2022年安徽中考数学第10题的解法赏析与教学启示 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选2022年安徽中考数学第10题的解法赏析与教学启示摘2022年安徽省中考数学试卷第10题选择压轴题的解法养。关键词：安徽中考，等边三角形，最值问题，数学核心素养一、试题呈现年安徽省中考数学第10O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC,△PAB,△PBC,△PCA的面积分别记为S0,S1,S2,S3.若S1+S2+S3=2S0,则线段OP的最小值是（）A.332

B.532

C.33

D.732线段最值类型问题，题目给出的条件是隐性的，需要学生将题目条件中的S1+S2+S3=2S0，转化为2S△BPC=S△ABC，利用面积法进而得到动点P到AC的距离，P的轨迹为一条平行于边长AC的平行线，再利用“垂线段最短”来求得线段OP的最小值.二、解法探究由条件可知，点O为△ABC为等边三角形的中心，由于等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以中心点O是等边三角形的重心，内心，外心，也是垂心，四心重合于一点.而点P是三角形外的一个动点，所以确定好点P的轨迹是解题的关键，围绕已知条件S1+S2+S3=2S0展开解法研究，可得到如下解法.2022年安徽省中小学教育教学论文评选解法1：如图1，第一类情形，设点P在BC的外侧（且距离BC较近时），AD⊥BC交BC于点S△ABP+S△BPC+S△APC=2S△ABC,而S△ABP+S△APC=S△ABC+S△BPC，可得2S2=S0，又因为△BPC和△ABCP到BC的距离是点A到BC的边长为PG=1AD=163=2 2 233P在平行于BC距离为332 2POPmin=OD+DP=1AD+31AD=

33353.2 2 2图1 图2如图3，第二类情形，设点P在AC的外侧（且距离AC较远时），因为S1+S2+S3=2S0，而S2=S1+S3+S0，即S2=3S0，PG=3AD=93,当O、A、P三点共2 2 2线时，如图4，OP有最小值，此时OP=73,综上所述OPmin=53,故选B.2 2图3 图4解法2：如图5，过点P作PF⊥AB，PG⊥BC,PH⊥AC，设等边△ABC的高为h,则2022年安徽省中小学教育教学论文评选1 1 1 1S1+S2+S3= AC∙PH+ BC∙PG= S1+S2+S3=2S0，2 2 2 21 1所以 BC∙h,于是有又因为S1+S3-S2=S0，2 2所以1AB∙PF+1BC∙PG-1AC∙PH=1BC∙h,所以PF+PH-PG=h.②由①和②可得2 2 2 2PG=1h,后面解法与解法1相同.2图5 图6解法总结：本题题干简洁明了，将几何推理和运算相结合，作为最值问题，图P运动的轨迹是围绕在等边三角形ABC外围的六边形，而解题时由于点P是动点，位置具有不确定性，要求学生多画图大胆分析，结合动点最值的基本模型，才能找到解题思路。三、追本溯源回首安徽省近几年的中考数学试题，一直保持稳中求变，推陈出新的风格，题就选自沪科版八年级上册第153页的C组复习题第2题，通过变式、推广、改编而成.教材原题已知：等边三角形ABC.(1)PP向三边所在直线作垂线为垂足.求证：PD+PE+PF等于定值；(2)若点P在△ABC外时，情况如何？答案解析：(1)如图7，设△ABC的高为h,当P为三角形内任一点时，2022年安徽省中小学教育教学论文评选PD+PE+PF=h；(2)如图8，△ABC外被三边所在直线分成6个部分，当点P在第①部分内时有PD+PF-PE=h,当点P在第②部分内时有PD-PF-PE=h.点P在其余四个部分内可类似计算（由于篇幅有限，证明过程省略）图7 图8 图9世纪意大利数学家维维安尼发现等角形的高.而涉及该定理的试题也有很多，在此列举几个变式题组练习，供大家研究.变式1如图为边长为2的等边三角形ABCP点分别作PD+PE+PF等于( )图10 图11A．32

B．3

C．2 D．23变式2如图外有一点落在∠BACP到BC、CA、AB的距离分别为h1,h2,h3,且满足h2+h3-h1=6,那么等边三角形的面积为( )2022年安徽省中小学教育教学论文评选A．43

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C．93

D．123变式3若点P是等边△ABC所在平面内一点，且点P到三边所在直线的距离分别为2、3、6．请直接写出等边△ABC的高的所有可能 .通过变式探究，可以进一步认识图形的本质特征，体验几何模型在解决问题中的重要作用.因动点而产生的轨迹常见的有以下几种情形：(1)到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；(2)到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上；(3)到定点距离等于定长的点，在以定点为圆心，定长为半径的圆上；(4)对已知线段，张角等于定角的点，在以已知线段为弦，所含圆周角等于定角的两段弓形弧上.而解决最值问题通常用到两点之间，线段最短或者寻解题规律.下面展示两道关于最值问题的经典试题，以飨读者.例1（安徽省2017年第1012,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,动点P△PAB S矩形ABCD满足S =1 ,则点P到A,B两点距离之和△PAB S矩形ABCD3

C.52

41图12 图13解题思路：此题与2022年安徽省第10题选择题有异曲同工之妙，都是由面13所示可得到点P是在平行于AB且距离AB为2的直线上运动.例2（安徽省2016年第10中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC.则线段CP长的最小值为( )图14 图152022年安徽省中小学教育教学论文评选32

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D.121313解题思路：如图15所示,以AB为直径作☉O,由AB⊥BC,∠PAB=∠PBC,得∠APB=90°,∴点P在☉O上.连接OP,当点O,P,C在一条直线上时,线段CP的长最小.四、教学启示随着2022年版最新课程标准的颁布，学业水平考试的质量标准也进一步规导向的义务教育数学课程学业质量的全面考査.为此笔者提出以下建议：1.关注《课程标准》变化，挖掘教材资源让基础知识和技能的学习走过场，死记硬背，导致缺乏对数学概念的真正理解.变式、改编，通过不同问题情境的变化，让学生全方位地认识数学概念的本质，将教材的示范作用发挥到最大化.2.重视数学语言转化，提高解题素养数学离不开解题，解题是具有创造性的工作，波利亚在《数学的发现——对解题的理解、研究和讲授》中认为：“解题是一种本领，就像游泳、滑雪、弹钢琴一样，你只能够靠模仿和实践才能学到它.”几何教学中要抓住像平行线、中号语言和图形语言相互转化的能力，经历几何对象的基本研究过程.例如2021年和2022年的选择题第10题，题干中都不再给出图形，需要学生自己动手画图，所以只有学生平时擅于作图，熟练驾驭数学语言，解题思路才能更加清晰.3.增强思维品质培养，深化命题研究2022年安徽省中小学教育教学论文评选进学生演绎推理能力的发展.当然教师要提高自己的试题命制水平，深入学习命题策略，通过对试题的条件、结论或图形的变化，得到一些具有价值的新问题，让学生能够举一反三，培养思维的灵活性和敏捷性.参考文献[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.[2]刘