面积方法的别论 论文

面积方法的别论运用。关键词：面积法的概念，面积法的引申，面积法的逆向。文讨论的仍是“面积方法”的运用。因为面积法解题简洁、易懂。所以有些题目改弦更张，别论。正文：一、面积法的概念例1为△ABC的角平分线，求证：BD=AB.CD AC图1简析：这是三角形的角平分线定理，习惯的证明方法是过点D作AC的平行线（或过点C作AD还可作如下证明。证法D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，图图PAGE2∵∠1=∠2∴DE=DFS△ABD

12AB.DE AB∴ = =ACS△ACDAC∵S△ABD=S△ACD

12AC.DFBDCD∴BD=AB.AC21 12证法2：如图⑴∵S△ABD

=2AB.ADsin∠1

，S△ACD=AC.ADsin∠2∵∠1=∠2∴sin∠1=sin∠2，∴

S△ABD AB=S△ACD∵S△ABDS△ACD

ACBD=CD= .∴BD = .AC像这样，用面积进行几何证明的方法，就是面积法。二、面积法的引申1.塞瓦定理一个△ABC，在它的三边BC、CA、AB上相应地各取一点X、Y、CYAZZ（如图AX、BY、CZ三线共点，那么BX· · =1反之也成立。

XCYAZB证明：（先证原命题成立）∵AX、BY、CZ三线共点O，∴S△ABO

BX S△BCO= ，S△ACO AZ= ， =S△ACOCYAZ

XC S△ABOS△ABOS△BCO

YA△ACO

S△BCO ZB∴BX· · =

S· · =1。XCYAZB

S△ACOS△ABOS△BCO（再证其逆命题成立）设AX与BY相交于点O，连结CO并延长交AB于点图4 CYAZ'由原命题知，BX· · =1CYAZ

XCYAZ'B∵BX· · =1XCYAZB'∴AZZ'B'∴AZ'AB

AZ=ZBAZ=AB∴AZ’=AZ，即点Z’与Z重合，所以AX，BY，CZ三线共点。同理可知，当点X、Y、Z在三边延长线上时，该结论也成立。我们知道，三角形的三条角平分线相交于一点，这点叫做三角形的内心；三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心；三角形的三条高所在的直线相交于一点，这点叫做三角形的垂心。若需给予证明，利用上面的塞瓦定理，问题就迎刃而解了。例2均为△ABC的角平分线，求证：AD、BE、CF三线相交于一点。图5证明：因AD、BE、CF均为△ABC的角平分线，∴BD

AB CE= ，

=BC，AF=CAAC EA

BA CEAF

ABBCCA∴BD· ·

= · · =1DCEAFB

ACBACB∴AD、BE、CF三线相交于一点。例3求证三角形的三条高所在的直线相交于一点。分三种情况讨论：⑴三角形为锐角三角形时；是锐角三角形，AD、BE、CF均为△ABC的高，求证：AD、BE、CF三线相交于一点。图6 证明：易证△BDA∽△BFC∴BDBF

AB=BC同理，CE

BC AF AC= ， =AC AE ABCEAF

ABBCAC∴BD· ·

= · · =1DCAEBF

BCACAB∴AD、BE、CF三线相交于一点.⑵⑶三角形为钝角三角形时；为钝角三角形，AD、 ABE、CF均为高线，求证：FAD、BE、CF所在的直线相交于一点。 B C D证明：易证△BDA∽△BFC∴BDBF

AB E=BC 图7同理，CE

BC AF AC= ， =AC EA ABCEAF

ABBCAC∴BD· ·

= · · =1CDEAFB

BCACAB∴AD、BE、CF所在的直线相交于一点。综上述，三角形的三条高所在的直线相交于一点。由上述结论，作进一步推理，便可得三角形的三边垂直平分线相交于一点。例4求证三角形的三条中线相交于一点。注：由塞瓦定理易证，读者不妨一试。2.共边定理与共角定理⑴共边三角形：两个三角形如果有一条公共边，我们就说这两个三角形是共边三角形。如图⑻⑼,△PAB与△QAB就是共边三角形。图8 图9共边三角形有如下性质：⑵共边定理：如图⑻⑼，直线AB和PQ相交于点M，则

