长沙市七年级数学下册期末压轴题考试题及答案

一、解答题1．在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，即S△MPQ＝1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”，解答下列问题：如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，0）．（1）在点A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，线段OP的“单位面积点”是；（2）已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，直接写出t的取值范围．（3）已知点Q（1，﹣2），H（0，﹣1），点M，N是线段PQ的两个“单位面积点”，点M在HQ的延长线上，若S△HMN≥S△PQN，求出点N纵坐标的取值范围．2．已知，点为平面内一点，于．（1）如图1，求证：；（2）如图2，过点作的延长线于点，求证：；（3）如图3，在（2）问的条件下，点、在上，连接、、，且平分，平分，若，，求的度数．3．阅读下面材料：小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．证明：过点E作EFAB，则有∠BEF＝．∵ABCD，∴，∴∠FED＝．∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，已知：直线ab，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．4．综合与探究（问题情境）王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系；（问题迁移）（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动，①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由．②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系．5．已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且（40﹣2α）2＋|β﹣20|＝0（1）α＝，β＝；直线AB与CD的位置关系是；（2）如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．6．已知：ABCD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之间，连接FG，EH，GE，∠GFB＝∠CEH．（1）如图1，求证：GFEH；（2）如图2，若∠GEH＝α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．7．阅读理解：计算×﹣×时，若把与分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：解：设为A，为B，则原式=B（1+A）﹣A（1+B）=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=．请用上面方法计算：①×-×②-．8．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：现代社会会保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中这26个字母依次对应这26个自然数（见下表）．QWERTYUIOPASD12345678910111213FGHJKLZXCVBNM14151617181920212223242526给出一个变换公式：将明文转成密文，如，即变为：，即A变为S．将密文转成成明文，如，即变为：，即D变为F．（1）按上述方法将明文译为密文．（2）若按上方法将明文译成的密文为，请找出它的明文．9．阅读下面的文字，解答问题大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）请解答：（1）整数部分是，小数部分是．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求|a﹣b|+的值．（3）已知：9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．10．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．(2)若，写出满足题意的x的整数值______．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．11．观察下来等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，……在上面的等式中，等式两边的数字分别是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据以上各等式反映的规律，使下面等式成为“数字对称等式”：52×_____＝______×25；(2)设这类等式左边的两位数中，个位数字为a，十位数字为b，且2≤a＋b≤9，则用含a，b的式子表示这类“数字对称等式”的规律是_______．12．阅读下列解题过程：为了求的值，可设，则，所以得，所以；仿照以上方法计算：（1）.（2）计算：（3）计算：13．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．（1）点的坐标为___________；当点移动5秒时，点的坐标为___________；（2）在移动过程中，当点到轴的距离为4个单位长度时，求点移动的时间；（3）在的线路移动过程中，是否存在点使的面积是20，若存在直接写出点移动的时间；若不存在，请说明理由．14．已知，如图：射线分别与直线、相交于、两点，的角平分线与直线相交于点，射线交于点，设，且．（1）________，________；直线与的位置关系是______；（2）如图，若点是射线上任意一点，且，试找出与之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图）分别与、相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．