第三章 正弦交流电路及应用

第3章正弦交流电路及应用3.1正弦交流电的基本概念正弦交流电的相量表示法单一元件的正弦交流电路RLC交流电路的分析3.23.33.4RLC谐振电路的分析正弦交流电路中的功率及功率因数3.53.61.正弦交流电的变化规律正弦交流电路中电压、电流和电动势的大小和方向均随时间按正弦规律变化，我们把按照正弦规律变化的电压、电流和电动势统称为正弦量。如图3-1（b）所示。除了正弦交流电之外，还有一些其他形式的交流电。如图3-1（c）、（d）所示的电压和电流分别为锯齿波和方波，为非正弦周期交流电。3.1正弦交流电的基本概念

2.正弦交流电的产生如图3.2所示是一个交流发电机的原理示意图。在电磁铁的两极N和S之间放一个由硅钢片叠成的圆柱体，称为电枢铁芯，在它上面固定着导体线圈，铁芯和线圈合起来称做电枢，电枢是绕着它的轴转动的。铁芯的一个作用是支承线圈，另一个作用是增加电枢表面的磁感应强度，并使磁力线的方向都和电枢表面相垂直。线圈的两端分别接到两个互相绝缘并和电枢固定在同一轴上的铜环上，这两个铜环称做集电环或滑环，再用电刷将集电环与外电路接通。当电枢被原动机（南方通常为水力发电，原动机为水轮机）拖动绕轴作匀速旋转时，线圈就以一定的角速度w切割磁力线。根据电磁感应原理，线圈中将感应出随时间按正弦规律变化的电压。图3.2交流发电机的简单原理示意图3.正弦交流电的表示方法正弦量的大小和方向随时间按照正弦规律变化，其每一时刻的数值叫瞬时值，用小写字母表示。正弦交流电路中的电压、电流的表示方法有解析式、波形图和相量图等。如图3.3（a）所示是正弦交流电流的一条支路，设电路中电压和电流的参考方向为关联参考方向，电路中的电压和电流可分别用三种方法表示，以电流为例表示为：解析法：i=Imsin(ωt+φ)；式中ω为角频率，

为初相。向量法：图形法：就是正弦波的图形，如图3.3（b）。图3.3交流电流的一条支路及其波形图在指定了电流参考方向和计算时间的坐标原点O之后，就可画出正弦电流的波形，称为正弦波，如图3.3（b）所示。横坐标可定为ωt，也可定为时间t，依需要而定。图上标出了t1时刻的瞬时值i（t1）以及其他一些特征量。当i为正时，表示该支路电流的实际方向与参考方向一致；当i为负时，表示电流的实际方向与参考方向相反。正弦量的电压、电流的解析式为以正弦量电流为例：如果已知振幅、角频率和初相位，则上述正弦量就能确定下来。通常把振幅、角频率和初相角这三个量称为正弦量的三要素。

一、正弦交流电的三要素1．频率与周期正弦量完整变化一周所需的时间称为周期，用字母T表示，单位是秒（s）。每秒内变化的周数称为频率，用字母f表示，单位是赫兹（Hz）。频率和周期的关系：我国工业用电的频率为50Hz，又称工频。正弦量的角频率用ω表示，单位是rad/s（弧度每秒）。从式中可以看出角频率与频率之间为2π的倍数关系。2．振幅和有效值（1）振幅（最大值）。正弦量在任一时刻的大小称为瞬时值。瞬时值用小写字母表示，如式（3-1-1）中u、i分别表示电压和电流的瞬时值。交流电在变化过程中出现的最大瞬时值称为最大值（或振幅值即振幅），用大写字母加下标m表示，如上述解析式中的Um和Im。（2）有效值。在工程应用中常用有效值来表征正弦交流电的大小。正弦交流电的有效值就是在热效应方面与其相等的直流电的数值。有效值用大写字母表示，电压和电流的有效值分别用U、I表示。下面讨论有效值与最大值的关系。在图3.4中有两个相同的电阻R，其中一个电阻通以周期电流I，另一个电阻通以直流电流I，在一个周期内电阻消耗的电能分别为：图3.4交流电有效值示意图如果两电路消耗的电能相等，则式中I即为交流电流i的有效值，又称为方均根值。当周期电流为正弦量时，设i=Imsinωt，则

