浅谈函数奇偶性、周期性、对称性的关系 论文

PAGEPAGE1浅谈函数奇偶性、周期性、对称性的关系参考。关键词:函数，奇偶性，周期性，对称性一、函数的奇偶性、周期性和对称性的含义1.奇偶性一般地，设函数

f(x)的定义域是A，如果对任意的xA,有xA,且f(x)f(x),那么称函数f(x)为奇函数。设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的xA,有xA,且f(x)f(x),那么称函数f(x)为偶函数。2.周期性yf(x),xD,如果存在一个非零常数T,使得对任意的xD，都有xTD且满足f(xT)f(x),那么函数yf(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期。3.对称性对称情况通常可以分为两种类型，一种为轴对称，另一种为中心对称。前者是如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。二、函数的奇偶性、周期性和对称性的结论1.奇偶性（1）f(xa)f(ax)

f(x)为偶函数；（2）f(xa)f(ax)2.周期性（1）f(xa)f(xa)

f(x)为奇函数；f(x)是周期为2a的函数；（2）f(xa)f(xa)

f(x)是周期为4a的函数；（3）f(xa)1f(x)（4）f(xa)1f(x)

f(x)是周期为2a的函数；f(x)是周期为2a的函数；3.对称性（1）f(ax)f(ax)

f(x)的图象关于直线xa对称；（2）f(ax)f(ax)（3）f(ax)f(bx)

f(x)的图象关于点(a,0)对称；f(x)的图象关于直线xab对称;2（4）f(ax)kf(bx)

f(x)的图象关于点(ab,k)对称；2 2量x同号时，考查的是函数周期性，自变量x异号时，考查的是函数对称性。三、函数的奇偶性、周期性和对称性间的联系1.奇偶性

对称性（1）设f(xa)为偶函数，则f(x)的图象关于直线xa对称。

f(xa)为偶函数f(ax)f(ax),故f(x)的图象关于直线xa对称（2）设f(xa)为奇函数，则f(x)的图象关于点(a,0)对称。

f(xa)为奇函数

f(ax)f(ax),故f(x)的图象关于点(a,0)对称总结：若

f(x)为偶函数,这里可以令tax,偶函数

f(t)f(t)则f(ax)f(ax);而若

f(xa)为偶函数，这里令g(x)f(xa),偶函数g(x)g(x),则f(ax)f(ax)。奇函数同理也可以这样分析。2.对称性

周期性f(x)的图像关于xa和xbf(x)为周期函数，且2|ab|为其一个周期。

f(x)关于xa对称,则f(ax)f(ax)

f(x)f(2ax)f(x)关于xb对称,则f(bx)f(bx)

f(x)f(2bx)f(2ax)f(2bx),即f(x)f(x2b2a)f(x)为周期函数，且2|ab|为其一个周期f(x)的图像关于(a,0)和(b,0)f(x)为周期函数，且2|ab|为其一个周期。

f(x)关于(a,0)对称,则f(ax)f(ax)

f(x)f(2ax)f(x)关于(b,0)对称,则f(bx)f(bx)

f(x)f(2bx)f(2ax)f(2bx),即f(x)f(x2b2a)f(x)为周期函数，且2|ab|为其一个周期（3）设函数f(x)的图像关于xa和(b,0)对称，则f(x)为周期函数，且4|ab|为其一个周期。

f(x)关于xa对称,则f(ax)f(ax)

f(x)f(2ax)f(x)关于(b,0)对称,则f(bx)f(bx)

f(x)f(2bx)f(2ax)f(2bx),即f(x)f(x4b4a)f(x)为周期函数，且4|ab|为其一个周期条对称轴的距离是三角函数的112 2周期，相邻一条对称轴和一个对称中心的距离是三角函数的1周期。43.奇偶性+对称性

周期性f(x)xaf(x)是T2a的周期函数。

f(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)为偶函数f(ax)f(xa)

f(ax)f(xa)故f(x)是周期为2a的函数f(x)xaf(x)是T4a的周期函数。

f(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)为奇函数f(ax)f(xa)

f(ax)f(xa)故f(x)是周期为4a的函数4.奇偶性+周期性

对称性（1）设函数f(x)为偶函数，周期T2a,则f(x)关于xa对称。

f(x)是T2a的周期函数f(x)f(2ax),f(x)f(2ax)f(x)为偶函数f(x)f(x),f(2ax)f(x)f(x)关于xa对称（2）设函数f(x)为奇函数，周期T2a,则f(x)

f(x)是T2a的周期函数f(x)f(2ax),f(x)f(2ax)f(x)为奇函数f(x)f(x),f(2ax)f(x)f(x)5.对称性+周期性

对称性、奇偶性（1）设函数f(x)关于xa对称，周期Tb,则f(x)关于xab对称。

f(x)关于xa对称f(x)f(2ax)f(x)是Tb的周期函数f(x)f(2bx),f(2ax)f(2bx)故f(x)关于xab对称（2）特别地，在（1）中令b2a,其他条件不变，则f(x)为偶函数。

f(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)是T2a的周期函数f(xa)f(xa),f(ax)f(xa)故f(x)为偶函数四、函数的奇偶性、周期性和对称性的应用例1（2014高考全国卷文第12题）奇函数f(x)的定义域为R，若f(x2)为偶函数，且f1，则ff(9)（）A．2

B．1

C．0

D．1分析：由

f(x2)为偶函数得到

f(x2)f(x2)（

f(x)关于x2对称），而f(x)为奇函数,不难得到函数周期T8。ff(9)f(0)f1,选D。该题思路是：奇偶性+对称性

周期性例2（2021高考全国甲卷理第12题）设函数f(x)的定义域为R，f(x为奇函数，f(x2)x时，f(x)ax2bf(0)f6，则f(9)（）2A．94

B．32

C．74

D．52分析：由f(x为奇函数得到f(xf(x（f(x)关于对称）f(x2)为偶函数得到f(x2)f(x2)（f(x)关于x2对称）令x1,f(0)f(2)b,ffab

a令x0,f0

b2不难得到函数周期T4,f(9)f(1)f(3)5，选D。2 2 2 2该题思路是：奇偶性五、结语

对称性,对称性

周期性