第一章 质点运动学和牛顿运动定律

物理学主讲：武汉理工大学物理系

刘子龙副教授1第一篇力学(Mechanics)2第1章

质点运动学和牛顿运动定律内容提要描述质点运动的4个物理量圆周运动及其描述牛顿运动定律及其应用3数学预备知识矢量的运算一.矢量的表示法aAa=|a|a

ax、ay、az分别是矢量a在坐标轴x、y、z上的投影(分量)。

i、j、k分别是沿x、y、z轴正方向的单位矢量(恒矢量)。xaxayazyzoa图1-1A=|A|4二.矢量的加、减法aba+b三角形法aba-bab+=？多边形法aca+b+cbbac=?-ab=？5三.标量积(点积、数量积、内积)6四.矢量积(向量积、叉积、外积)

积C的方向垂直于矢量a和b组成的平面，bac

c指向由右手螺旋法则确定。7

1.矢量函数的微商与标量函数的微商不同：

矢量函数的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商

五.矢量函数A(t)的微商lim

t0

2.

的方向，一般不同于A的方向。只有当

t0时，

A的极限方向，才是的方向。8

3.

在直角坐标系中,考虑到是常量,有由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函数，所以就是普通函数的微商。9

运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。运动的描述是相对的。一.运动的绝对性和相对性

§1.1参考系、质点10

在研究机械运动时，选作参考的物体称为参考系。为了对物体的运动作定量描述，还需要在参考系中取定一个固定的坐标系。坐标系是参考系的代表和抽象。二.参考系坐标系常用的坐标系有笛卡尔坐标系（直角坐标系）、柱坐标系、球坐标系和自然坐标系。m11三、物理模型—质点[选定参考系和坐标系后，对实际问题的运动仍可能很复杂。如，乒乓球的运动，有整体运动（“弧圈球”）,还有自身转动（“上旋球”）,组成的分子还有内部运动]物理模型：为了反映物理过程的最本质特征（规律），只抓住问题的主要矛盾（方面）而忽视次要矛盾（方面）、对真实物理过程进行简化了的理想化的模型。常用：质点(masspoint)——在所研究的问题中，形状和大小可以忽略的物体；

刚体(rigidbody)——不计形状变化的理想物体;

点电荷(pointcharge)——不计大小、形状的理想

化带电物体；等等[针对复杂运动，为描述其最主要特征或所关心的最主要方面，需要对运动进行简化，借助于—物理模型]12可以将物体简化为质点的两种情况：物体不作转动(只平动)，不形变或形变量远小于运动线度；物体本身线度和它的活动范围相比小得很多。13d太阳→地球

≈1.5×108km

(近地点1.47×108km,远地点1.52×108km)R地球

≈

6.4×103kmR地球d太阳→地球<<地球太阳考察地球绕太阳公转时，地球可视为一个质点。研究地球的自转问题时，就不能把地球看作质点了。

14§1.2位矢位移速度加速度一.位置矢量

描述一个质点在空间位置的矢量

i、j、k

单位矢量。r=xi+yj+zk(1-1)图1-1oxyzP(x,y,z)

xyz

ABCr

位置矢量，简称位矢或矢径。由图1-1可知,

从坐标原点o指向P点的有向线段op=r15位置矢量r的大小(即质点P到原点o的距离)为式中

,,

取小于180°的值。

方向余弦:

cos

=x/r,cos

=y/r,cos

=z/rcos2

+cos2

+cos2

=1图1-1oxyzP(x,y,z)

xyz

ABCr16它们都叫做质点的运动方程。三.轨迹（道）方程质点所经的空间各点联成的曲线的方程，称为轨迹（道）方程。运动方程

例：x=6cos2t

y=6sin2t消去时间t得：x2+y2=62这就是轨道方程。二.运动方程(1-2)(1-3)17如图1-2所示,质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时刻t+t在B点。

(1)位移是位置矢量r

在时间

t内的增量:四.位移和路程从起点A到终点B的有向线段AB=

r,称为质点在时间

t内的位移。而A到B的路径长度

S,称为路程。Azyox图1-2BC

Sr(t)r(t+

t)

r18**

对于一维直线运动(如x轴方向)的质点，位移为注意：坐标的增量

x=x2-x1是位移，而不是路程!

