专题07 难点探究专题：化简绝对值之四大考点(解析版)2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

第第页专题07难点探究专题：化简绝对值之四大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用数轴化简绝对值】 1【考点二分类讨论化简绝对值】 5【考点三利用几何意义化简绝对值】 10【考点四解绝对值方程】 18【典型例题】【考点一利用数轴化简绝对值】例题：（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互为相反数，求＝．（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解；（2）根据相反数的定义即可求解；（3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解．【详解】解：由数轴可知，，，则（1），，．故答案为：，，；（2）、互为相反数，．故答案为：；（3）．【点睛】本题主要考查数轴、绝对值的性质、整式的加减，解题的关键是根据数轴和题目条件判断出、、的大小关系．【变式训练】1．（2023·江苏·七年级假期作业）已知、、的大致位置如图所示：化简的结果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数轴得到、、与0的大小关系，根据有理数加减法法则判断与的符号，去绝对值运算即可得到答案；【详解】解：由数轴可得，，∴，，∴，故选A．【点睛】本题考查根据数轴上点的关系判断式子的符号及去绝对值，解题的关键是正确根据数轴上点的关系判断式子的符号．2．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）有理数、、在数轴上的位置如图所示，且，化简．

【答案】0【分析】先由数轴得出a，b，c的大小，再按照绝对值的化简法则化简即可；【详解】∵由数轴可得：，且

当时原式故答案为0【点睛】本题考查了数轴上的数的绝对值化简问题，属于基础知识的考查，比较简单．3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示．(1)用“＞”或“＜”填空：0，0，0；(2)化简．【答案】(1)＜，＜，＞(2)0【分析】（1）根据数轴上点的位置得出，再根据有理数的加减法法则判断即可；（2）利用绝对值的意义化简即可．【详解】（1）解：由图可得：，且，∴，，；（2）解：，，，．【点睛】此题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，有理加减法，绝对值化简，关键是利用数轴得出，且．4．（2022秋·山东德州·七年级校考期末）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，(1)化简：；(2)若与互为相反数，且，求（1）中式子的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）通过数轴判断a、b、c的相对大小，从而确定绝对值里代数式的值的符号，再去掉绝对值，最后实现化简；（2）两个非负数互为相反数，只能各自为零．求出a、b、c的值再计算代数式的值．【详解】（1）由图可得且∴，，，∴

∴（2）∵与互为相反数∴又∵，∴∴∴∴原式【点睛】此题考查数轴，绝对值的性质，解题关键在于利用数轴比较各数的大小，再进行计算．6．（2022秋·四川泸州·七年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．(1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”）①a______0；

②b______0；

③______0；

④______0；(2)比较下列式子的大小，用“<”连接；；；；；；．(3)化简．【答案】(1)<,>,<,>(2)(3)【分析】（1）根据数轴上的位置得出有理数的大小即可；（2）根据数轴上的位置结合有理数的加减法法则得出结论即可；（3）根据绝对值的性质去掉绝对值，再进行合并即可．【详解】（1）由数轴可知，①；

