华师题库《数学建模》

某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……请你研究这个问题，并向学院领导写一份报告.解：记存款的年利息为r,由于一开始存入银行的本金为x0,第k年存入银行的钱为Xk,并且每年取出当奖金的钱为b,则它们之间存在的关系有：每年利息=本年存入款项年利息每年取出款项=上一年存入款项+每年利息每年存入款项=每年取出款项奖金列式得：由上式解得由实际情况，已知x0=20(万元)，r在近10多年的变化幅度在2%~4%之间，我们取3个值，分别为2%，3%，4%，当年利率为2%时，每年存入款项随奖金数变化如下年数\奖金数额2千元4千元6千元020.000020.000020.00001.000020.200020.000019.80002.000020.404020.000019.59603.000020.612120.000019.38794.000020.824320.000019.17575.000021.040820.000018.95926.000021.261620.000018.73847.000021.486920.000018.51318.000021.716620.000018.28349.000021.950920.000018.049110.000022.189920.000017.810111.000022.433720.000017.566312.000022.682420.000017.317613.000022.936120.000017.063914.000023.194820.000016.805215.000023.458720.000016.541316.000023.727920.000016.272117.000024.002420.000015.997618.000024.282520.000015.717519.000024.568120.000015.431920.000024.859520.000015.140521.000025.156720.000014.843322.000025.459820.000014.540223.000025.769020.000014.231024.000026.084420.000013.915625.000026.406120.000013.593926.000026.734220.000013.265827.000027.068920.000012.931128.000027.410220.000012.589829.000027.758420.000012.241630.000028.113620.000011.8864①当年利率为2%，学金定为4千元时，因为，经验算得知，因此存款的数额将趋于稳定.②当年利率为2%，奖学金的数额大于4千元时，单调递减并且将在某一年变为零.同理，当奖学金的数额小于4千元时，存款的数额将会无限增长.当年利率为3%时，每年存入款项随奖金数变化如下年数\奖金数额4千元6千元8千元020.000020.000020.00001.000020.200020.000019.80002.000020.406020.000019.59403.000020.618220.000019.38184.000020.836720.000019.16335.000021.061820.000018.93826.000021.293720.000018.70637.000021.532520.000018.46758.000021.778520.000018.22159.000022.031820.000017.968210.000022.292820.000017.707211.000022.561620.000017.438412.000022.838420.000017.161613.000023.123620.000016.876414.000023.417320.000016.582715.000023.719820.000016.280216.000024.031420.000015.968617.000024.352320.000015.647718.000024.682920.000015.317119.000025.023420.000014.976620.000025.374120.000014.625921.000025.735320.000014.264722.000026.107420.000013.892623.000026.490620.000013.509424.000026.885320.000013.114725.000027.291920.000012.708126.000027.710620.000012.289427.000028.141920.000011.858128.000028.586220.000011.413829.000029.043820.000010.956230.000029.515120.000010.4849①年利率为3%，学金定为6千元时，因为，经验算得知，因此存款的数额将趋于稳定.②当年利率为3%，奖学金的数额大于6千元时，单调递减并且将在某一年变为零.同理，当奖学金的数额小于6千元时，存款的数额将会无限增长.当年利率为4%时，每年存入款项随奖金数变化如下年数\奖金数额6千元8千元1万元020.000020.000020.00001.000020.200020.000019.80002.000020.408020.000019.59203.000020.624320.000019.37574.000020.849320.000019.15075.000021.083320.000018.91676.000021.326620.000018.67347.000021.579720.000018.42038.000021.842820.000018.15729.000022.116620.000017.883410.000022.401220.000017.598811.000022.697320.000017.302712.000023.005220.000016.994813.000023.325420.000016.674614.000023.658420.000016.341615.000024.004720.000015.995316.000024.364920.000015.635117.000024.739520.000015.260518.000025.129120.000014.870919.000025.534220.000014.465820.000025.955620.000014.044421.000026.393820.000013.606222.000026.849620.000013.150423.000027.323620.000012.676424.000027.816520.000012.183525.000028.329220.000011.670826.000028.862320.000011.137727.000029.416820.000010.583228.000029.993520.000010.006529.000030.593320.00009.406730.000031.217020.00008.7830①年利率为4%，学金定为8千元时，因为，经验算得知，因此存款的数额将趋于稳定.②当年利率为4%，奖学金的数额大于8千元时，单调递减并且将在某一年变为零.同理，当奖学金的数额小于8千元时，存款的数额将会无限增长.某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%、0.55%和-4.5%.假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：(1)三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；(2)如果每年捕获3只，山猫数量将如何变化？会灭绝吗？如果每年只捕获1只呢？(3)在较差的自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？