2022-2023学年河北省武强中学高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省武强中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：，则这组分数的中位数和众数分别是（）A.84，85 B.84，84 C.85，84 D.85，85〖答案〗B〖解析〗数据按从小到大的顺序排一列：所以这组分数中位数和众数分别是84，84，故A，C，D错误.故选：B.2.数据8，6，5，2，7，9，12，4，12的第40百分位数是（）A.5 B.6C.7.5 D.8〖答案〗B〖解析〗把这组数据按照从小到大的顺序排列可得：2，4，5，6，7，8，9，12，12，因为9×40%＝3.6，所以这组数据的第40百分位数是第4个数据6.故选：B3.从一个容量为（，）的总体中抽取一个容量为的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗随机抽样每个个体被抽到的概率相等，选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为故选：D4.某学校为了了解本校教师课外阅读教育专著情况，对老年、中年、青年教师进行了分层抽样调查，已知老年、中年、青年教师分别有36人，48人，60人，若从中年教师中抽取了4人，则从青年教师中抽取的人数比从老年教师中抽取的人数多（）A.5人 B.4人 C.3人 D.2人〖答案〗D〖解析〗设从老年教师和青年教师中抽取的人数分别是x，y.因为老年、中年、青年教师分别有36人，48人，60人，且从中年教师中抽取了4人，所以，解得，则.故选：D.5.某工厂对一批新产品的长度（单位：）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的众数为（）A.20 B.25 C.22.5 D.22.75〖答案〗C〖解析〗这批产品的众数为:.故选：C.6.从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列现象中，确定性现象的是（）A.3个都是篮球 B.至少有1个是排球C.3个都是排球 D.至少有1个是篮球〖答案〗D〖解析〗依题意，选出的3个球：“3个都是篮球”与“至少有1个是排球”可能发生，也可不发生，它们是随机事件，A，B都不是；因只有2个排球，所以选出3个球不可能都是排球，“3个都是排球”是不可能事件，C不是；因只有2个排球，所以选出的3个球至少有1个是篮球，“至少有1个是篮球”是必然事件，D是.故选：D7.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，从5个点中任取3个有共种不同取法，3点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为.故选：A8.如图，在直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以直线与所成角的余弦值为．故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知空间中三点，则下列结论正确的有（）A. B.与共线的单位向量是C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是〖答案〗AD〖解析〗由题意可得，，，选项A：，故，正确；选项B：不是单位向量，且与不共线，错误；选项C：，错误；选项D：设，则，，所以，，又，所以平面的一个法向量是，正确；故选：AD10.某校高二（13）班某次测试数学成绩累积频数分布折线图如图所示，则下列说法正确的是（）A.没有人的成绩在30~40分这组内B.第50百分位数位于60~70分这组内C.第25百分位数位于40~50分这组内D.第75百分位数位于70~80分这组内〖答案〗ABC〖解析〗由题图知没有人的成绩在30~40分这组内；故A正确；由40×25%=10，取第10､11项数据的平均数，所以第25百分位数位于40~50分这组内；故C正确；由40×50%=20，取第20､21项数据平均数，所以第50百分位数位于60~70分这组内；故B正确；由40×75%=30，取第30､31项数据的平均数，所以第75百分位数位于60~70分这组内.故D不正确.故选：ABC11.掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（）A.B.C.表示向上的点数是2D.表示向上的点数是1或2或3〖答案〗CD〖解析〗由题可知，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，所以事件不包含事件，故A错误；事件也不等于事件，故B错误；事件表示“向上的点数是2”，故C正确；事件表示“向上的点数是1或2或3”，故D正确.故选：CD.12.分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（）A.M与N互斥 B. C.M与N相互独立 D.〖答案〗BCD〖解析〗由题意，第一枚骰子的点数与第二枚骰子的点数互不影响，故事件与事件为相互独立事件，故A错误，C正确；，故B正确；，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.打靶3次，事件“击中发”，其中．那么表示_______．〖答案〗至少击中1发〖解析〗根据并事件的定义可知，表示至少有一个发生，所以表示至少击中1发.故〖答案〗为：至少击中1发.14.已知一组数据的平均数为（其中），则中位数为_____________．〖答案〗〖解析〗因为数据的平均数为，所以，解得，所以则组数据分别是，按从小到大排列分别为，故中位数为故〖答案〗为：15.若样本数据x1，x2，…,x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为______．〖答案〗16〖解析〗因为样本数据的标准差为，，即，数据的方差为，则对应的标准差为，故〖答案〗为.16.甲射击命中目标的概率是,乙射击命中目标的概率是,丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为____________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，目标不被击中的概率为：，则目标被击中的概率为.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是，设该组数据的平均数为，第50百分位数为，求的值.