北京中国传媒大学附属中学 高三数学文上学期摸底试题含解析

北京中国传媒大学附属中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，若输入数据n=5，a1=-2，a2=-2.6，a3=3.2，a4=2.5，a5=1.4，则输出的结果为A．0．3B．0．4C．0．5D．0．6参考答案：C该程序框图的功能是求个数的平均数，输入5个数的平均数为，选C．2.已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣1008 B．﹣1008i C．1008 D．2016参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1008﹣1008i的虚部是﹣1008．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.函数在（0，1）内的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D4.《九章算术》中记载了一种标准量器﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），则该几何体的容积为（）立方寸．（π≈3.14）A．12.656 B．13.667 C．11.414 D．14.354参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左边是圆柱，底面半径为0.5寸，母线长为1.6寸，右边为长方体，3.8寸，3寸，1寸．然后由长方体与圆柱的体积得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，左边是圆柱，底面半径为0.5寸，母线长为1.6寸，右边为长方体，3.8寸，3寸，1寸．则其体积V=3.14×（0.5）2×1.6+3.8×3×1=12.656．故选：A．5.已知抛物线x2＝－4y的准线与双曲线＝1(a>0，b>0)的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是()A. B.2 C. D.5参考答案：A抛物线x2＝－4y的准线为l：y＝1，显然双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，则e＝.6.已知全集U={－1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={－1,0,1}，则(CUA)∩B=（

）A.{－1} B.{0,1}C.{－1,2,3} D.{－1,0,1,3}参考答案：A【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】，则【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.

7.下面式子中，①=3﹣π；②无理数e是自然对数的底数，可以得logπ1+lne=1；③若a＞b，则a2＞b2；④若a＞b，则（）a＜（）b正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B【考点】不等关系与不等式．【分析】①根据根式的性质进行化简即可；②根据对数的运算性质进行化简即可；③举反例即可判断命题真假；④考查指数函数y=的单调性即可．【解答】解：对于①，∵3＜π，∴=|3﹣π|=π﹣3，命题错误；对于②，∵无理数e是自然对数的底数，∴logπ1+lne=0+1=1，命题正确；对于③，∵0＞a＞b时，a2＜b2，∴命题错误；对于④，y=是R上的减函数，∴a＞b时，（）a＜（）b，命题正确．综上，以上正确的命题有②④两个．故选：B．8.（5分）（2015?南昌校级模拟）已知x1是方程10x=﹣x﹣2的解，x2是方程lgx=﹣x﹣2的解，函数f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2），则（）A．f（0）＜f（2）＜f（3）B．f（2）=f（0）＜f（3）C．f（3）＜f（0）=f（2）D．f（0）＜f（3）＜f（2）参考答案：A【考点】：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【分析】：设l：y=﹣x﹣2，设l与y=10x，y=lgx分别相交于A，B两点，利用y=10x与y=lgx互为反函数可得AB的中点在y=x上，从而可求得x1+x2的值，从而可知f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）的对称轴，再利用其单调性即可得到答案．解：设直线l的方程为：y=﹣x﹣2，设l与y=10x，y=lgx分别相交于A，B两点，∵y=10x与y=lgx互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称，由题意得：点A（x1，﹣x1﹣2）与点B（x2，﹣x2﹣2）关于直线y=x对称，∴AB的中点在直线y=x上，∴=，即﹣x1﹣2﹣x2﹣2=x1+x2，∴x1+x2=﹣2，∴f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）=x2﹣（x1+x2）x+x1x2=x2+2x+x1x2，其对称轴方程为：x=﹣1，∴f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，∴f（0）＜f（2）＜f（3），故选A．【点评】：本题考查对数函数与指数函数的图象与性质，考查反函数的应用，考查二次函数的性质，属于难题．9.“?n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由2an+1=an+an+2，可得an+2﹣an+1=an+1﹣an，可得数列{an}为等差数列；若数列{an}为等差数列，易得2an+1=an+an+2，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：由2an+1=an+an+2，可得an+2﹣an+1=an+1﹣an，由n的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列{an}为等差数列，反之，若数列{an}为等差数列，易得2an+1=an+an+2，故“?n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的充要条件，故选C【点评】本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判断，属基础题．10.椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B．

C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量=（﹣1，1），=（x﹣3，1），且⊥，则x=．参考答案：4略12.某几何体的三视图(单位：cm)如图，则这个几何体的体积为

cm3

参考答案：略13.设实数x，y满足，则z=+的取值范围是．参考答案：[2，]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设k=，利用k的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设k=，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，则z=k+，由图象知，OA的斜率最大，OB的斜率最小，由得，即A（1，2），此时k=2，由得，即A（3，1），此时k=，则≤k≤2，∵z=k+在[，1]上为减函数，则[1，2]上为增函数，∴当k=1时，函数取得最小值为z=1+1=2，当k=时，z==，当k=2时，z=2+=＜，则z的最大值为，故2≤z≤，故答案为：[2，]14.已知是抛物线：的焦点，是上一点，直线交直线于点.若，则

．参考答案：815.设函数的值为_________．参考答案：-1由得16.（坐标系与参数方程选做题）如图，为圆O的直径，为圆O上一点，和过的切线互相垂直，垂足为，过的切线交过的切线于，交圆O于，若，，则=

.参考答案：17.已知定义在上的函数满足：，且，，则方程在区间上所有的实根之和为______。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.参考答案：解：（1）标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E.从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E).共10种.由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.（2）记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种.由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.19.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线：（为参数），：（为参数）.（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求线段的中点到直线

距离的最小值.参考答案：见解析【知识点】参数方程解:（Ⅰ），

为圆心是，半径是的圆．

为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆．

（Ⅱ）当时，，

设

则，

为直线，

到的距离

从而当时，取得最小值

20.已知点，若点满足.（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△面积的最大值及此时直线l的方程.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最大值为，此时直线的方程为.【分析】（Ⅰ）根据椭圆的定义求解轨迹方程；（Ⅱ）设出直线方程后，采用（表示原点到直线的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.【详解】解：（Ⅰ）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，.因此椭圆的方程为.（Ⅱ）设直线的方程为与椭圆交于点，

，联立直线与椭圆的方程消去可得，即，.面积可表示为令，则，上式可化为，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最大值为，此时直线的方程为.【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：（1）已知点，若点满足且，则的轨迹是椭圆；（2）已知点，若点满足且，则的轨迹是双曲线.21.已知函數(I)求函数的单调区间;(II)若是函数图象上不同的两点,且,为的导函数,求证:参考答案：解:(Ⅰ)f(x)的定义域为,时,>0,在上单调递增;时,<0,在上单调递减.综上所述:在上单调递增,在上单调递减

(Ⅱ)要证,只需证,令即证,令,因此得证

要证,只要证,令,只要证,令,因此,所以得证

ks5u另一种的解法:令=,,则

,所以在单调递增,即得证.

略22.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求sin∠BAC的值．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简得到一个等式，再利用余弦定理求出cosB的