3平面任意力系

第3章

平面力系平面力系的分类平面汇交力系：各力作用线汇交于一点的力系。平面力偶系：若干个力偶（一对大小相等、指向相反、作用线平行的两个力称为一个力偶）组成的力系。力系的分类平面力系：各力的作用线都在同一平面内的力系，否则为空间力系。平面平行力系：各力作用线平行的力系。平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系之外的平面力系。对所有的力系均讨论两个问题：1、力系的简化（即力系的合成）问题；2、力系的平衡问题。§3–1平面任意力系的简化•主矢与主矩§3–2平面力系的平衡方程及其应用第三章平面任意力系§3–3物体系统的平衡问题§3–1

平面任意力系的简化

A3OA2A1F1F3F2M1OM2M3==应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O

。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O的简化。点O称为简化中心。一、力系向给定点O的简化MOOF共点力系F1

、F2

、F3

的合成结果为一作用点在点O

的力F

。这个力矢F

称为原平面任意力系的主矢。附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用MO代表，称为原平面任意力系对简化中心O

的主矩。§3–1

平面任意力系的简化结论：

平面任意力系向面内任一点的简化结果，是一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心的主矩。推广：平面任意力系对简化中心O的简化结果主矩：§3–1

平面任意力系的简化主矢：二、几点说明：1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。2、平面任意力系的主矩与简化中心O的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。§3–1

平面任意力系的简化方向余弦：2、主矩Lo可由下式计算：三、主矢、主矩的求法：1、主矢可按力多边形规则作图求得，或用解析法计算。§3–1

平面任意力系的简化==LOOORLo

AORLo

A1、F

=0，而MO≠0，原力系合成为力偶。这时力系主矩MO不随简化中心位置而变。2、MO=0，而F

≠0，原力系合成为一个力。作用于点O的力F

就是原力系的合力。3、F≠0，MO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力。这时力系也可合成为一个力。说明如下：四平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理简化结果的讨论综上所述，可见：4、F

=0，而MO=0，原力系平衡。⑴、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时，则该力系可以合成为一个力。

⑵、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的代数和。合力矩定理yxOxyABF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°例题3-1在长方形平板的O、A、B、C

点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O

的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。解：取坐标系Oxy。

1、求向O点简化结果：①求主矢F

：R

OABC

xyF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°②求主矩：（2）、求合成结果：合成为一个合力F，F的大小、方向与R’相同。其作用线与O点的垂直距离为：R

/OABC

xyLoRdF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°平衡方程其他形式：A、B

的连线不和x轴相垂直。A、B、C

三点不共线。平面任意力系平衡的充要条件：力系的主矢等于零，又力系对任一点的主矩也等于零。平衡方程：§3–2

平面任意力系的平衡方程及其应用运用平衡条件求解未知力的步骤为：1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力图；2、由平衡条件建立平衡方程；3、由平衡方程求解未知力。实际计算时，通常规定与坐标轴正向一致的力为正。即水平力向右为正，垂直力向上为正。解：1、取伸臂AB为研究对象2、受力分析如图yTPQEQDxBAECDFAyFAxαaαcbBFACQDQEl例题3-2伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB

重P=2200N，吊车D、E

连同吊起重物各重QD=QE=4000N。有关尺寸为：l=4.3m，a=1.5m，b

=0.9m，c=0.15m,α=25°。试求铰链A

对臂AB的水平和垂直反力，以及拉索BF

的拉力。§3–2

平面任意力系的平衡方程及其应用3、选列平衡方程：4、联立求解，可得：T=12456NFAx=11290NFAy=4936N§3–2

平面任意力系的平衡方程及其应用yTPQEQDxBAECDFAyFAxα解：1、取梁AB为研究对象。2、受力分析如图，其中Q=q.AB=100×3=300N；作用在AB的中点C。BADQNAyNAxNDCMyxBAD1mq2mM例题3-3梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度q=100N/m，力偶矩大小M=500