②；

③；

④；故答案为：<,>,<,>．（2）由数轴可知：（3），，，，，．【点睛】本题考查有理数的比较大小，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键．【考点二分类讨论化简绝对值】例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为．【答案】3，-3，1，−1．【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3；(2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3；(3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1；同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．(4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1；同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1．故答案为：3，-3，1，−1．【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．【变式训练】1．（2023秋·七年级单元测试）若，则．【答案】【分析】讨论a和b的符号，逐一求解即可．【详解】解：∵，∴，或，，若，，则；若，，则；综上所述，的值为，故答案为：．【点睛】本题考查绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键．2．（2022秋·江苏·七年级专题练习）现场学习：我们知道|x|＝，所以当x＞0时，＝1，当x＜0时，＝﹣1．解决问题：已知a，b是有理数，当ab≠0时，求的值．【答案】2或或0【分析】根据绝对值的意义可进行分类讨论求解．【详解】解：分四种情况：①当a＞0，b＞0时，＝1+1＝2；②当a＜0，b＜0时，＝﹣1﹣1＝﹣2；③当a＞0，b＜0时，＝1﹣1＝0；④当a＜0，b＞0时，＝﹣1+1＝0；综上所述：的值为2或﹣2或0．【点睛】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．3．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若，；若，；（2）若，则＝；（3）若，则．【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．【分析】（1）根据的取值，去绝对值符号，然后化简即可；（2）由（1）可知，结合可知即，化简即可；（3）结合可知a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，分情况结合（1），化简即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴；∵，∴，∴，故答案为：1，；（2）∵，∴，∴，∴，故答案为：1；（3）∵，∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，当a、b、c中有一个负数、两个正数时，，当a、b、c中有三个负数时，，故答案为：1或．【点睛】本题考查了绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．4．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：(1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______．(2)已知，，是有理数，，，求的值．(3)已知，，是有理数，当时，求的值．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）根据正负数去绝对值的方法即可求解．（2）由可得，由根据进而可求解．（3）分四种情况讨论：①当都是正数，即时；②当有一个为正数，另两个为负数时，设；③当有两个为正数，一个为负数时；④当三个数都为负数时，分别去绝对值即可求解．【详解】（1）解：当时，则，当，则，故答案为：，．（2）已知是有理数，，所以，且中两正一负，所以．（3）由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数．①当都是正数，即时，则：，②当有一个为正数，另两个为负数时，设，则：，③当有两个为正数，一个为负数时，设，则：，④当三个数都为负数时，则：，综上所述：的值为或或或【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的乘除法，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它相反数是解题的关键．5．（2023秋·全国·七年级专题练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）【答案】(1)，1，(2)或3(3)【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可；（2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可；（3）个正数，负数有个，式子中有个正1，个，相加得答案．【详解】（1）解：，，，故答案为：，1，．（2），，，，，的正负性可能为：①当为正数，，为负数时：原式；②当为正数，，为负数时，原式；③当为正数，，为负数时，原式，原式或3．（3）∵有个正数，负数的个数为，．故答案为：．【点睛】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题．【考点三利用几何意义化简绝对值】例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．(5)当_____时，的值最小，最小值是_____．【答案】(1)；(2)或(3)；(4)(5)，【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答；（3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；（4）根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解；（5）分类讨论，即可解答．【详解】（1）解：由数轴得数轴上表示和的两点之间的距离是：；表示和两点之间的距离是：；故答案：；．（2）解：由得，，所以表示与距离为，因为与距离为的是或，所以或．故答案：或．（3）解：由，得，，，所以表示与的距离为，与的距离为，，所以或，或，当，时，则A、B两点间的最大距离是，当，时，则A、B两点间的最小距离是，故答案：，．（4）解：所以表示与的距离加上与的距离的和，因为表示数a的点位于与之间，所以，故答案：．（5）解：，所以表示与、、的距离之和，①如图，当表示的点在的右侧时，即，

由数轴得：，所以，所以；②如图，当表示的点在和的之间时，即，

由数轴得：因为，所以，所以；③如图，当表示的点在和的之间时，即，

由数轴得：因为，所以，所以；④当表示的点在或或的点上时，即或或，如图，当时，

；如图，当时，

；如图，当时，

；因为，所以当表示的点在或或的点上时，仅当时，的最小值为；综上所述：当，的最小值为．故答案：，．【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)探究：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是；②数轴上表示和的两点之间的距离是；③数轴上表示和5的两点之间的距离是．(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(3)应用：①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：，那么a＝．

②若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值．③当a何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．

