2024届一轮复习人教A版 直线与圆的位置关系 作业

课时分层作业(二十)直线与圆的位置关系一、选择题1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离 B．相切C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心C[直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1不过圆心(0,0)，所以位置关系是相交但直线不过圆心，故选C．]2．过点(0,2)作与圆x2＋y2－2x＝0相切的直线l，则直线l的方程为()A．3x－4y＋8＝0B．3x＋4y－8＝0C．x＝0或3x＋4y－8＝0D．x＝0或3x－4y－8＝0C[圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径r为1，当直线l的斜率不存在时，直线x＝0到圆心的距离为1，与圆相切成立；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，由直线l与圆相切得eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，此时直线l的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋2，化为一般式即3x＋4y－8＝0，故选C．]3．(多选题)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是()A．4x－3y＝14 B．4x－3y＝－6C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6AB[设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，直线与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1,0)到直线的距离为半径2，即eq\f(|4＋m|,5)＝2，∴m＝6或m＝－14，所以直线方程为4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，由选项可知A、B正确，故选AB．]4．过点P(－eq\r(3)，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0°＜α≤30° B．0°＜α≤60°C．0°≤α≤30° D．0°≤α≤60°D[易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋eq\r(3))，即kx－y＋eq\r(3)k－1＝0．因为直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0,0)到直线l的距离eq\f(|\r(3)k－1|,\r(1＋k2))≤1，即k2－eq\r(3)k≤0，解得0≤k≤eq\r(3)，故直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤60°．]5．(多选题)(2022·江苏淮安高一期末)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2eq\r(3)，则k的取值可以是()A．－1B．－eq\f(1,2)C．0D．1BC[圆(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为(3,2)，半径为2，由|MN|≥2eq\r(3)可得圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离d＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MN|,2)))eq\s\up12(2))≤1，又直线方程可化为kx－y＋3＝0，所以eq\f(|3k－2＋3|,\r(k2＋1))≤1，解得－eq\f(3,4)≤k≤0，所以k的取值可以是－eq\f(1,2)，0，故选BC．]二、填空题6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．2eq\r(3)[由题意可知，直线l的方程为y＝eq\r(3)x，圆x2＋y2－4y＝0可化为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(0,2)，半径r＝2．圆心(0,2)到直线eq\r(3)x－y＝0的距离d＝eq\f(2,\r(\r(3)2＋－12))＝1，所以弦长l＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(3)．]7．已知直线l过点P(2,4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为________，此时切线长为________．x＝2或3x－4y＋10＝04[由22＋42＝20>4，得点P在圆外，当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，则切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，∴eq\f(|－2k＋4|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq\f(3,4)．故所求切线方程为3x－4y＋10＝0．当过点P的切线斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件．此时切线长为P点的纵坐标4．故直线l的方程为3x－4y＋10＝0或x＝2．]8．当直线l：(m＋1)x＋(2m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25截得的弦最短时，实数m的值为________．－eq\f(3,4)[直线l：(m＋1)x＋(2m＋1)y－7m－4＝0，即m(x＋2y－7)＋(x＋y－4)＝0，圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的圆心C(2,1)，半径为5．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－7＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))故直线l经过定点A(1,3)．要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，故有kCA·kl＝－1，即eq\f(3－1,1－2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m＋1,2m＋1)))＝－1，解得m＝－eq\f(3,4)．故答案为－eq\f(3,4)．]三、解答题9．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝2eq\r(19)时，求直线l的方程．[解](1)设圆A的半径为r，因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，所以r＝eq\f(|－1＋4＋7|,\r(5))＝2eq\r(5)，所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20．(2)当直线l与x轴垂直时，则直线l的方程为x＝－2，此时有|MN|＝2eq\r(19)，即x＝－2符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，因为Q是MN的中点，所以AQ⊥MN，所以|AQ|2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|MN|))eq\s\up12(2)＝r2，又因为|MN|＝2eq\r(19)，r＝2eq\r(5)，所以|AQ|＝eq\r(20－19)＝1，解方程|AQ|＝eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq\f(3,4)，所以此时直线l的方程为y－0＝eq\f(3,4)(x＋2)，即3x－4y＋6＝0．综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0．10．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若eq\o(OM,\s\up7(→))·eq\o(ON,\s\up7(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．[解](1)由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A(0,1)的直线方程：y＝kx＋1，即：kx－y＋1＝0．由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3)，半径R＝1．故由eq\f(|2k－3＋1|,\r(k2＋1))＝1，解得：k1＝eq\f(4－\r(7),3)，k2＝eq\f(4＋\r(7),3)．故当eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3)，过点A(0,1)的直线与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意可得，经过点M，N，A的直线方程为y＝kx＋1，代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，可得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，所以x1＋x2＝eq\f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2)，所以y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(12k2＋4k＋1,1＋k2)，由eq\o(OM,\s\up7(→))·eq\o(ON,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\f(12k2＋4k＋8,1＋k2)＝12，解得k＝1，故直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．圆心C在直线l上，MN的长即为圆的直径．所以|MN|＝2．1．已知a，b∈R，a2＋b2≠0，则直线l：ax＋by＝0与圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0的位置关系是()A．相交 B．相离C．相切 D．不能确定C[方程x2＋y2＋ax＋by＝0可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)(a2＋b2)，则圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－\f(b,2)))，半径r＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)，所以圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－\f(b,2)))到直线l的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a2－\f(1,2)b2)),\r(a2＋b2))＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)＝r，由此直线l和圆相切，故选C．]2．曲线y＝1＋eq\r(4－x2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,12))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))D[根据题意画出图形，如图所示．由题意可得直线恒过点A(2,4)，又曲线y＝1＋eq\r(4－x2)是以(0,1)为圆心，2为半径的圆的上半部分，当直线与半圆相切，C为切点时，圆心到直线的距离d＝r＝2，由eq\f(|－2k＋3|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq\f(5,12)；当直线过B点时，直线的斜率为eq\f(4－1,2－－2)＝eq\f(3,4)，则直线与曲线有两个交点时，实数k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))，故选D．]3．若直线l：x＋eq\r(3)y－m＝0被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦长为2eq\r(3)，则圆心C到直线l的距离是________，m＝________．1－1或3[圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝4，则圆心C(1,0)，半径r＝2，设圆心C到直线l的距离为d，则d2＋(eq\r(3))2＝r2⇒d＝1(负值舍去)．∴eq\f(|1－m|,2)＝1⇒|m－1|＝2⇒m＝－1或m＝3．]4．圆心在直线y＝－x＋1上，且与直线l：x＋y－2＝0相切于点P(1,1)的圆的方程是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)[设圆心坐标为C(a，b)．∵圆心在直线y＝－x＋1上，∴b＝－a＋1．又∵圆与直线l：x＋y－2＝0相切于点P(1,1)，则CP⊥l．∴kCP＝eq\f(1－b,1－a)＝eq\f(1－－a＋1,1－a)＝eq\f(a,1－a)＝1．解得a＝eq\f(1,2)．∴b＝－a＋1＝eq\f(1,2)．∴圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))．圆的半径r＝|CP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)．∴圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)．]已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．[解](1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，－2－\f(3,4)x))．圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2×eq\f(1,2)×|AP|×|AC|＝|AP|．因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|