在直角坐标系中，若t1、t2时刻的位矢分别为r1和r2,则这段时间内的位移为19

位移代表位置变化，是矢量，在图1-2中，是有向线段AB,

它的大小是|

r

,即割线AB的长度。位移=AC路程=AB+BC

AB只有当

t→0时,才有

|Δr|

S

。(2)位移和路程是两个不同的概念。

rAzyox图1-2BC

Sr(t)r(t+

t)BAC

路程表示路径长度，是标量，它的大小是曲线弧AB的长度

S

。在一般情况下,

S和并不相等。20单位时间内的路程

平均速率

定义:

单位时间内的位移

平均速度五.速度、速率

rAzyox图1-2BC

Sr(t)r(t+

t)反映质点位置变化的快慢程度。21如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈，

即使在直线运动中，如质点经时间

t从A点到B点又折回C点,显然平均速度和平均速率也截然不同:而平均速率为则平均速度为BAC22质点的(瞬时)速率:lim

t

0

=

质点的(瞬时)速度:

lim

t

0这表明,质点在t时刻的速度

等于位置矢量r对时间的一阶导数;而速率

等于路程S对时间的一阶导数。一般是时间的函数23

=

(1)速率=速度的大小。例:(A)lim

t

0=lim

t

0(B)(C)lim

t

0

=(1-10)(1-9)lim

t

0(2)=r

大小的导数+r

方向的导数。24速度的大小：

(3)在直角坐标系中,

速度的方向：某点的速度沿该点轨迹的切线方向25

为了描述速度随时间的变化情况，我们定义：质点的平均加速度则在时间

t内质点速度的增量为六.加速度（反映速度变化快慢的物理量）如图1-3所示,

设时刻t质点位于A点，速度为

(t),经时间

t运动到B点，速度为

(t+t),图1-3OxyzA.B.26

质点的(瞬时)加速度定义为

(1)在直角坐标系中,加速度的表示式是limDt

0这就是说,质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于速度矢量

对时间的一阶导数,或等于位矢r对时间的二阶导数。27(2)加速度a的大小:

而加速度a在三个坐标轴上的分量分别为28

在曲线运动中,加速度的方向总是指向曲线凹的一边的。在国际单位制中,加速度的单位为米/秒2(m·s-2)。加速度a的方向是：当

t→0时,速度增量

的极限方向。应该注意到,

的方向和它的极限方向一般不同于速度

的方向,因而加速度a的方向与同一时刻速度

的方向一般不相一致。aaa29例：由前面的讨论我们得到了质点的位置矢量、位移、速度和加速度在直角坐标系中的正交分解式。这些式子表明,任何一个曲线运动都可以分解为沿x,y,z三个方向的直线运动,每个方向上的运动是相互独立的,整个运动可看作是沿三个坐标轴方向的直线运动的叠加,这就是运动的叠加原理。30匀速运动速度

=常数，加速度a=0，运动方程匀加速运动角速度

≠常数，加速度a=非0常数，运动方程直线：直线：几类特殊的运动31

以上内容的学习要点是：认真学习用微积分来处理物理问题的方法。r=xi+yj+zk求导积分运动学的两类问题32

例题1-1

质点在xoy平面内运动，x=2t,y=19-2t2(SI);求：(1)质点在t=1s、t=2s时刻的位置,以及这1s内的位移和平均速度；(2)第1s末的速度和加速度；(3)轨道方程；平均速度：位移：当t=1s时，解

(1)位矢：当t=2s时，

(2)速度：33代入t=1s,得：加速度：

(3)轨道方程：由运动方程x=2t,y=19-2t2,得这是一条抛物线34质点作什么样的运动？例题1-2质点的位置矢量：解：

x=3+2t2,y=2t2-1，y=x-4直线运动质点作匀加速直线运动。35例题1-3一质点沿ox轴作加速直线运动，t=0时的位置是x0，速度是v0，加速度是a=a0+bt，其中a0和b是常量。求经过t秒后质点运动的速度和位置。解：由于质点做一维直线运动，矢量可用标量代替，通过最后结果的正负即可判断出物理量的方向得上式两边从初始时刻0到任意时刻t积分36质点沿ox轴运动，由定义v=dx/dt，得到上式两边从初始时刻到任意时刻t积分t秒后质点的速度37t秒后质点的位置38

