例谈“隐圆”在安徽中考中的重要地位 论文

例谈“隐圆”在安徽中考中的重要地位摘要：解答一道数学题,常常有多种方法,其中有简单明了的,也有迂回曲折的.如果我们能将所学的数学知识融会贯通,就能在短时间里打开思路,找到较为简洁的方法,这一点在时间宝贵的考试中尤为重要.在初中阶段的数学学习中，的效果。关键词：垂直，共圆，旋转，折叠，最值引徽省中考试题诠释其重要性。补充，甚至只字不提。殊不知，很多的方法在平时的做题中往往是隐含在其中。将其总结一二，希望能给大家的教学，学习以帮助。类型1利用“隐圆”证垂直1.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别为AC,BD的中点,求证:MN垂直平分BD.【答案】 ∵∠ABC=∠ADC=90°,∴Rt△ABC和Rt△ADC有同一个外接圆(如为圆心.∵N为BD的中点,∴由垂径定理得MN垂直平分BD.类型2利用“隐圆”求线段最值2.在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,F是BC边上的一个动点,连接AF,过点B作BE⊥AF于点G,交射线CD于点E,连接CG,则CG的最小值是。本题给我们的启发是:已知条件中有直角三角形,我们可以想到以这个直角用圆的有关知识解题,这样可以起到事半功倍之奇效.这个方式还可在解答其他多少题目中广而推之.最终答案为

10-2。类型3利用“隐圆”证相似3.在锐角三角形ABC分别是AB,ACE,D.BE与CD的交点为O，连接DE。求证：△AED∽△ABCADAC

ADAEAEB,得出,利用比例的性质可得AE∽△ABC

AB，且AC

AB，AA,所以△AED如果把圆的知识用在本题中，一切都变的简单了。因为BDCBEC90,所以点B,D,E,C都在以BCBDEC是以BC为直径圆的内接四边形。由于圆的内接四边形的任意一个外角等于它的内对角可得，ADEACB,AA.故：△AED∽△ABC类型4利用“隐圆”求最值Rt△ABCF在边ACCF＝2，点E为边BC沿直线EFC落在点PP到边AB距离的最小值是 ．P的位置会随着E的变化而变化，但是在变化中不变的是PF=CF,所以P点肯定在以F为圆心，以FP为半径的圆上,过F点作FMAB.由图可以知道最小值为FM-FC=1.2.5.如图,P为线段AB上一动点(点P不与A.BAB的同侧分别作等边△APC为ABQN的最小值。解析：∵△APC，△PBD都是等边三角形，∴AP=PC,PD=PB,∠APC=∠DPB=60∘，∴∠APD=∠CPB，在△APD和△CPB中，AP=PC∠APD=∠CPBDP=BP，∴△APD≌△CPB，∴∠ADP=∠CBP，设BC与PD交于点G，∵∠QGD=∠PGB，∴∠DQG=∠BPG=60∘，∴∠AQB=180∘−∠DQG=120∘如图,由∠AQB=120∘为定值,可知点Q的运动轨迹是弧AB，设弧AB所在圆的圆心为O，在圆上任意取一点M，连接AM，BM，则∠M=60∘，∴∠AOB=2∠M=120∘，连接ON，则ON⊥AB，∵AN=BN=3，∴AO=ANsin60∘=2

3,ON=AOcos60∘=3，3当QN⊥AB时,QN取到最小值,最小值为233 。3下面我们结合安徽省的中考数学试题来看，有些数学题,试题表面没有涉及圆的知识,但如果我们能想到用圆的知识解答,往往就会柳暗花明,事半功倍,这就是我们说的“用圆求解,另辟蹊径”。有关这类试题,2011年，2016年和2018年安徽中考数学体现最为集中,如2011年的第22题的第3问，2016年的第10题,2018年的第23题等.(2011·安徽第22题)在△ABC中∠ACB＝90°∠ABC＝30°将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A1B1C．设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当θ＝°时，EP的长度最大，最大值为．P的EPEP的P位于AC的延长线与以C为圆心，CA为半径的圆的交点3a处时，EP最大为2

，此时的旋转角为120。(2016·安徽第10题)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4P是△=CP长的最小值为()3A.B.2212138131213C. D.13【答案】B【解析】解：

13∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的

⊙O上，连接OC交

⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，BO2+BC2∵∠OBC=90°，BO2+BC2∴OC=

=5，∴PC=OC−OP=5−3=2．∴PC最小值为2．故选：B．首先要证明点P在以AB为直径的

⊙O上，连接OC与

⊙O交于点P，此时PC的长最小，利用勾股定理即可求出OC即可解决问题．P到圆的最小和最大距离，属于中考常考题型．(2018·安徽第23)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,M为BD中点,CM的延长线交AB于点F.(1)求证:CM=EM;(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小.BCDE外接圆证明CM=EM;(2)根据圆周角定理求得∠CME=80°,从而求出∠EMF.【答案】均为直角三角形,则这两个三角形有公共的外接圆,即四边形BCDE有一个外接圆,且直径为BD,M为圆心,∴CM=EM.(2)∵∠BAC=50°,∠ACB=90°,∴∠ABC=40°,由(1)得∠AB