经过积分运算可得即正弦量的有效值是最大值（振幅）的

倍，即可见有效值小于最大值，是介于正弦量的最大值和零值之间的一个数值。在电工技术中，通常所说的交流电的大小指的是有效值，如交流电压220V或380V等。常用的交流电压表、交流电流表所测得的读数是有效值，各种交流电气设备铭牌标出的额定电压、额定电流也都是指有效值。我国工业和民用交流电源电压的有效值为220V、频率为50Hz，通常将这一交流电压简称为工频电压。【例3.1.1】

在如图3.3所示的交流电路中，已知：交流电流①求它的振幅Im、频率f、周期T及角频率w。②求i第一次出现最大值的时刻t1、以及当解：①由正弦电流i的解析式可得i的振幅为Im＝100A角频率为

w＝314rad/s频率为周期为②当

时，i第一次出现正的最大值为在

时i的瞬时值为在t3＝15ms＝0.015s时i的瞬时值为由计算结果可知，电流瞬时值有正、负之分。当电路中设定的参考方向与实际方向一致时，瞬时值为正（波形在正半周），反之，瞬时值为负（波形在负半周）。

【例3.1.2】

用交流电压表测得一交流电源的电压为380V，求该电源的最大值。正弦电流i＝0.282sinwtA，求该电流的有效值。解：

电源电压的最大值为【例3.1.3】

已知某正弦电压的有效值是220V，频率50赫兹，初相角ju为30°，试求最大值并写出它的瞬时值表达式。解：

Um＝U＝×220＝311V u＝311sin（314t＋30°）V电流的有效值为3．相位、初相、相位差正弦电流解析式为i＝Imsin(

t+

i)其中

t+

i叫做相位角或相位，它反映了正弦量随时间变化的进程，当相位角随时间连续变化时，正弦量的瞬时值随之变化。t=0时的相位

i叫做初相角（又称为初相位或初相）。一般规定初相位

。假定两个同频率的正弦量u、i，则

u＝Umsin(

t+

u)i＝Imsin(

t+

i)它们的相位之差（称为相位差）

ui为此式表明，两个同频率正弦量的相位之差就是两个正弦量初相位之差，相位差与计时起点及时间t无关。我们只讨论同频率正弦量的相位差，不同频率之间的相位差随时变化，没有意义。一般规定相位差相位差描述了两个同频率正弦量随时间变化进程的差异，它能定量地判别哪一个正弦量先到达0值点，或者哪一个正弦量先到达最大值。以正弦电压u和正弦电流i的相位差

为例，分析如图3.5所示的四种情况。

【例3.1.4】

正弦电压u1（t）和u2（t）分别如下式所示，两个正弦量能否进行相位比较？u1＝U1msin（wt＋600）Vu2＝U2msin（2wt＋45°）V解：由于两个正弦电压的角频率不同（u1的角频率为w、u2的角频率为2w），所以两者不能比较相位差。如果以为相位差

＝600－450＝150而得出u1超前u2的结论，那是错误的。【例3.1.5】

试比较u1和u2的相位差。已知u1＝5sin（314t－300）Vu2＝－3sin（314t＋300）V解：两个交流电压的角频率w及函数形式（都是sin函数）都一致，可以进行比较，但在比较前首先要把u2的负号通过相位体现。若式中原初相位

＞0，就减去180°；若原初相位

＜0，就加上1800，则初相的绝对值小于等于1800，u2改写为u2＝3sin（314t＋300－1800）V＝3sin（314t－1500）V可见表示u1超前u21200或u2滞后u11200。【例3.1.6】