解

取伞兵开始下落时的位置为坐标原点,向下为x轴的正方向。

例题1-4

一伞兵由空中竖直降落,其初速度为零,而加速度和速度的关系是:a=A-B

,式中A、B为常量;求伞兵的速度和运动方程。39完成积分就得运动方程:40一.圆周运动的法向加速度和切向加速度一般情况下，质点做圆周运动的速度大小和方向都会变化，其加速度不一定指向圆心，但可按两正交方向分解§1.3圆周运动及其描述法向加速度，描述速度方向的变化切向加速度，描述速度大小的变化41二.圆周运动的角量描述角速度角坐标AB角位移平均角速度角加速度改变速度方向改变速度大小42匀速率圆周运动角速度

=常数，角加速度=0，运动方程匀变速圆周运动角速度

≠常数，角加速度=非0常数，运动方程43三.圆周运动的角量和线量之间的关系AB线速度与角速度证明：44线加速度与角加速度45解：

(1)速度大小方向是圆周的切向。质点切向加速度和法向加速度的大小例题1-5（书中例题1-4）一质点做半径R=1m的圆周运动，其角坐标随时间的变化关系为

=t2+1(rad)。(1)求质点的速度和加速度；(2)问

多大时，该质点的切向加速度和法向加速度大小相等？46故质点加速度大小其方向可用与切向的夹角

表示（2）令47

例题1-6

一半径R=1m的飞轮，角坐标=2+12t-t3(SI),求：(1)飞轮边缘上一点在第1s末的法向加速度和切向加速度；(2)经多少时间、转几圈飞轮将停止转动？

an=R2=(12-3t2)2,

at=R=-6t代入t=1s,得an=812,at=-6(SI)(2)停止转动条件：

=12-3t2=0,得到：t=2s。

t=2s,2=18，解：(1)

t=0,0=2,所以转过角度：=2-0=16=8圈。48

圆周运动与直线运动的比较直线运动圆周运动坐标x角坐标q速度角速度加速度角加速度若a=恒量，则若

=恒量,则49§1.4牛顿运动定律一.牛顿第一定律任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态,直到外力迫使它改变运动状态为止。(1)牛顿第一定律表明任何物体都有保持其运动状态不变的性质——惯性；故又称“惯性定律”。(2)指出了力是改变物体运动状态的原因。(3)定义了惯性系：如果在某参考系中，一个不受力(或所受合外力为0)的物体能保持其静止或匀速直线运动状态,则该参考系为惯性参考系］50二.牛顿第二定律表述一：物体受到外力作用时，所获得的加速度的大小与合外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。牛顿第二定律建立起了物体受力与物体运动之间的定量关系；

F是物体所受的合外力；

m称为惯性质量，用于量度物体的惯性之大小。牛顿第二定律确立了物体惯性的量度方法：物体质量越大,惯性越大,越不易改变运动状态。51

公式中F和a都是瞬时量；牛顿第二定律反映了物体受力和运动状态变化之间的瞬时作用关系。是矢量关系，在特定坐标系下可写成分量式：52表述二适用于变质量和恒定质量的运动问题，因而更具一般性。表述二：物体所受的合外力等于物体动量随时间的变化率。（牛顿的原始表述）若物体的质量m恒定，则即表述一的数学形式。故表述一仅适合m恒定的情形。53三.牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）两物体之间的作用力和反作用力，大小相等、方向相反,且在同一直线上。作用力和反作用力总是成对出现、成对消失。54§1.5几种常见的力一、万有引力m1m2r两个质量为别为m1和m2的物体，相距为r，各自受到彼此的吸引力是一对作用和反作用力，其大小为引力常数G=6.67×10-11N.m2/kg255二、弹性力物体在外力作用下的形变力，如压力，张力，弹簧弹性力等弹簧弹性力:(胡克定理)三、摩擦力一般情况滑动摩擦力静摩擦力56§1.6牛顿运动定律的应用应用牛顿运动定律解题的几个基本步骤：选对象；查受力；建坐标；列方程；解问题1.确定研究对象，几个物体连在一起的须作隔离体；3.牛顿定律是矢量公式，必须选择合适的坐标系,将其分解；5.求解方程，一般先用符号求解，后代入数据计算结果；注意单位的使用、矢量的方向性。2.进行受力分析，画受力图；4.根据牛顿第二定律列方程（一般用分量式）；57例题1-7（书中例题1-6）桌上有一质量m0=1.5kg的物体B，其上放一质量为m=2.45kg的另一物体A，两物体之间、物体B与桌面之间的动摩擦因数均为

=0.25.要将物体B从物体A下面抽出，至少需要多大的水平力F？B