S△PAB PM=证明：∵

S△PAM

S△PBM PM= =

S△QAB QMS△QAM

S△QBM QM∴

S△PAM±S△PBM

=PM即

S△PAB PM=S△QAM±S△QBM QM

S△QAB QM关于共边定理的运用，上述塞瓦定理的证明就是一个典型的运用。下面再看一例，例5ABCD的两边AD、BC延长后交于点O，对角线AC、BD交于点G，直线OG分别交CD、AB于点E、F，1 1 2求证： + =OE OF OG图10证明：∵S△CDA

S△BDA DA= =S△COA∴S△CDA

A△BOAS△ABC· =

OAS△BDA

S△ABC·S四ABCDS△COA

S四ABCDS△BOA·∴DGBC·DBCO

AGBC=AC·BOS△CDGS△CBD

S△ABGS△ABC·∴·S△CDBS△COD

=S△ABC·S△ABO∴S△CDGS△COD

S△ABG=S△ABO∴GE

GF OG OG= 即OE OF

OE−1=1−OFOG OG∴ +

=2

1 1 2∴ + =OE OF

OE OF OG⑶共角三角形：有一组对应角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形。如图（11）中，△APD与△BPC、△APD与△APB均是共角三角形。图11共角三角形有如下性质，⑷共角定理：在△ABC与△A’B’C’中，若∠A=∠A’或∠A+∠A’=1800则

S△ABC

AB·AC=S△A'B'C'

A'B'·A'C'图12 图13证明：∵∠A=∠A’或∠A+∠A’=1800（如图12、13）∴sinA=sinA’,1 1∵S△ABC=

AB·ACsinA，S△A’B’C’=

A'B'·A'C'sinA'2∴S△ABC =S△A'B'C'

2AB·AC .A'B'·A'C'共角定理也有着广泛的运用，现举一例说明。例6的一条弦AB的中点为M，过点M任作两条弦CD、EF，连接CE、DF，分别交AB于点G、H，求证：MG=MH.图14 简析：这题就是著名的蝴蝶定理。利用传统的证明方法，不仅需添加辅助线去构造全等三角形，而且还用到四点共圆的判定与性质，故本题证明有一定的难度。因图中共角三角形较多，利用共角定理进行思考，你将会看到共角定理的作用。S△GCMS△HFMS△GEMS△HDM证明：∵ · · · =1S△HFMS△GEMS△HDMS△GCM∴GC·MCMF·MH

GE·MEMH·MDMF·HF·MG·ME·MD·HD·MG·MC=12∴GC·GE·MH =1HF·HD·MG2∵AM=BM，GC·GE=AG·GB，HF·HD=BH·HA∴AG·GB·MH2=BH·HA·GM2∴+GM）=+MH）即MH2(AM2−GM2)=GM2(BM2−MH2)∴MH2•AM2=MG2·BM2，∴MH=MG.可见，用共角定理证明是多么地简单直接，又不需添加辅助线，乃为妙解！3.张角公式平面内，由点P发出的3条射线PA、PB、PC，设∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α+β<1800,若A、B、C三点共线，则sin(α+β)

sinα sinβ= +图15∵S△PAB=S△PAC+S△PBC，12∴PA·PBsin(α+β)=2

PC12PA·PCsinα+

PB12PB·PCsinβ

PA=∴sin(α+β)=PC

sinαPB

sinβ.+PA.有张角公式，上面例5的证明就变得更为简单了。证明：如图16，设∠BOF=α，∠AOF=β，图16∵sin(α+β)∵==OGsin(α+β)==OGsin(α+β)==OEsin(α+β)==OF

sinαOAsinαODsinαODsinαOA

sinβ+OCsinβ+OBsinβ+OCsinβ+OB

①②③④=①+②-③-④得2sin(α+β)=OG

sin(α+β)OE +

sin(α+β)OF∵0＜α+β＜1800，∴sin(α+β)>02 1 1∴ = +OG OE OF三、面积法的逆向我们习惯于由长度求面积，如S矩形=ab，S圆=πr2等，反之，也可以用面积来定义曲线（把直线视为曲线的特例）的长度：如图17，先把曲线“扩大”成一条宽度为2δ的带子，设这条带子的面积为Sδ，Sδ则这条曲线的长度l=lim .δ→02δ 2δ图17由这一定义，不难由扇形的面积公式推导出弧长公式：图18如图18，