初二数学上册压轴题综合试题附答案

初二数学上册压轴题综合试题附答案1、如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧，为与的角平分线的交点．(1)求证：；(2)设，请用含的式子表示，并求的最大值；(3)当时，的取值范围为，求出，的值．2、如图1，在平面直角坐标系中，AO＝AB，∠BAO＝90°，BO＝8cm，动点D从原点O出发沿x轴正方向以acm/s的速度运动，动点E也同时从原点O出发在y轴上以bcm/s的速度运动，且a，b满足关系式a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，连接OD，OE，设运动的时间为t秒．（1）求a，b的值；（2）当t为何值时，△BAD≌△OAE；（3）如图2，在第一象限存在点P，使∠AOP＝30°，∠APO＝15°，求∠ABP．3、如图，中，，．（1）如图1，，，求证：；（2）如图2，，，请直接用几何语言写出、的位置关系____________；（3）证明（2）中的结论．4、如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，为轴上点右侧的动点，以为腰作等腰，使，，直线交轴于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）当点运动时，点在轴上的位置是否发生变化，为什么？5、如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接．(1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______．(2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论．(3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数．6、如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．7、以点为顶点作等腰，等腰，其中，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接、．（1）试判断、的数量关系，并说明理由；（2）延长交于点试求的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．8、如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（，0），AB=6，作∠DBO=∠ABO，点H为y轴上的点，∠CAH=∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．（1）证明：△ABE为等边三角形；（2）若CD⊥AB于点F，求线段CD的长；（3）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1个单位长度每秒，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A路线运动，速度为2个单位长度每秒，到A点处停止运动．两点同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间时△OPM与△OQN全等？【参考答案】1、(1)见解析(2)，3(3)m＝105，n＝150【分析】（1）由条件易证，得，即可得证．（2）PD＝AD-AP＝6-x，点P在线段BC上且不与B、C重合时，AP有最小值，即AD⊥BC时A【解析】(1)见解析(2)，3(3)m＝105，n＝150【分析】（1）由条件易证，得，即可得证．（2）PD＝AD-AP＝6-x，点P在线段BC上且不与B、C重合时，AP有最小值，即AD⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．（3）为与的角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°”及角平分线定义，即可表示出，从而得到m，n的值．(1)解：在和中，如图1即(2)解：当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值(3)解：如图2，设则为与的角平分线的交点即【点睛】本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，角平分线定义等，解题关键是将PD最大值转化为PA的最小值．2、（1）a＝2，b＝1；（2）t＝或t＝8；（3）∠ABP＝105°．【分析】（1）将a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0用配方法得出（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0，利用非负数的性质，即可得出结论；（2【解析】（1）a＝2，b＝1；（2）t＝或t＝8；（3）∠ABP＝105°．【分析】（1）将a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0用配方法得出（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0，利用非负数的性质，即可得出结论；（2）先由运动得出BD＝|8﹣2t|，再由全等三角形的性质的出货BD＝OE，建立方程求解即可得出结论．（3）先判断出△OAP≌△BAQ（SAS），得出OP＝BQ，∠ABQ＝∠AOP＝30°，∠AQB＝∠APO＝15°，再求出∠OAP＝135°，进而判断出△OAQ≌△BAQ（SAS），得出∠OQA＝∠BQA＝15°，OQ＝BQ，再判断出△OPQ是等边三角形，得出∠OQP＝60°，进而求出∠BQP＝30°，再求出∠PBQ＝75°，即可得出结论．【详解】解：（1）∵a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，∴a＝2，b＝1；（2）由（1）知，a＝2，b＝1，由运动知，OD＝2t，OE＝t，∵OB＝8，∴DB＝|8﹣2t|∵△BAD≌△OAE，∵DB＝OE，∴|8﹣2t|＝t，解得，t＝（如图1）或t＝8（如图2）；（3）如图3，过点A作AQ⊥AP，使AQ＝AP，连接OQ，BQ，PQ，则∠APQ＝45°，∠PAQ＝90°，∵∠OAB＝90°，∴∠PAQ＝∠OAB，∴∠OAB+∠BAP＝∠PAQ+∠BAP，即：∠OAP＝∠BAQ，∵OA＝AB，AD＝AD，∴△OAP≌△BAQ（SAS），∴OP＝BQ，∠ABQ＝∠AOP＝30°，∠AQB＝∠APO＝15°，在△AOP中，∠AOP＝30°，∠APO＝15°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOP﹣∠APO＝135°，∴∠OAQ＝360°﹣∠OAP﹣∠PAQ＝135°﹣90°＝135°＝∠OAP，∵OA＝AB，AD＝AD，∴△OAQ≌△BAQ（SAS），∴∠OQA＝∠BQA＝15°，OQ＝BQ，∵OP＝BQ，∴OQ＝OP，∵∠APQ＝45°，∠APO＝15°，∴∠OPQ＝∠APO+∠APQ＝60°，∴△OPQ是等边三角形，∴∠OQP＝60°，∴∠BQP＝∠OQP﹣∠OQA﹣∠BQA＝60°﹣15°﹣15°＝30°，∵BQ＝PQ，∴∠PBQ＝（180°﹣∠BQP）＝75°，∴∠ABP＝∠ABQ+∠PBQ＝30°+75°＝105°．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了配方法、非负数的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质，构造出全等三角形是解题的关键．