已知试求哪一个电流滞后？滞后多少？解：按相位差计算，得i1超前i2的结论是不对的。因为我们已规定相位差相位差的绝对值

时，应按照处理，相位差，故正弦交流电（即正弦交流电压、电流）可用解析式和波形图来表示。它们是交流电的基本表示方法。但是这些方法不便于对电路中的正弦量进行分析计算，为了方便对电路中的正弦量进行分析计算，常用复数表示相对应的正弦量，称作正弦量的相量表示法。为了与一般的复数相区别，在大写字母上加一黑点，如

。下面先简要复习有关数学知识。1．复数的表示法如图3.6所示的直角坐标系，横轴为实轴，以＋1为单位，纵轴为虚轴，以j（

称为虚数单位）为单位。由实轴和虚轴构成的平面称为复平面。复平面中有一相量（有向线段）

，它在实轴上的投影即为实部a，表示复数的实部，虚轴上的投影即为虚部b，则相量

的复数形式有如下几种。（１）代数形式图3.6复平面上的相量3.2正弦交流电的相量表示法

一、复数（２）三角函数式（３）指数形式根据欧拉公式（4）极坐标式极坐标式是复数指数式的简写：今后利用相量法对正弦稳态电路进行分析和计算时，常常需要在代数形式和极坐标形式之间进行转换。转换时需注意，相量的模永远为正值，辐角取值根据复数在复平面上的象限而定。2．复数的四则运算以下介绍复数的四则运算。（1）加减运算。几个复数相加或相减，就是把它们的实部和虚部分别相加或相减。先将复数化成代数形式再进行加、减运算。复数的加减运算也可在复平面上用平行四边形法则作图完成。如图3.7所示。（2）乘法运算图3.7复数的加减运算复数相乘除的几何意义，如图3.8所示。图3.8复数的乘除运算

为了便于分析计算正弦交流电路，用一个复平面上的相量对应地表示正弦量，相量的模表示正弦量的最大值或有效值，该相量与正向实轴间的夹角表示正弦量的初相位j，用大写字母头上加黑点表示。图3.10电流的最大值相量和有效值相量二、正弦量的相量表示法将一些相同频率的正弦量的相量画在同一复平面上所构成的图形称为相量图。可选择某一相量作为参考相量先画出，参考正弦量相量的辐角为0°，又称为参考相量，再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量。不同频率的正弦量的相量不能画在同一个复平面上，注意：①今后若无特别说明，凡相量均指有效值相量。

②相量只是用复数的形式表达了一个正弦量，它不等于正弦量。图3.11相量图用相量图表示正弦交流量时，应明确以下几点。（1）只有正弦量才能用相量来表示。相量不能表示非正弦量。（2）正弦量是随时间交变的量，它不是矢量。相量仅是一种正弦量的表示方法，相量不等于正弦量。（3）只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。同频率的交流电在任何瞬间的相位差不变。在相量图中，它们之间的相对位置不变，从而能在同一相量图上分析同频率各正弦量间的关系，并能用平行四边形法则对交流电流或电压进行加、减运算。图3.12例3.2.5相量图在正弦交流电路中，一般都含有电阻R、电感L、电容C三个元件（理想元件），各种实际电路不外乎三个元件的不同组合，因此，掌握这三个元件在正弦交流电路中的电压与电流关系、能量的转换及功率，是分析各种正弦交流电路的基础。在正弦交流电路中，各电流和电压都是与电源同频率的正弦量，将这些正弦量分别用相量来表示，则直流电路中所学习的定律、定理和公式等，可以表示为对应的相量形式。基尔荷夫定律的相量形式为