15．如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式．（1）求，，的值；（2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．16．如果x是一个有理数，我们定义x表示不小于x的最小整数．如3.24，2.62，55，66.由定义可知，任意一个有理数都能写成xxb的形式（0≤b＜1）．(1)直接写出x与x，x1的大小关系；提示1：用“不完全归纳法”推导x与x，x1的大小关系；提示2：用“代数推理”的方法推导x与x，x1的大小关系．(2)根据（1）中的结论解决下列问题：①直接写出满足3m74的m取值范围；②直接写出方程3.5n22n1的解．.17．如图1，在直角坐标系中直线与、轴的交点分别为，，且满足.（1）求、的值；（2）若点的坐标为且，求的值；（3）如图2，点坐标是，若以2个单位/秒的速度向下平移，同时点以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是秒，若点落在内部（不包含三角形的边），求的取值范围．18．如图1，已知，点A(1，a)，AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B(b，0)，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足．（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A(________)、B(________)、C(________)；②直接写出三角形AOH的面积________．（2）如图1，若点D(m，n)在线段OA上，证明：4m＝n．（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．19．判断下面方程组的解法是否正确，如果全部正确，判断即可；如果有错误，请写出正确的解题过程．解：①×2-②×3，得，解得，把代入方程①，得，解得．∴原方程组的解为20．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．例：由，得：，（x、y为正整数）∴，则有．又为正整数，则为正整数．由2与3互质，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入∴2x+3y=12的正整数解为问题：（1）请你写出方程的一组正整数解：.（2）若为自然数，则满足条件的x值为.（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？21．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．（1）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为；（2）如何解方程组呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为；（3）由此请你解决下列问题：若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值．22．在平面直角坐标系中，点，点，点．（1）的面积为______；（2）已知点，，那么四边形的面积为______．（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用m表示格点多边形内的格点数，n表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S和m与n之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表中信息：形内格点数m边界格点数n格点多边形面积S611四边形811五边形208根据上述的例子，猜测皮克公式为______（用m，n表示），试计算图②中六边形的面积为______（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．23．某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中每台的价格与月处理污水量如下表：甲型乙型价格(万元/台)xy处理污水量(吨/月)300260经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少2万元．（1）求x，y的值；（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买方案；（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案．24．在平面直角坐标系xOy中．点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段AB给出如下定义：过点P向线段AB所在直线作垂线，若垂足Q落在线段AB上，则称点P为线段AB的内垂点．若垂足Q满足|AQ-BQ|最小，则称点P为线段AB的最佳内垂点．已知点A（﹣2，1），B（1，1），C（﹣4，3）．（1）在点P1（2，3）、P2（﹣5，0）、P3（﹣1，﹣2），P4（﹣，4）中，线段AB的内垂点为；（2）点M是线段AB的最佳内垂点且到线段AB的距离是2，则点M的坐标为；（3）点N在y轴上且为线段AC的内垂点，则点N的纵坐标n的取值范围是；（4）已知点D（m，0），E（m+4，0），F（2m，3）．若线段CF上存在线段DE的最佳内垂点，求m的取值范围．25．如图①，在平直角坐标系中，△ABO的三个顶点为A（a，b），B（﹣a，3b），O（0，0），且满足|b﹣2|＝0，线段AB与y轴交于点C．（1）求出A，B两点的坐标；（2）求出△ABO的面积；（3）如图②，将线段AB平移至B点的对应点落在x轴的正半轴上时，此时A点的对应点为，记△的面积为S，若24＜S＜32，求点的横坐标的取值范围．26．已知关于x、y的二元一次方程（1）若方程组的解x、y满足，求a的取值范围；（2）求代数式的值．27．某超市投入31500元购进A、B两种饮料共800箱，饮料的成本与销售价如下表：（单位：元/箱）类别成本价销售价A4264B3652（1）该超市购进A、B两种饮料各多少箱？