的线与相切于不同点，称为该曲线族的包络。若存在一曲面，与曲面族中的任一曲面都沿一条曲线相切，这时就称作该曲面族的包络。*

下面给出一种分组求解操作机工作空间包络界限曲面的基本思想。

对于自由度的机器人操作机，将操作机的前三杆(或前三关节)划为一组，在第三杆上设置参考点P3(相当于腕点)，求其绕各关节运动形成的曲面的包络，得到界限曲面。将后面各杆（4、5、6杆）划为另一组，在末杆上取参考点P6(可取手心点)，求出其绕后面关节运动形成的曲面（线）的包络，得到界限曲面。让沿运动，就形成了双参数曲面族，可用相应的包络面公式求出末杆上参考点的工作空间界限曲面。

可见，求工作空间的问题，可以归结为求曲面（线）族的包络问题。

*分别用、

；

、；、表示母线、母面，曲线族、曲面族以及它们的包络。曲线族的包络：设有曲线用向量方程表示：：式中t是曲线的几何参数。

再设曲线以为参数运动，则在空间相应于不同的

，就形成了一系列的以

为母线的曲线族。记作，其方程为:

：式中是曲线的运动参数。曲线族的包络方程为：

：式中，*曲面族的包络：设有曲面用向量方程表示：：式中u，v是曲面的几何参数。

再设曲面以为参数运动，得到曲面族，其方程为:

：

：曲面族的包络的方程为：式中，，*

若再以为参数运动，得到曲面族，其包络（称为二次包络）的方程为:

：式中，，*式中若母线和母面

，以及

，

，

都是参数方程形式给出的，则可从上三式导出更便于计算的形式，如：*例1用解析法考察PUMA560型机器人在关节变量无结构限制条件下(即0＜

＜360。。)的工作空间界限曲面

*有了曲面族方程式，利用包络公式可求出包络条件，并与上式联立，即得该球面方程

将O4=O5=O6=P3定为手腕点，6个关节分为两组：后三关节(4，5，6)为轴线交于W的旋转关节；前三关节另一组。在末杆上取参考点P6(可取手心点)，对于后三关节一组*对于前三关节一组，腕点P3=O4

利用包络公式可求出包络条件，并与上式联立，即得该曲面方程。*腕点工作空间*PUMA560型机器人无结构限制时的工作空间轴剖面

*

用图解法求工作空间，得到的往往是工作空间的各类别截面(或削截线)。它直观性强，便于和计算机结合，以显示在可达点操作机的构形特征。在应用图解法时．也将关节分为两组，即前三关节和后三关节(有时为两关节或一关节)，前三关节称位置结构，主要确定工作空间大小，后三关节称定向结构，主要决定手部姿势。首先分别求出该两组关节所形成的腕点空间和参考点在腕坐标系中的工作空间，再进行包络整合。2、图解法下面取两旋转关节进行图解讨论。*ZnZn-1若ZnZn-1Zn-1Zn*若Zn-1Zn-1*例2用图解法考察Motorman型机器人操作机的工作空间。

**5.3工作空间中的空洞和空腔一、定义

空洞——在转轴

zi周围，沿z的全长参考点Pn均不能达到的空间。空腔——参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的空间。1——空腔；2——空洞*二、空洞及空腔约形成条件1、空洞的形成条件及其判别

工作空间与其后级旋转轴若不相交，则在该旋转轴的周围形成空洞。空洞存在与否可根据前级空间和后级旋转轴之间的最小距离来判断。若。则不存在空洞；若则存在空洞。*2．空腔的形成条件及其判别

在空间中形成空腔的必要条件是在工作空间中存在空洞，但这还不是形成空腔的充分条件。*Zn-1*

第六章机器人静力学和动力学

静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、动态仿真的基础。机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节力（矩）与接触力的关系。

机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器人动力学研究者追求的目标。*6.1机器人静力学

一、杆件之间的静力传递在操作机中，任取两连杆LJ，lfl，，如图7—1。设在杆Lf*，上作用在点o‘t，有力矩肋lh和力扩ft：；在杆』f上作用有自屋C〔道质心c刀，rf和rcf分别为山o。到o‘t*和cl的向径rl(或记为rj“l)和r‘，(或记为rf．。l)。*5、平面关节型(SCARA)

仅平面运动有耦合性，控制较通用关节型简单。但运动灵活性更好，铅垂平面刚性好。SCARA型装配机器人*仿生型自由度一般较多，具有更强的适应性和灵活性，但控制更复杂，成本更高，刚性较差。类人型机器人仿狗机器人蛇形机器人