解：把该组数据按从小到大的顺序排列为，其平均数，因为，所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为．18.某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）用表中字母列举出所有可能的结果设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率.解：（1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15种.（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种.因此，事件发生的概率19.杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名．对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在39.5至99.5分钟之间，其频率分布直方图如下：（1）需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人；（2）请补全频率分布直方图．解：（1）报名的学生共有1080人，抽取的比例为，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人；（2）第三组的频率为，故第三组小矩形的高度为，补全频率分布直方图得20.如图直角梯形中，为中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）求证：平面；（2）二面角大小．（1）证明：因为在直角梯形中，为中点．所以，又．所以，即，又平面，所以平面；（2）解：连接，由（1）有：平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，则即为二面角的平面角，在中，，所以，所以二面角的大小为：.21.如图，在正方体中，E为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：[方法一]：几何法如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；[方法二]:空间向量坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，则.又∵向量,,又平面，平面；（2）解：[方法一]：几何法延长到，使得，连接，交于，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,连接，作,垂足为,连接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直线平面,又∵直线平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为2，则,,∴,∴,∴,即直线与平面所成角的正弦值为.[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.[方法三]：几何法+体积法如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．因为，所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．设正方体的棱长为2，在中，易得，可得．由，得，整理得．所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，在中，，，所以，易得．由，得，解得，设直线与平面所成的角为，所以．22.某高校的人学面试中有4道题目，第1题2分，第2题2分，第3题3分，第4题3分，每道题目答对给满分，答错不给分.小明同学答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目答对与否相互独立.（1）求小明同学恰好答对1道题目的概率；（2）若该高校规定学生的面试分数不低于6分则面试成功，求小明同学面试成功的概率.解：（1）设事件“小明同学恰好答对1道题目”，所以.（2）设事件“小明同学面试成功”.若小明同学恰好答对2道题目面试成功，则必定答对了第3题和第4题，则小明同学恰好答对2道题目面试成功的概率；若小明同学恰好答对3道题目，则必定面试成功，则小明同学恰好答对3道题目面试成功的概率；若小明同学答对4道题目，则必定面试成功，则答对4道题目面试成功的概率.所以.河北省武强中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：，则这组分数的中位数和众数分别是（）A.84，85 B.84，84 C.85，84 D.85，85〖答案〗B〖解析〗数据按从小到大的顺序排一列：所以这组分数中位数和众数分别是84，84，故A，C，D错误.故选：B.2.数据8，6，5，2，7，9，12，4，12的第40百分位数是（）A.5 B.6C.7.5 D.8〖答案〗B〖解析〗把这组数据按照从小到大的顺序排列可得：2，4，5，6，7，8，9，12，12，因为9×40%＝3.6，所以这组数据的第40百分位数是第4个数据6.故选：B3.从一个容量为（，）的总体中抽取一个容量为的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗随机抽样每个个体被抽到的概率相等，选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为故选：D4.某学校为了了解本校教师课外阅读教育专著情况，对老年、中年、青年教师进行了分层抽样调查，已知老年、中年、青年教师分别有36人，48人，60人，若从中年教师中抽取了4人，则从青年教师中抽取的人数比从老年教师中抽取的人数多（）A.5人 B.4人 C.3人 D.2人〖答案〗D〖解析〗设从老年教师和青年教师中抽取的人数分别是x，y.因为老年、中年、青年教师分别有36人，48人，60人，且从中年教师中抽取了4人，所以，解得，则.故选：D.5.某工厂对一批新产品的长度（单位：）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的众数为（）A.20 B.25 C.22.5 D.22.75〖答案〗C〖解析〗这批产品的众数为:.故选：C.6.从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列现象中，确定性现象的是（）A.3个都是篮球 B.