（2）全部售完800箱饮料共盈利多少元？（3）若超市计划盈利16200元，且A类饮料售价不变，则B类饮料销售价至少应定为每箱多少元？28．如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（﹣3，0），D为x轴上的一个动点且不与B，O重合，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，使得AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交y轴于点M．（1）如图，当点D在线段OB的延长线上时，①若D点的坐标为（﹣5，0），求点E的坐标．②求证：M为BE的中点．③探究：若在点D运动的过程中，的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）请直接写出三条线段AO，DO，AM之间的数量关系（不需要说明理由）．29．我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯光射线自顺时针旋转至便立即逆时针旋转至，如此循环灯光射线自顺时针旋转至便立即逆时针旋转至，如此循环．两灯交叉照射且不间断巡视．若灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒，且，满足．若这一带江水两岸河堤相互平行，即，且．根据相关信息，解答下列问题．（1）__________，__________．（2）若灯的光射线先转动24秒，灯的光射线才开始转动，在灯的光射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光射线互相平行？（3）如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯的光射线到达之前，若两灯射出的光射线交于点，过点作交于点，则在转动的过程中，与间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．30．阅读以下内容：已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值；乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；丙同学：先解方程组，再求k的值．（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；（2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1），；（2）或；（3）见解析【分析】（1）分别根据三角形的面积计算△OPA，△DPB，△DPC，△OPD的面积即可；（2）分线段OP在线段EF下方和线段OP在线段EF上方分别求解；（3）画出图形，根据S△PQN=1，得到S△HMN≥，分当xN=0时，当xN=2时，分别结合S△HMN≥，得到不等式，求出N点纵坐标的范围．【详解】解：（1）S△OPA=，则点A是线段OP的“单位面积点”，S△OPB=，则点B不是线段OP的“单位面积点”，S△OPC=，则点C是线段OP的“单位面积点”，S△OPD=，则点D不是线段OP的“单位面积点”，（2）设点G是线段OP的“单位面积点”，则S△OPG=1，∵点E的坐标为（0，3），点F的坐标为（0，4），且点G在线段EF上，∴点G的横坐标为0，∵S△OPG=1，线段OP为y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，当为单位面积点时，当为单位面积点时，综上所述：1≤t≤2或5≤t≤6；（3）∵M，N是线段PQ的两个单位面积点，∴S△PQM=1，S△PQN=1，∵P（1，0），Q（1，-2），∴PQ=2，∴M，N的横坐标为0或2，∵点M在HQ的延长线上，∴点M的横坐标为xM=2，∵S△HMN≥S△PQN，∴S△HMN≥，当xN=0时，S△HMN=，则，∴或；当xN=2时，S△HMN=，则，∴或．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，并且能够理解单位面积点的定义，解题关键是找到单位面积点的轨迹进行求解．2．（1）见解析；（2）见解析；（3）．【分析】（1）先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；（2）过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可；（3）设∠DBE=a，则∠BFC=3a，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠C=2a，∠FBC=∠DBC=a+45°，根据三角形内角和可得∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，可得∠AFC=∠BCF的度数表达式，再根据平行的性质可得∠AFC+∠NCF=180°，代入即可算出a的度数，进而完成解答．【详解】（1）证明：∵，∴，∵于，∴，∴，∴；（2）证明：过作，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）设∠DBE=a，则∠BFC=3a，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=∠C=2a，又∵AB⊥BC，BF平分∠DBC，∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2a+90，即：∠FBC=∠DBC=a+45°又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，即：3a+a+45°+∠BCF=180°∴∠BCF=135°-4a，∴∠AFC=∠BCF=135°-4a，又∵AM//CN，∴∠AFC+∠NCF=180°，即：∠AFC+∠BCN+∠BCF=180°，∴135°-4a+135°-4a+2a=180，解得a=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角平分线的性质是解答本题的关键．3．