①解记第k年山猫xk,设自然坏境下的年平均增长率为r，则列式得xk+1=(1+r)xk,k=0,1,2…其解为等比数列xk=x0(1+r)k,k=0,1,2…当分别取r=0.0168,0.0055和-0.0450时，山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为年较好中等较差01001001001102101962103101913105102874107102835109103796111103767112104728114104699116105661011810663111201066012122107581312410755141261085215128109501613110948171331104618135110441913711142201401124021142112382214411336231471133524149114332515211532从上可以得出结论：在较好的自然环境下即r=0.0168时，xk单调增趋于无穷大，山猫的数量将无限增长；在中等的自然环境下即r=0.0055时，xk单调增并且趋于稳定值；在较差的环境中即r=-0.0450时，xk单调衰减趋于0，山猫将濒临灭绝。②若每年捕获3只,b=－3，则列式为Xk+1=(1+r)xk－b则山猫在25年内的演变为年较好中等较差01001001001999893297958539693784959072593886669285607908354889804998777431086753911847234128370291381672514796421157862171676591317745610187354619715132069480216746-3226543-6236340-9246137-11255935-14由图上可知，无论在什么环境下，如果每年捕获山猫3只，单调减趋于0，那么最终山猫的数量都会灭绝，在较差的环境中第20年就会灭绝。同理，如果每年人工捕获山猫1只，那么山猫在不同环境中的演变为年较好中等较差01001001001101100952101998931029984410398795104987561049770710597668106966291079659101079555111089551121099448131109445141119342151119339161129236171139234181149231191159129201169126211179024221189022231198920241208818251218816如果每年人工捕获山猫一只，在较好的环境下山猫的数量仍然会一直增加，在中等的环境下，山猫的数量趋于稳定，但会慢慢减少，在较差的环境下，山猫的数量一直在减少，很快就会灭绝。③若要使山猫的数量稳定在60只左右，设每年需要人工繁殖b只，到第k年山猫的数量为xk=(1+r)xk-1+b,k=0,1,2…这时xk=xk-1=60，r=-4.5%，代入上式得b≈3某旅馆把毛巾送到外面的清洗店去洗.旅馆每天有600条脏毛巾要洗，清洗店定期上门来收取这些脏毛巾，并换成洗好的干净毛巾.清洗店清洗毛巾的标准收费每条2元，但是如果旅馆一次给清洗店至少2500条毛巾，清洗店清洗毛巾的收费为每条1.9元.清洗店每一次取送服务都要收取上门费250元.旅馆存放脏毛巾的费用是每天每条0.1元.旅店应该如何使用的清洗店的取送服务呢？10、解：由题意得p1=250，p2=60，r=600很明显，这时属于不允许缺货的模型，所以每单位时间的总费用C=p0r+EQ\F(p1,T)+EQ\F(p2rT,2)①当且仅当T=T*是C取得极值的必要条件C＇(T*)=－(p1/T*2)+(p2r/2)=0解得T*=EQ\F(5√3,3)≈2.883即是C=p0r+EQ\F(p1,T)+EQ\F(p2rT,2)在（0,2.883）内单调递减，在（2.883，+∞）内递增，考虑到T*=1,2,3,4……又因为当最优订货量Q*﹤2500时，p0=2,当Q*≥2500时，p0=1.9，我们把p1=250，p2=60，r=600，T*=2,3,4,5,6代入①式分别得T*(天)C（元）2138531373.341402.55134061361.6因为C值在（5，+∞）内是单调递增的，所以从上表可知当T*=5时，每天的平均费用为1340元，达到最小值有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取方式（指本金一次存入，分次支取本金的一种储蓄）存入，从第一个月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金.请你计算老人多少岁时将把养老金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？解：记养老金第k月末的银行账户余额为xk元，则列式为xk+1=(1+r)xk－b根据一阶线性常系数非齐次差分方程得xk=（x0+EQ\F(b,r)）(1+r)k－EQ\F(b,r)k=0,1,2,3……由题目可知x0=100000，b=1000元，r=0.003,所以账户余额的变化如下月份余额010.00001.00009.93002.00009.85983.00009.78944.00009.71875.00009.64796.00009.57687.00009.50568.00009.43419.00009.362410.00009.290511.00009.218312.00009.146013.00009.073414.00009.000715.00008.927716.00008.854417.00008.781018.00008.707419.00008.633520.00008.559421.00008.485122.00008.410523.00008.335724.00008.260725.00008.185526.00008.110127.00008.034428.00007.958529.00007.882430.00007.806031.00007.729532.00007.652633.00007.575634.00007.498335.00007.420836.00007.343137.00007.265138.00007.186939.00007.108540.00007.029841.00006.950942.00006.871743.00006.792444.00006.712745.00006.632946.00006.552847.00006.472448.00006.391849.00006.311050.00006.230051.00006.148652.00006.067153.00005.985354.00005.903255.00005.821056.00005.738457.00005.655658.00005.572659.00005.489360.00005.405861.00005.322062.00005.238063.00005.153764.00005.069165.00004.984466.00004.899367.00004.814068.00004.728469.00004.642670.00004.556671.00004.470272.00004.383673.00004.296874.00004.209775.00004.122376.00004.034777.00003.946878.00003.858679.00003.770280.00003.681581.00003.592682.00003.503383.00003.413884.00003.324185.00003.234186.00003.143887.00003.053288.00002.962389.00002.871290.00002.779891.00002.688292.00002.596393.00002.504094.00002.411695.00002.318896.00002.225797.00002.132498.00002.038899.00001.9449100.00001.8508101.00001.7563102.00001.6616103.00001.5666104.00001.4713105.00001.3757106.00001.2798107.00001.1837108.00001.0872109.00000.9905110.00000.8934111.00000.7961112.00000.6985113.00000.6006