3、（1）见解析；（2）⊥；（3）见解析【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，根据余角的性质可得∠ACD=∠BAE，然后根据AAS即可证得结论；（2）由于要得出、的位置关系，结合图【解析】（1）见解析；（2）⊥；（3）见解析【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，根据余角的性质可得∠ACD=∠BAE，然后根据AAS即可证得结论；（2）由于要得出、的位置关系，结合图形可猜想：⊥；（3）如图，作CP⊥AC于点C，延长FD交CP于点P，先证明△BAE≌△FCP，可得∠3=∠P，AB=CP，然后证明△ACD≌△PCD，可得∠4=∠P，进一步即可推出∠4+∠2=90°，问题得证．【详解】解：（1）证明：∵，，∴∠ADC=∠E=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∵，∴∠DAC+∠BAE=90°，∴∠ACD=∠BAE，在△DAC和△EBA中，∵∠ADC=∠E，∠ACD=∠BAE，AC=AB，∴（AAS）；（2）结合图形可得：⊥；故答案为：⊥；（3）证明：如图，作CP⊥AC于点C，延长FD交CP于点P，∵AF=CE，∴AE=CF，∵，∴∠1=∠2，∵∠BAE=∠FCP=90°，∴△BAE≌△FCP，∴∠3=∠P，AB=CP，∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠PCP=90°，AB=CP，∴∠FCD=45°，AC=PC，∴∠ACB=∠PCD，∵CD=CD，∴△ACD≌△PCD，∴∠4=∠P，∵∠3=∠P，∴∠3=∠4，∵∠3+∠2=90°，∴∠4+∠2=90°，∴∠AGE=90°，即⊥．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．4、（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，理由见解析【分析】（1）先根据非负数的性质求出、的值，作于点，由定理得出，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据，得出，再由定理即可得出；（3）【解析】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，理由见解析【分析】（1）先根据非负数的性质求出、的值，作于点，由定理得出，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据，得出，再由定理即可得出；（3）设，由全等三角形的性质可得出，故为定值，再由，可知的长度不变，故可得出结论．【详解】解：（1）证明：，，解得，，，作于点，，，，，在与中，，，；（2）证明：，，即，在与中，，；（3）点在轴上的位置不发生改变．理由：设，由（2）知，，，，为定值，，长度不变，点在轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．5、(1)(2)，证明见详解(3)【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证；（2）猜测，在射线AB上截取，如图（见详解），利用等边三角形的性质及可知为等边【解析】(1)(2)，证明见详解(3)【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证；（2）猜测，在射线AB上截取，如图（见详解），利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，再利用边角边即可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明；（3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB上截取，如图（见详解），用同样的方法证明，再根据ED⊥DC，证出为等腰直角三角形，即可求出∠DEC的度数．（1）解：，证明过程如下：由题意可知，∵D为AB的中点，∴，∴，∴．∵为等边三角形，，∴．∵，∴，∴，∴．（2）解：，理由如下：在射线AB上截取，连接EF，如图所示，∵为等边三角形，∴，．∵，，∴为等边三角形，∴，．由题意知，∴，∴．即．∵，∴．在和中，，∴，∴DE与DC之间的数量关系是．（3）如图，在射线CB上截取，连接DF，如图所示，∵为等边三角形，∴，．∵，，∴为等边三角形，∴，，∴．由题意知，∵，∴，即．∵，∴．在和中，，∴，∴．∵ED⊥DC，∴为等腰直角三角形，∴．【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键．6、（1），；（2），；（3）．【分析】（1）先判断出，再判定，再判断，（2）先判断出，再得到同理（1）可得结论；（3）先判断出，再判断出，最后计算即可．【详解】解：（1）与的位置关系是：，【解析】（1），；（2），；（3）．【分析】（1）先判断出，再判定，再判断，（2）先判断出，再得到同理（1）可得结论；（3）先判断出，再判断出，最后计算即可．【详解】解：（1）与的位置关系是：，数量关系是．理由如下：如图1，延长交于点．于，．，，，，，．，．AE⊥BC∴，，．（2）与的位置关系是：，数量关系是．如图，线段AC与线段BD交于点F，线段AE与线段BD交于点G，，，即．，，，，．AE⊥BC∴，又∵，．（3）如图，线段AC与线段BD交于点F，和是等边三角形，，，，，，，在和中，，∴，，与的夹角度数为．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断．7、（1）BD=CE，理由见解析；（2）90°；（3）成立，理由见解析.【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可证明△ADB≌△A【解析】（1）BD=CE，理由见解析；（2）90°；（3）成立，理由见解析.【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC，则BD=CE；（2）由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理可得到∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；（3）与（1）一样可证明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理得到∠BFC=∠DAB=90°．【详解】（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；（2）∵△ADB≌△AEC，∴∠ACE=∠ABD，而在△CDF中，∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF，又∵∠CDF=∠BDA，∴∠BFC=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；（3）BD=CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，∴∠BFC=∠DAB=90°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质.判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，熟知判定方法并根据题目条件选择合适的方法进行解答．8、（1）详见解析；（2）CD=；（3）当两动点运动时间为、、6秒时，△OPM与△OQN全等.【分析】（1）先证△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB，从而可以得出结论；（2）由（1）知∠ABE=∠【解析】（1）详见解析；（2）CD=；（3）当两动点运动时间为、、6秒时，△OPM与△OQN全等.【分析】（1）先证△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB，从而可以得出结论；（2）由（1）知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°，进而得出∠AOF=30°，利用含30°角的直角三角形的性质得到AF、OF的长．再证明∠ACF=∠AOF=30°，∠D=30°，同理得出CF