（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，参考小亮思考问题的方法即可求∠BED的度数；②如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC＝α，∠ADC＝β，参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED的度数．【详解】解：（1）过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；故答案为：∠B；EF；CD；∠D；（2）①如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度数为65°；②如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣．答：∠BED的度数为180°﹣．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．4．（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；（2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）作PQ∥EF，如图：∵，∴，∴，，∵∴；（2）①；理由如下：如图，过作交于，∵，∴，∴，，∴；②当点在延长线时，如备用图1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=，∠EPD=，∴；当在之间时，如备用图2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=，∠CPE=，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．5．（1）20，20，；（2）；（3）的值不变，【分析】（1）根据，即可计算和的值，再根据内错角相等可证；（2）先根据内错角相等证，再根据同旁内角互补和等量代换得出；（3）作的平分线交的延长线于，先根据同位角相等证，得，设，，得出，即可得．【详解】解：（1），，，，，，，；故答案为：20、20，；（2）；理由：由（1）得，，，，，，，；（3）的值不变，；理由：如图3中，作的平分线交的延长线于，，，，，，，，设，，则有：，可得，，．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．6．（1）见解析；（2），证明见解析．【分析】（1）由平行线的性质得到，等量代换得出，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；（2）过点作，过点作，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．【详解】（1）证明：，，，，；（2）解：，理由如下：如图2，过点作，过点作，，，，，，同理，，平分，平分，，，，由（1）知，，，，，，．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．7．（1）；（2）.【分析】①根据发现的规律得出结果即可；②根据发现的规律将所求式子变形，约分即可得到结果．【详解】（1）设为A，为B，原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=；（2）设为A，为B，原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=．【点睛】考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（1）N,E,T密文为M,Q,P;（2）密文D,W,N的明文为F,Y,C．【分析】(1)

由图表找出N,E,T对应的自然数,再根据变换公式变成密文.(2)由图表找出N=M,Q,P对应的自然数，再根据变换.公式变成明文.【详解】解：（1）将明文NET转换成密文：即N,E,T密文为M,Q,P;（2）将密文D,W,N转换成明文：即密文D,W,N的明文为F,Y,C．【点睛】本题考查有理数的混合运算，此题较复杂，解答本题的关键是由图表中找到对应的数或字母，正确运用转换公式进行转换．9．（1）7；-7；（2）5；（3）13-．【分析】（1）估算出的范围，即可得出答案；（2）分别确定出a、b的值，代入原式计算即可求出值；（3）根据题意确定出等式左边的整数部分得出y的值，进而求出y的值，即可求出所求．【详解】解：（1）∵7﹤﹤8，∴的整数部分是7，小数部分是-7．故答案为：7；-7．（2）∵3﹤﹤4，∴，∵2﹤﹤3，∴b＝2∴|a-b|+=|-3-2|+=5-+=5（3）∵2﹤﹤3∴11＜9+＜12，∵9+=x+y，其中x是整数，且0﹤y＜1，∴x＝11，y＝-11+9+＝-2，∴x-y＝11-(-2)＝13-【点睛】本题考查的是无理数的小数部分和整数部分及其运算．估算无理数的整数部分是解题关键．10．（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果；（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【详解】解：（1）∵22=4，62=36，52=25,∴5＜＜6，∴[]=[2]=2，[]=5，故答案为2，5；（2）∵12=1，22=4，且[]＝1，∴x=1，2，3，故答案为1，2，3；（3）第一次：[]=10，第二次：[]=3，第三次：[]=1，故答案为3；（4）最大的正整数是255，理由是：∵[]=15，[]=3，[]=1，∴对255只需进行3次操作后变为1，∵[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，∴对256只需进行4次操作后变为1，∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为255．【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．11．（1）275，572；（2）（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a].【分析】（1）观察等式，发现规律，等式的左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；等式的右边：三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行写出即可．