即第一章和第二章介绍的直流电路的分析计算方法，在正弦交流电路中同样适用，所不同的是，正弦交流电路中的电压和电流以相量形式来表示。3.3单一元件的正弦交流电路1．电阻元件的伏安关系当电阻元件上的电压u与电流i取关联参考方向时，如图3.14（a）所示。电阻两端的电压与通过的电流成正比，即电阻元件相量模型如图3.14（b）所示。图3.14电阻元件电路相量模型图3.15电阻元件的电流、电压相量图和波形图二、纯电阻元件的正弦交流电路②平均功率（有功功率）。由于电阻元件上消耗的瞬时功率随时间变动，不便用来衡量元件消耗功率的大小，电工技术中常采用平均功率（有功功率）来计量。在交流电气设备上所标的额定功率指的就是平均功率。平均功率亦称有功功率。以后讨论时，若不加特殊说明，交流电路中的功率均指有功功率。瞬时功率在一周期内的平均值，就是平均功率，用大写字母P表示。电阻元件上的平均功率为：上式表明，电阻元件交流电路的平均功率等于电压与电流有效值的乘积，它和直流电路中计算功率的公式具有相同的形式，在国际单位制中单位是瓦特（W），实际使用时也用较大的单位千瓦（kW）。1．电感元件上电压与电流的相量关系将电感元件接入正弦交流电路，并设定u、i的参考方向，如图3.17（a）所示。若流过电感元件的电流i＝Imsinwt，则电感元件两端的电压为图3.17电感元件电路图、波形图与相量图二、纯电感元件的正弦交流电路2．电感元件的功率①瞬时功率（即时功率）。当uL与i在关联参考方向下，其瞬时功率为如图3.17（d）所示为电感元件的平均功率波形图。由图可见，在Ⅰ及III个1/4周期内，uL和i同为正值或同为负值，故瞬时功率pL为正值，这期间电流增大，说明电感从电源吸收电功率，并把电能转换为磁场能量存在线圈的磁场中。在II和Ⅳ个1/4

周期内，uL和i为一正一负，pL为负值。这期间电流减小，磁场能量随之减小，说明电感元件在此期间释放能量，将磁能转换为电能送还给电源。由此可见，纯电感元件（理想元件）在电路中并不消耗能量，而是和电源不断地进行能量交换，这是一个可逆的能量转换过程。由上式可知，电感元件不消耗功率，是储能元件。③无功功率。电感元件在交流电路中虽然不消耗能量，但在储能、放能过程中与电源之间不断地进行着能量互换。我们规定将即时功率pL的最大值称为无功功率，用来衡量能量交换的规模。为了区别于耗能元件R的有功功率，故用大写字母QL表示，即在法定计量单位中，无功功率的单位用乏（var）或千乏（kvar）来计量。1．电容元件相量形式的伏安关系纯电容元件的交流电路如图3.18（a）所示，uC、i的参考方向如图中所示。设电容两端的电压uC＝UCmsinwt，则流过电容中的电流为图3.18电容元件电路图、波形图与相量图三、纯电容元件的正弦交流电路由uC和i的解析式可得到它们的波形图及相量图，如图3.18（b）、（c）所示。具有电容元件的交流电路uC和i是同频率的正弦量，它们之间有如下关系。①在相位上，电流超前于电压90°或者说电压滞后于电流90°。

②在大小上，电压和电流在幅值或有效值之间的关系为②平均功率。许多实际电路是由两个或三个不同参数的元件组成，如电动机、继电器等设备都含有线圈，而线圈的电阻往往不可忽略；又如一些电子设备，放大器、信号源等的电路内含有电阻、电容或电感等元件。所以分析含有三种参数的交流电路具有实际意义。3.4RLC交流电路的分析一、RLC串联交流电路的分析根据阻抗的定义，有图3.21电压三角形、阻抗三角形图3.22R-L-C串联电路相量图【例3.4.2】RLC串联电路如图3.20（a）所示。已知：R＝5kW、L＝6mH、C＝0.001mF、u＝5sin106tV。（1）求电流i和各元件上的电压，并画出相量图；（2）当角频率变为w＝2×105rad/s时，电路的性质有无改变。解：（1）按相量法的3个步骤求解。①写出已知正弦量的相量图3.24例3.4.8相量图 R、L、C并联电路如图3.25（a）所示，如图3.25（b）所示为其相量模型，电路中电流和电压用相量表示，电阻、电感、电容分别用阻抗表示。

二、RLC并联交流电路的分析

所谓谐振就是在含有电感、电容和电阻的电路中，在某些工作频率上出现端口电压和电流同相