N•m。长度AB=3m，DB=1m。求活动铰支D

和固定铰支A

的反力。§3–2平面任意力系的平衡方程及其应用3、列平衡方程：4、联立求解：

ND=475N

NAx=0

NAy=-175N§3–2平面任意力系的平衡方程及其应用BADQNAyNAxNDCMyx25802083770ABCTQ解：1、取机翼为研究对象。2、受力分析如图.QNAyNAxMABCTA例题3-4某飞机的单支机翼重Q=7.8kN。飞机水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力T=27kN，力的作用线位置如图示。试求机翼与机身连接处的约束力。§3–2平面任意力系的平衡方程及其应用4、联立求解：

MA=-38.6kN•m(顺时针）

NAx=0

NAy=-19.2kN

（向下）3、列平衡方程：§3–2

平面任意力系的平衡方程及其应用QNAyNAxMABCTA汇交力系平衡的充要解析条件：

力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。3-2-2平面特殊力系的平衡方程1、平面汇交力系的平衡方程:解：(1)取制动蹬ABD作为研究对象。例题3-5图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P=212N，方向与水平面成

=45

角。当平衡时，BC水平，AD

铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm

点E在铅直线DA上，又B、C、D

都是光滑铰链，机构的自重不计。O

PASBBNDD

(b)P

246ACBOED(a)(3)列出平衡方程：联立求解，得O45°PFBFDD

(b)xy又解：1.取滑轮B

轴销作为研究对象。2.画出受力图（b)。y例题3-6利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB

和斜刚杆BC

支持于点B

(图(a))。不计铰车的自重，试求杆AB

和BC

所受的力。FBCQFABPx30°bB30°30°BPAC30°aQ3.列出平衡方程：4.联立求解，得反力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。FBCQFABPx30°bB30°合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩的代数和等于零。平面力偶系平衡的充要条件平面力偶系的平衡方程例题3-7图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为

M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试求M1和M2间的关系。DM2BNDFBAOM1NOFABAOBDαM1M2A解：杆AB为二力杆。分别写出杆AO和BD的平衡方程：ααDM2BNDFBAOM1NOFABA且A、B的连线不平行于力系中各力。由此可见，在一个刚体受平面平行力系作用而平衡的问题中，利用平衡方程只能求解二个未知量。平面平行力系平衡的充要条件：力系中各力的代数和等于零，以这些力对任一点的矩的代数和也等于零。平面平行力系的平衡方程：平面平行力系的平衡GNAQWPNBAB3.02.51.82.0解：1、取汽车及起重机为研究对象。2、受力分析如图。例题3-8一种车载式起重机，车重Q=26kN，起重机伸臂重G=4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重W=31kN。尺寸如图所示，单位是m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起重量Pmax。平面平行力系的平衡4、联立求解：3、列平衡方程：5、不翻条件：NA≥0故最大起重重量为Pmax=7.5kN平面平行力系的平衡GNAQWPNBAB3.02.51.82.0一、几个概念：1、物体系——由若干个物体通过约束组成的系统2、外力——物体系以外任何物体作用于该系统的力3、内力——物体系内部各物体间相互作用的力二、物体系平衡方程的数目：由n个物体组成的物体系，总共有不多于3n个独立的平衡方程。§3–3

物体系统的平衡问题静定静不定静不定静不定三、静定与静不定概念：

1、静定问题——当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。

2、超静定问题——当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。§3–3物体系统的平衡问题解：1、取AC段研究，受力分析如图。例题3-9三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C连接起来，又用铰链A、B与基础相联结。已知每段重G=40kN，重心分别在D、E处，且桥面受一集中载荷P=10kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示，单位是m。物体系的平衡问题P3DEABCNCyNCxNAyNAxDAC列平衡方程：2、再取BC段研究，受力分析如图。列平衡方程：物体系的平衡问题PBCENCxNCyNAyNAxDAC联立求解：可得

NAx=-NBx

=NCx

=9.2kN

NAy=42.5kN

NBy=47.5kN

NCy=2.5kN

NCx

和N

Cx、

NCy

和N

Cy是二对作用与反作用力。物体系的平衡问题解：1、取CE段为研究对象，受力分析如图。Pl/8qBADLCHEl/4l/8l