【详解】解：（1）∵5+2=7，∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，∴52×275=572×25，（2）左边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b；右边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a；“数字对称等式”为：（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a]．故答案为275，572；（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a]．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．12．（1）；（2）；（3）.【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．【详解】解：（1）根据得：（2）设，则，∴，∴即：（3）设，则，∴，∴即：同理可求⸫∵【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．13．（1）（8，12），（0，10）；（2）2秒或14秒；（3）存在，t=2.5s或【分析】（1）由非负数的性质可得a、b的值，据此可得点B的坐标；由点P运动速度和时间可得其运动5秒的路程，得到OP=10，从而得出其坐标；（2）先根据点P运动11秒判断出点P的位置，再根据三角形的面积公式求解可得；（3）分为点P在OC、BC上分类计算即可．【详解】解：（1）∵a，b满足，∴a=8，b=12，∴点B（8，12）；当点P移动5秒时，其运动路程为5×2=10，∴OP=10，则点P坐标为（0,10），故答案为：（8，12）、（0,10）；（2）由题意可得，第一种情况，当点P在OC上时，点P移动的时间是：4÷2＝2秒，第二种情况，当点P在BA上时．点P移动的时间是：（12+8+8）÷2＝14秒，所以在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2秒或14秒．（3）如图1所示：∵△OBP的面积=20，∴OP•BC=20，即×8×OP=20．解得：OP=5．∴此时t=2.5s如图2所示；∵△OBP的面积=20，∴PB•OC=20，即×12×PB=20．解得：BP=．∴CP=．∴此时t=，综上所述，满足条件的时间t=2.5s或【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．14．（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2【分析】（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；（2）先根据内错角相等证GH∥PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°；（3）作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，先根据同位角相等证ER∥FQ，得∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，得出∠EPM1=2∠R，即可得=2．【详解】解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，∴α=β=35，∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，∴∠EMF=∠MFN，∴AB∥CD；（2）∠FMN+∠GHF=180°；理由：由（1）得AB∥CD，∴∠MNF=∠PME，∵∠MGH=∠MNF，∴∠PME=∠MGH，∴GH∥PN，∴∠GHM=∠FMN，∵∠GHF+∠GHM=180°，∴∠FMN+∠GHF=180°；（3）的值不变，为2，理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，∵AB∥CD，∴∠PEM1=∠PFN，∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，∴∠PER=∠PFQ，∴ER∥FQ，∴∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，则有：，可得∠EPM1=2∠R，∴∠EPM1=2∠FQM1，∴==2．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．15．（1）a=2，b=3，c=4；（2）S四边形ABOP=3-m；（3）存在，P（-3，）．【分析】（1）根据非负数的性质，即可解答；（2）四边形ABOP的面积=△APO的面积+△AOB的面积，即可解答；（3）存在，根据面积相等求出m的值，即可解答．【详解】解：（1）由已知可得：a-2=0，b-3=0，c-4=0，解得：a=2，b=3，c=4；（2）∵a=2，b=3，c=4，∴A（0，2），B（3，0），C（3，4），∴OA=2，OB=3，∵S△ABO=×2×3=3，S△APO=×2×（-m）=-m，∴S四边形ABOP=S△ABO+S△APO=3+（-m）=3-m（3）存在，∵S△ABC=×4×3=6，若S四边形ABOP=S△ABC=3-m=6，则m=-3，∴存在点P（-3，）使S四边形ABOP=S△ABC．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是根据非负数的性质求出a，b，c．16．（1）；（2）①；②或．【分析】（1）提示1：先列出4个x的值，分别得出与的大小关系，再利用“不完全归纳法”即可得；提示2：先根据“”得出，再根据“”即可得；（2）①根据（1）的结论得出，据此解不等式组即可得；②先根据（1）的结论得出，再解不等式组求出n的取值范围，从而可得的取值范围，然后根据“为整数”可得出方程，由此解方程即可得．【详解】（1）提示1：当时，，则当时，，则当时，，则当时，，则由“不完全归纳法”可得：；提示2：，且；（2）①由（1）的结论得：解得；②由（1）的结论得：解得为整数则或解得或．