li平面及其方程

第六节平面及其方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、平面的截距式方程五、点到平面的距离四、两平面的夹角◆法线向量◆法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．一、平面的点法式方程垂直于平面的非零向量．必有◆问题：解：（简称为法向量）:-------点法式方程◆可以看出:必有解：例1解

过点M0(x0,y0,z0)且法线向量为n=(A,B,C)的平面的方程为

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

所求平面的方程为

3(x

3)

7(y

0)

5(z

1)

0

即3x

7y

5z

4

0

例2求过点(3

0

1)且与平面3x

7y

5z

12

0平行的平面方程

解

所求平面的法线向量为n

(3

7

5)

平面的点法式方程

例3.求过三点即解:

取该平面

的法向量为的平面

的方程.利用点法式得平面

的方程此平面的三点式方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:所求平面的一个法向量为即由点法式方程，得解二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.特殊情形•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于y

轴的平面;平行于z

轴的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.例1.

求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通过x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程解所以设平面方程为：所求平面平行于轴，可知将已知两点代入得当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为三.平面的截距式方程.分析1:利用三点式按第一行展开得即设平面为将三点坐标代入得解将代入所设方程得平面的截距式方程四、两平面的夹角设平面∏1的法向量为

平面∏2的法向量为则两平面夹角

的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.特别有下列结论：

例1

求平面

2x

2y

z

5

0与各坐标面的夹角.平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:此平面的法线向量为n

(2

2

1)

解

平面与yOz面的夹角的余弦为

平面与zOx面的夹角的余弦为

因此有例2.

一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且外一点,求设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0

到平面的距离为五.点到平面的距离公式(点到平面的距离公式)

例1求点(1

2

1)到平面x

2y

2z

10

0的距离.点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0距离:

解:

222000||CBADCzByAxd+++++=.

点(1

2

1)到平面x

2y

2z

10

0的距离为

例2.解:

设球心为求内切于平面x+y+z=1

与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角