【答案】(1)①4；②5；③8(2)(3)①或；②7；③当时，的值最小，最小值是7【分析】（1）根据两点之间的距离较大的数较小的数可得结论；（2）因为不确定和的大小关系，所以数轴上表示数和数的两点之间的距离等于；（3）①根据绝对值的意义可得：，解方程即可；②根据a的范围，化简绝对值，再合并即可；③分析得出表示一点到，1，2三点的距离的和，据此可解．【详解】（1）解：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是；②数轴上表示和的两点之间的距离是；③数轴上表示和5的两点之间的距离是；（2）一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；（3）①，∴或，解得：或；②∵数轴上表示数a的点位于与2之间，∴，∴；③表示一点到，1，2三点的距离的和，∴当时，该式的值最小，最小值为．∴当时，的值最小，最小值是7．【点睛】本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系，是解题的关键．2．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点间的距离表示为AB，则．所以的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝．（2）若，则的值是．（3）如果数轴上表示数的点位于－4和2之间，求的值；（4）点取何值时，取最小值，最小值是多少？请说明理由；（5）直接回答：当式子取最小值时，相应的取值范围是多少？最小值是多少？【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）当时，最小值为；（5）当时，最小值为【分析】（1）根据题目中的方法确定出的长即可；（2）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出的值；（3）根据数轴上两点间的距离的求法，化简即可；（4）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案；（5）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案．【详解】解：（1），则；（2）∵，∴，故或，故答案为：或；（3）∵数轴上表示数的点位于－4和2之间，∴；（4）∵，代表点到和到之间的距离之和，当时，取得最小值，最小值为；（5）当时，有最小值，最小值为====20．【点睛】本题考查了绝对值，数轴两点间的距离，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小．3．（2022秋·北京西城·七年级校考阶段练习）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道，世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离：①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，例如表示到2的距离，而则表示到的距离；②我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如化简时，可先令和，分别求得，（称和2分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③．从而化简可分以下3种情况：①当时，原式；②当时，原式；③当时，原式．综上，原式＝结合以上材料，回答以下问题：(1)若，则．(2)当代数式取最小值时，x的取值范围是．(3)代数式有最大值，这个值是．【答案】(1)3或(2)(3)2【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；（2）若代数式取最小值时，表示在数轴上找一点到和2的距离之和最小，据此可解；（3）分、、分别化简，结合的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．【详解】（1）解：由绝对值的几何意义知：表示在数轴上表示的点到1的距离等于2，，，或；（2）解：若代数式取最小值时，表示在数轴上找一点，到和2的距离之和最小，显然这个点在和2之间，当时，有最小值3．（3）当时，原式，当时，原式，，当时，原式，则的最大值为2．【点睛】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间的距离及绝对值的运算法则，是解题的关键．【考点四解绝对值方程】例题：（2022秋·全国·七年级专题练习）解下列绝对值方程：(1)(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可；（2）根据绝对值的性质求解即可．【详解】（1）解：，；（2）解：，或，解得：或．【点睛】本题考查解绝对值方程，掌握绝对值的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)或(2)或(3)或(4)或【分析】（1）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（2）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（3）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（4）首先对方程进行整理，得出，再根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解．【详解】（1）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解为：或；（2）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解为：或；（3）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解为：或；（4）解：，整理，可得：，∴或，解得：或，∴原方程的解为：或．【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在根据绝对值的意义，去绝对值．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0．2．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读，后解题：符号表示的绝对值为2，表示的绝对值为2，如果那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或，利用上面的知识，解方程：．【答案】或【分析】注意互为相反数的两个数的绝对值相等．【详解】解：移项得，，根据绝对值的意义，得或，解得或．【点睛】本题考查了绝对值的概念，同时要注意两种情况，再熟练解方程即可．3．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应两点之间的距离：同理也可以理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示x在数轴上对应点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下面问题：(1)，若，则；(2)请你找出所有符合条件的整数x，使得；(3)求的最小值，并写出此时x的取值情况．【答案】(1)6；7或(2)、、0、1(3)当，有最小值9【分析】（1）由绝对值的几何意义可知表示的是4与两数在数轴上的距离，表示x与2两数在数轴上的距离为5，据此求解即可；（2）分、、三种情况讨论求解即可；（3）分当时，当时，当时，当时四种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：由绝对值的几何意义可知表示的是4与两数在数轴上的距离，∴；同理可知表示x与2两数在数轴上的距离为5，∴或，故答案为：6；7或；（2）解：当时，不符合题意；当时，符合题意，∴此时满足题意的整数为、、0、1；当时，不符合题意；综上所述，满足题意整数为、、0、1；（3）解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；综上所述，当，有最小值9．【点睛】本题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离．4．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：．解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得．所以原方程的解是或．(1)利用上述方法解方程：．(2)当满足什么条件时，关于的方程，①无解；②只有一个解；③有两个解．【答案】(1)或(2)①当无解时，；②当只有一个解时，；当有两个解时，【分析】（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得；（2）根据绝对值的意义，运用分类讨论进行解答．【详解】（1）当3x-2≥0时，原方程可化为：3