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、解一元一次方程等知识点，理解新定义，正确求解不等式组是解题关键．17．（1），；（2）或；（3）【分析】（1）根据非负数和为0，则每一个非负数都是0，即可求出a，b的值；（2）设直线AB与直线x＝1交于点N，可得N（1，5），根据S△ABM＝S△AMN−S△BMN，即可表示出S△ABM，从而列出m的方程．（3）根据题意知，临界状态是点P落在OA和AB上，分别求出此时t的值，即可得出范围．【详解】（1）∵，，∴，解得：，（2）设直线与直线交于，设∵a＝−4，b＝4，∴A（−4，0），B（0，4），设直线AB的函数解析式为：y＝kx＋b，代入得，解得∴直线AB的函数解析式为：y＝x＋4，代入x=1得∵∴＝×5×|5−m|−×1×|5−m|＝2|5−m|，∵∴∴或解得：或，（3）当点P在OA边上时，则2t＝2，∴t＝1，当点P在AB边上时，如图，过点P作PKx轴，AK⊥x轴交于K，则KP'＝3−t，KA'＝2t−2，∴3−t＝2t−2，∴综上所述：．【点睛】本题主要考查了平移的性质、一般三角形面积的和差表示、以及非负数的性质等知识点，第（2）问中用绝对值来表示动点构成的线段长度是正确解题的关键．18．（1）①1，4；3，0；2，﹣4；②2；（2）见解析；（3）t＝1.2时，P(0.6，0)，t＝2时，P(﹣1，0)．【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论．②利用三角形面积公式求解即可．（2）连接DH，根据△ODH的面积+△ADH的面积=△OAH的面积，构建关系式，可得结论．（3）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论．【详解】（1）解：①∵，又∵≥0，(b﹣3)2≥0，∴a＝4，b＝3，∴A(1，4)，B(3，0)，∵B是由A平移得到的，∴A向右平移2个单位，向下平移4个单位得到B，∴点C是由点O向右平移2个单位，向下平移4个单位得到的，∴C(2，﹣4)，故答案为：1，4；3，0；2，﹣4．②△AOH的面积＝×1×4＝2，故答案为：2．（2）证明：如图，连接DH．∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，∴×1×n＋×4×(1﹣m)＝2，∴4m＝n．（3）解：①当点P在线段OB上，由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得：OP·yA=OQ·xC，∴×(3﹣2t)×4＝×2t，解得t＝1.2．此时P(0.6，0)．②当点P在BO的延长线上时，由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得：OP·yA=OQ·xC，×(2t﹣3)×4＝×2×t，解得t＝2，此时P(﹣1，0)，综上所述，t＝1.2时，P(0.6，0)，t＝2时，P(﹣1，0)．【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．19．【分析】用加减消元法解二元一次方程组，在两个方程作差时符号出错了，正确为①②，得，再求解即可．【详解】解：上述解法不正确．正确解题过程如下：①②，得，解得，把代入方程①，得，解得．原方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组．20．（1）方程的正整数解是或．（只要写出其中的一组即可）；（2）满足条件x的值有4个：x=3或x=4或x=5或x=8；（3）有两种购买方案：即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．【解析】（1）---------------------------．（2）C（3）解：设购买单价为3元的笔记本x个，购买单价5元的钢笔y个，由题意得：3x+5y=35此方程的正整数解为有两种购买方案:方案一：购买单价为3元的笔记本5个，购买单价为5元的钢笔4支．方案二：购买单价为3元的笔记本10个，购买单价为5元的钢笔1支（1）只要使等式成立即可（2）x-2必须是6的约数（3）设购买单价为3元的笔记本x个，购买单价5元的钢笔y个，根据题意列二元一次方程，去正整数解求值21．（1）；（2）；（3）a＝3，b＝2．【分析】（1）利用加减消元法，可以求得；（2）利用换元法，设m+5=x，n+3=y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值进一步可求出原方程组的解；（3）把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m-bn=-2中求出m的值，然后把m的值代入3m+n=5可求出n的值，继而可求出a、b的值．【详解】解：（1）两个方程相加得，∴，把代入得，∴方程组的解为：；故答案是：；（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为，由（1）可得：，∴m+5＝1，n+3＝2，∴m＝-4，n＝-1，∴，故答案是：；(3)由方程组与有相同的解可得方程组，解得，把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，解得m＝1，再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，解得n＝2，把m＝1代入am＝3得：a＝3，把n＝2代入bn＝4得：b＝2，所以a＝3，b＝2．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点是考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．22．（1）10.5；（2）12.5；（3）10.5，12.5，23；；30【分析】（1）画出图形，根据三角形的面积公式求解；（2）画出图形，利用割补法求解；（3）设S=am+bn+c，其中a，b，c为常数，根据表中数据列方程组求出a，b，c，然后根据公式即可求出六边形的面积．【详解】（1）如图1，的底为7，高为3，所以面积为，故答案为：10.5；（2）如图2，，故答案为：12.5；（3）由（1）、（2）可填表格如下：形内格点数m边界格点数n格点多边形面积S61110.5四边形81112.5五边形20823设S=am+bn+c，其中a，b为常数，由题意得，解得，∴皮克公式为，∵六边形中，m=27，n=8，∴六边形的面积为=30．