至少有1个是排球C.3个都是排球 D.至少有1个是篮球〖答案〗D〖解析〗依题意，选出的3个球：“3个都是篮球”与“至少有1个是排球”可能发生，也可不发生，它们是随机事件，A，B都不是；因只有2个排球，所以选出3个球不可能都是排球，“3个都是排球”是不可能事件，C不是；因只有2个排球，所以选出的3个球至少有1个是篮球，“至少有1个是篮球”是必然事件，D是.故选：D7.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，从5个点中任取3个有共种不同取法，3点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为.故选：A8.如图，在直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以直线与所成角的余弦值为．故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知空间中三点，则下列结论正确的有（）A. B.与共线的单位向量是C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是〖答案〗AD〖解析〗由题意可得，，，选项A：，故，正确；选项B：不是单位向量，且与不共线，错误；选项C：，错误；选项D：设，则，，所以，，又，所以平面的一个法向量是，正确；故选：AD10.某校高二（13）班某次测试数学成绩累积频数分布折线图如图所示，则下列说法正确的是（）A.没有人的成绩在30~40分这组内B.第50百分位数位于60~70分这组内C.第25百分位数位于40~50分这组内D.第75百分位数位于70~80分这组内〖答案〗ABC〖解析〗由题图知没有人的成绩在30~40分这组内；故A正确；由40×25%=10，取第10､11项数据的平均数，所以第25百分位数位于40~50分这组内；故C正确；由40×50%=20，取第20､21项数据平均数，所以第50百分位数位于60~70分这组内；故B正确；由40×75%=30，取第30､31项数据的平均数，所以第75百分位数位于60~70分这组内.故D不正确.故选：ABC11.掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（）A.B.C.表示向上的点数是2D.表示向上的点数是1或2或3〖答案〗CD〖解析〗由题可知，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，所以事件不包含事件，故A错误；事件也不等于事件，故B错误；事件表示“向上的点数是2”，故C正确；事件表示“向上的点数是1或2或3”，故D正确.故选：CD.12.分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（）A.M与N互斥 B. C.M与N相互独立 D.〖答案〗BCD〖解析〗由题意，第一枚骰子的点数与第二枚骰子的点数互不影响，故事件与事件为相互独立事件，故A错误，C正确；，故B正确；，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.打靶3次，事件“击中发”，其中．那么表示_______．〖答案〗至少击中1发〖解析〗根据并事件的定义可知，表示至少有一个发生，所以表示至少击中1发.故〖答案〗为：至少击中1发.14.已知一组数据的平均数为（其中），则中位数为_____________．〖答案〗〖解析〗因为数据的平均数为，所以，解得，所以则组数据分别是，按从小到大排列分别为，故中位数为故〖答案〗为：15.若样本数据x1，x2，…,x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为______．〖答案〗16〖解析〗因为样本数据的标准差为，，即，数据的方差为，则对应的标准差为，故〖答案〗为.16.甲射击命中目标的概率是,乙射击命中目标的概率是,丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为____________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，目标不被击中的概率为：，则目标被击中的概率为.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是，设该组数据的平均数为，第50百分位数为，求的值.解：把该组数据按从小到大的顺序排列为，其平均数，因为，所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为．18.某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）用表中字母列举出所有可能的结果设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率.解：（1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15种.（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种.因此，事件发生的概率19.杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名．对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在39.5至99.5分钟之间，其频率分布直方图如下：（1）需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人；（2）请补全频率分布直方图．解：（1）报名的学生共有1080人，抽取的比例为，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人；（2）第三组的频率为，故第三组小矩形的高度为，补全频率分布直方图得20.如图直角梯形中，为中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）求证：平面；（2）二面角大小．（1）证明：因为在直角梯形中，为中点．所以，又．所以，即，又平面，所以平面；（2）解：连接，由（1）有：平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，则即为二面角的平面角，在中，，所以，所以二面角的大小为：.21.如图，在正方体中，