二、特种机器人

*六轮漫游机器人仿鱼机器人仿鸟机器人六足漫游机器人*1.3.3

机器人的性能要素

自由度数衡量机器人适应性和灵活性的重要指标，一般等于机器人的关节数。机器人所需要的自由度数决定与其作业任务。

负荷能力机器人在满足其它性能要求的前提下，能够承载的负荷重量。

运动范围机器人在其工作区域内可以达到的最大距离。它是机器人关节长度和其构型的函数。

精度指机器人到达指定点的精确程度。它与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关。*

控制模式引导或点到点示教模式；连续轨迹示教模式；软件编程模式；自主模式。

运动速度单关节速度；合成速度。

其它动态特性如稳定性、柔顺性等。

重复精度指机器人重复到达同样位置的精确程度。它不仅与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关，还与传动机构的精度及机器人的动态性能有关。*

第六章机器人静力学和动力学

静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、动态仿真的基础。机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节力（矩）与接触力的关系。

机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器人动力学研究者追求的目标。*6.1机器人静力学

一、杆件之间的静力传递

在操作机中，任取两连杆，。设在杆上的点作用有力矩和力；在杆上作用有自重力〔过质心）；和分别为由到和的向径。*

按静力学方法，把这些力、力矩简化到的固联坐标系，可得：或式中(为杆的质量)。

求出和在轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡所应提供的关节力或关节力矩，记作，其大小为*

当忽略杆件自重时，上式可简记为：

若以表示不计重力的关节力或力矩值，对于转动关节则有：

式中——是自到杆的质心的向径。*

例1求两杆操作机的静关节力矩(坐标系与结构尺寸如图)。

解：设已知***二、操作机的静力平衡

设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩(广义驱动力，指向的正向)，在末端执行器的参考点处将产生力和力矩。由于、是操作机作用于外界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩一起进行运算，故应取负值。*利用虚功原理建立静力平衡方程，令于是，操作机的总虚功是：根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功(虚功之和)为0，即*式中

J——是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应的偏速度。由机器人运动微分关系可知，，则有因为是独立坐标，则，所以有

上式是针对操作机的关节力和执行器参考点间所产生的力和力矩之间的关系式。

该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可比矩阵J进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固联直角坐标系中的广义力变幻，这时应将关节空间与直角坐标空间的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。*

例2如图，操作机的手爪正在持板手扭某一哩栓，手爪上方联接一测力传感器可测六维力向量(力和力矩)。试确定测力传感器和扭动板手时力和力矩的关系。*解：设在测力传感器上置坐标系Sf()，在螺栓上置坐标系S

()。在图示瞬间，两坐标系彼此平行。因为刚体的无限小位移(平移和转动)可表示为六维向量，故对二者的微位移可分别表示为：由于两坐标系的坐标轴平行，于是可以得到：*

前式也可以从前图直观求得。设

为相应于的广义力向量，为相应于的广义力向量，则可得：

上式也可直接用虚功原理求得。*一、研究目的：1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）

在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有效惯量及耦合量都会发生变化（时变的），因此，加于各关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。6-2机器人动力学概述二、机器人动力学研究的问题可分为两类：

1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知,求和，称为动力学正问题。）。

2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力（矩）（即已知和，求,称为动力学逆问题）。*三、动力学研究方法：1．拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建立机器人的动力学方程。代表人物R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。计算量O(n4)，经优化O(n3)，递推O(n)。2．牛顿—欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿—欧拉方程的动力学方程。代表人物Orin,Luh(陆养生)等。计算量O(n)。3．高斯原理法:利用力学中的高斯最小约束原理,把机器人动力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫(苏).用以解决第二类问题。计算量O(n3)。4．凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。计算量O(n!)。*