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，三元一次方程组的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．（1）；（2）该公司有6种购买方案，方案1：购买10台乙型设备；方案2：购买1台甲型设备，9台乙型设备；方案3：购买2台甲型设备，8台乙型设备；方案4：购买3台甲型设备，7台乙型设备；方案5：购买4台甲型设备，6台乙型设备；方案6：购买5台甲型设备，5台乙型设备；（3）最省钱的购买方案为：购买4台甲型设备，6台乙型设备．【分析】（1）由一台A型设备的价格是x万元，一台乙型设备的价格是y万元，根据题意得等量关系：购买一台甲型设备-购买一台乙型设备=2万元，购买4台乙型设备-购买3台甲型设备=2万元，根据等量关系，列出方程组，再解即可；（2）设购买甲型设备m台，则购买乙型设备（10-m）台，由题意得不等关系：购买甲型设备的花费+购买乙型设备的花费≤91万元，根据不等关系列出不等式，再解即可；（3）由题意可得：甲型设备处理污水量+乙型设备处理污水量≥2750吨，根据不等关系，列出不等式，再解即可．【详解】（1）依题意，得：，解得：．（2）设该治污公司购进m台甲型设备，则购进(10﹣m)台乙型设备，依题意，得：10m+8(10﹣m)≤91，解得：m≤5．又∵m为非零整数，∴m=0，1，2，3，4，5，∴该公司有6种购买方案，方案1：购买10台乙型设备；方案2：购买1台甲型设备，9台乙型设备；方案3：购买2台甲型设备，8台乙型设备；方案4：购买3台甲型设备，7台乙型设备；方案5：购买4台甲型设备，6台乙型设备；方案6：购买5台甲型设备，5台乙型设备．（3）依题意，得：300m+260(10﹣m)≥2750，解得：m≥3，∴m=4，5．当m=4时，总费用为10×4+8×6=88(万元)；当m=5时，总费用为10×5+8×5=90(万元)．∵88＜90，∴最省钱的购买方案为：购买4台甲型设备，6台乙型设备．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程（组）和不等式．24．（1）P3，P4；（2）（-0.5，3）或（-0.5，-1）；（3）；（4）或【分析】（1）根据题意分析，即可得到答案；（2）结合题意，首先求得线段中点C坐标，再根据题意分析，即可得到答案；（3）过点A作轴，过点C作轴，交于点D，过点A作，交y轴于点，过点C作，交y轴于点，根据三角形和直角坐标系的性质，得；再根据直角坐标系和等腰直角三角形性质，得，，从而得到答案；（4）根据题意，得线段中点坐标；再结合题意列不等式并求解，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，点P1（2，3）、P2（﹣5，0）、P3（﹣1，﹣2），P4（﹣，4）中，线段AB的内垂点为P3（﹣1，﹣2），P4（﹣，4）故答案为：P3，P4；（2）∵A（﹣2，1），B（1，1）∴线段中点C坐标为：，即∵点M是线段AB的最佳内垂点且到线段AB的距离是2∴当或，即当或时，|AQ-BQ|=0，为最小值故答案为：（-0.5，3）或（-0.5，-1）；（3）如图，过点A作轴，过点C作轴，交于点D，过点A作，交y轴于点，过点C作，交y轴于点，∵点A（﹣2，1），C（﹣4，3）∴，，∴∴，，即，∴故答案为：；（4）∵点D（m，0），E（m+4，0）∴线段中点坐标为根据题意，得：当时，；当时，；∴或．【点睛】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、一元一次不等式、坐标的性质，从而完成求解．25．（1）A（－3，2），B（3，6）；（2）△ABO的面积为12；（3）点的横坐标的取值范围是．【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性可得a＝－3，b＝2，进而可求得A，B两点的坐标；（2）过A作AE⊥x轴，垂足为E，过B作BF⊥x轴，垂足为F，根据即可求得答案；（3）先根据可求得点C的坐标，设（m，0），根据平移的性质可得（m－6，－4），过点、、分别作坐标轴的平行线，交点记为点M、N、H，根据可得，再根据24＜S＜32可求得，进而可求得点的横坐标的取值范围．【详解】解：（1）∵，，，∴a＋3＝0且b－2＝0，∴a＝－3，b＝2，又∵A（a，b），B（－a，3b），∴A，B两点的坐标为A（－3，2），B（3，6）；（2）如图，过A作AE⊥x轴，垂足为E，过B作BF⊥x轴，垂足为F，∵A（－3，2），B（3，6），∴AE＝2，BF＝6，EF＝6，EO＝3，OF＝3，∴∴△ABO的面积为12；（3）由（2）知：，而∴，解得：CO＝4，∴C（0，4），∵在x的正半轴上，∴设（m，0），且m＞0，此时由平移的性质易知（m－6，－4），∴如图所示，过点、、分别作坐标轴的平行线，交点记为点M、N、H，则，即，又∵，∴，解得：，∴，∴点的横坐标的取值范围是．【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，平移的性质，用割补法求三角形的面积，以及解一元一次不等式组，熟练掌握用割补法求三角形的面积是解决本题的关键．26．（1）；（2）-17【分析】（1）解方程组求出x、y的值，根据列不等式组求出答案；（2）将两个方程相加，求得6x+3y=-9，即可得到答案．【详解】解：（1）解方程组得，∵，∴,解得；（2）由①+②得2x+y=-3，∴3（2x+y）=-9，即6x+3y=-9，∴=-9-8=-17．【点睛】此题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知式子的值求代数式的值，正确解方程组是解题的关键．27．（1）购进A型饮料450箱，购进B型饮料350箱；（2）全部售完800箱饮料共盈利15500元；（3）B类饮料销售价至少定为每箱54元【分析】（1）设购进A型饮料x箱，购进B型饮料y箱，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据利润的公式解答即可；（3）设B类饮料销售价定为每箱a元，根据题意列出不等式解答即可．【详解】解：（1）设购进A型饮料x箱，购