系统的动能和势能可在任何坐标系（极坐标系、圆柱坐标系等）中表示

，不是一定在直角坐标系中。

动力学方程为：

广义力

广义速度

广义坐标（力或力矩）（或）（或）

6.3二杆机器人的拉格朗日方程应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。

定义：L=K-PL—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。6.3.1刚体系统拉格朗日方程*

设二杆机器人臂杆长度分别为，质量分别集中在端点为，坐标系选取如图。以下分别计算方程中各项：

一、动能和势能

对质点：势能：

动能：

（负号与坐标系建立有关）

对质点：

先写出直角坐标表达式：

6.3.2刚体系统拉格朗日方程*对求导得速度分量：

动能：势能：

二、Lagrange函数

*三、动力学方程

先求第一个关节上的力矩

——（1）*同理，对和微分，可求得第二关节力矩

以上是两杆机器人动力学模型。——（2）*系数D的物理意义：

—关节的有效惯量（等效转动惯量的概念）。由关节处的加速度引起的关节处的力矩为（）

—关节和之间的耦合惯量。由关节或的加速度（或）所引起的关节和处的力矩为或

—向心力项系数。表示关节处的速度作用在关节处的向心力（）—向心力项系数。表示关节处的速度作用在本身关节处的向心力（）四、动力学方程中各系数的物理意义

将前面结果重新写成简单的形式

：*—哥氏力项系数。两项组合为关节与处的速度作用在关节处的哥氏力，哥氏力是由于牵连运动是转动造成的。

—关节处的重力项。重力项只与大小、长度以及机构的结构图形（）有关。

比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到有效惯量系数：

耦合惯量系数：

*向心力项系数：

哥氏力项系数：

重力项：

*6.4机器人的拉格朗日方程的一般表达形式

从上节容易看出Lagrange方程是一个二阶耦合、非线性和微分方程，为简化计算，未虑及传动链中的摩擦。以下方程的推导，也是不考虑传动链带来的摩擦影响，只考虑杆件本身，然后再加入关节处驱动装置（如电机、码盘等）的影响。

推导分五步进行：一、计算任意任意杆件上任意点的速度；二、计算动能；三、计算势能；四、形成Lagrange函数；五、建立动力学方程。*其速度为：

一、点的速度

由于整个系统的动能都是在基础系中考虑的，故需求系统各质点在基础坐标系中的速度。对于杆坐标系中的一点，它在基础坐标系中的位置为式中—变换矩阵速度平方为：

式中—矩阵的迹，即矩阵主对角元素之和。*二、动能

位于杆上处质量为的质点的动能是：*则杆的动能（在基础坐标系中）为：令式中称为连杆的伪惯量矩阵。则得到杆的动能为：对于杆上任意一点的（在杆坐标系中）可以表示为：*根据理论力学中惯性矩、惯性积和静矩的定义，引入下列记号：对坐标轴的惯性矩：则有：*对坐标轴的惯性积：对坐标轴的静矩：质量之和：于是：xzyr*同理：于是能够表达为：机器人臂杆总的动能是：*如果考虑到关节处驱动装置的动能：

调换求迹与求和运算顺序，并加入关节处驱动装置的动能，得到机器人总的动能为：（对于移动关节：）式中为关节处驱动装置的转动惯量。三、势能

设杆的质心在再其自身坐标系的位置向量为，则它在基础坐标系中的位置向量为*设重力加速度在基础坐标系中的齐次分量为：于是机器人的总势能为：则杆在基础坐标系中的势能为：（一般认为基础坐标系的z轴取向上方）*先求拉格朗日方程中的各项：四、拉格朗日函数五、动力学方程（1)*由于是对称矩阵，则有：合并(a)式中前两项，得到：（1’)当时，中不包含以后关节变量，即：于是可得：*（2)交换其中的部分哑元，得到：*（3)*将以上各项带入拉格朗日公式，并用和分别代替上式中的哑元和，得到：上式为拉格朗日方程的最后形式。这些方程与求和的次序无关，因此可将上式写为简化形式：（5)（4)*式中：

以上的动力学方程(5)中系数D的意义与上节所列相同，即分别为有效惯量项系数(),耦合惯量项系数（），向心力项系数（），哥氏力项系数（），重力项等。*

动力学方程中的惯量项和重力项在机器人控制重特别重要，将直接系统的稳定性和定位精度。只有当机器人高速运动时，向心力项和哥氏力项才是重要的。传动装置的惯量值往往较大，对系统动态特性的影响也不可忽略。

在机器人动力学问题的讨论中，拉格朗日动力学方程常写作更简化的一般形式：式中：的意义见（5)式。（6)*乘法次数：6.5机器人的牛顿—欧拉方程

机器人的拉格朗日动力学模型为非线性二阶常微分方程，利用这些方程，由已知的每一轨迹设定点的关节位置、速度和加速度，可以计算各关节的标称力矩，但拉格朗日方程利用4×4齐次变换矩阵，使得计算效率太低。加法次数：

为了实现实时控制，曾用过略去哥氏力和向心力的简化模型，但当操作机快速运动时，哥氏力和向心力在计算关节力矩中是相当重要的。因而这种简化只能用于机器人的低速运动，在典型的制造业环境中，这是不合乎要求的。此外，这种简化所引起的关节力矩误差，不能用反馈控制校正。

牛顿—欧位法采用迭代形式方程，计算速度快，可用于实时控制，因而成为一种常用的建模方法。*

寻求转动坐标系和固定惯性坐标系之间必要的数学关系,再推广到运动坐标系(转动和平移)和惯性坐标系之间的关系。如图,惯性坐标系O-XYZ和转动坐标系O-X*Y*Z*

的原点重合于O点。而OX*、OY*、OZ*轴相对OX、OY、OZ轴旋转。设和分别为这两个坐标系沿主轴的单位矢量。转动坐标系中点P可用它在任一坐标系中的分量来表示：6.5.1转动坐标系或在惯性坐标系中的运动：YXZrY*X*Z*OP在转动坐标系中的运动：*在惯性坐标系中的运动：（