上海市部分重点中学2023年高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

上海市部分重点中学2023年高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，若、、三个向量共面，则实数A3 B.5C.7 D.92．已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）A. B.C. D.3．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（）A. B.C. D.4．椭圆上的点P到直线x+2y-9=0的最短距离为（）A. B.C. D.5．设抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则（）A1 B.2C.4 D.86．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（）A. B.C. D.7．如图在平行六面体中，与的交点记为．设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.8．若圆C：上有到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.9．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D10．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）A.由，求出，，，…，推断：数列的前项和B.由满足对都成立，推断：为奇函数C.由半径为的圆的面积，推断单位圆的面积D.由，，，…，推断：对一切，11．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，12．已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列是等差数列，，公差，为其前n项和，满足，则当取得最大值时，______14．设，分别是椭圆C：左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为___________15．已知动圆P过定点，且在定圆的内部与其相内切，则动圆P的圆心的轨迹方程为______16．在正项等比数列中，，，则的公比为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线和的交点为P，求：（1）过点P且与直线垂直的直线l的方程；（2）以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程；（3）从下面①②两个问题中选一个作答，①若直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程②求圆心在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长的圆的方程注：如果选择两个问题分别作答，按第一个计分18．（12分）某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物，服用后需要检验血液抗体是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）.（1）假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数记为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数记为ξ2.（i）若k＝4，且，试运用概率与统计的知识，求p的值；（ii）若，证明：.19．（12分）已知椭圆：经过点为，且.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.已知点，且，求此时的值.20．（12分）2020年8月，总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：前10天剩菜剩饭的重量为：后天剩菜剩饭的重量为：借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）21．（12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）（1）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2：表1：生产能力分组人数48x53表2：生产能力分组人数6y3618①先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）图1A类工人生产能力的频率分布直方图图2B类工人生产能力的频率分布直方图22．（10分）已知（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上有1个零点，求实数a的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由空间向量共面原理得存在实数，，使得，由此能求出实数【详解】解：，，，、、三个向量共面，存在实数，，使得，即有：，解得，，实数故选：【点睛】本题考查空间向量共面原理的应用，属于基础题2、A【解析】依据点差法即可求得的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.【详解】设，则由，可得则，即，则则双曲线的渐近线的斜率为故选：A3、D【解析】由条件确定三棱锥的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公式求外接球的表面积.【详解】由已知，，，可得三棱锥的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱锥外接球的直径，，，即，则，故三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为故选：D.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.4、A【解析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直线的常数项，再计算平行线间的距离即可.【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为，则所以所以椭圆上点P到直线的最短距离为故选：A5、C【解析】根据焦点弦的性质即可求出【详解】依题可知，，所以故选：C6、B【解析】利用求解.【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，所以.故选：B7、B【解析】利用空间向量的加法和减法法则可得出关于、、的表达式.【详解】故选：B.8、C【解析】利用圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】将圆C的方程化为标准方程得，所以．因为圆C上有到的距离为1的点，所以圆C与圆：有公共点，所以因为，所以，解得，故选：C9、A【解析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因，，，选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存，故该选项错误；选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；故选：A.10、A【解析】根据归纳推理是由特殊到一般，推导结论可得结果.【详解】对于A，由，求出，，，…，推断：数列的前项和，是由特殊推导出一般性的结论，且，故A正确；B和C属于演绎推理，故不正确；对于D，属于归纳推理，但时，结论不正确，故D不正确.故选：A.11、B【解析】由空间向量内容知，构成基底的三个向量不共面，对选项逐一分析【详解】对于A：，因此A不满足题意；对于B：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此B正确；对于C：，故C不满足题意；对于D：显然有，选项D不满足题意.故选：B12、A【解析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，易知平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、9或10【解析】等差数列通项公式的使用.【详解】数列是等差数列，且，得，得，则有，又因为，公差，所以或10时，取得最大值故答案为：9或1014、【解析】先计算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的横坐标为，代入椭圆C：求出.【详解】椭圆C：,所以.因为M在椭圆上,.因为M在第一象限,故.为等腰三角形,则,所以,由余弦定理可得.过M作MA⊥x轴于A,则所以,即M的横坐标为.因为M为椭圆C：上一点且在第一象限，所以，解得：所以M的坐标为.故答案为：15、【解析】设切点为，根据题意，列出点满足的关系式即．则点的轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程求点的轨迹方程【详解】设动圆和定圆内切于点，动点到定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即，点的轨迹是以，为两焦点，长轴长为10的椭圆，，点的轨迹方程为，故答案：16、3【解析】由题设知等比数列公比，根据已知条件及等比数列通项公式列方程求公比即可.【详解】由题设，等比数列公比，且，所以，可得或（舍），故公比为3.故答案为：3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）答案见解析【解析】（1）联立方程组求得交点的坐标，结合直线与直线垂直，求得直线的斜率为，利用直线的点斜式，即可求解；（2）先求得点到直线的距离为，由圆的的垂径定理列出方程求得圆的半径，即可求解；（3）若选①：设直线l的的斜率为，得到，结合题意列出方程，求得的值，即可求解；若选②，设所求圆的圆心为，半径为，得到，利用圆的垂径定理列出方程求得的值，即可求解.【小问1详解】解：由直线和的交点为P，联立方程组，解得，即，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线方程为，即.【小问2详解】解：因为点到直线的距离为，设所求圆的半径为，由圆的的垂径定理得，弦长，解得，所以所求圆的方程为.【小问3详解】解：若选①：直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，设直线l的的斜率为，可得直线的方程为，即，则直线与坐标轴的交点分别为，由，解得或，所以所求直线的方程为或.若选②，设所求圆的圆心为，半径为，因为圆与x轴相切，可得，又由圆心到直线的距离为，利用圆的垂径定理可得，即，解得，即圆心坐标为或，所以所求圆的方程为或.18、（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.【解析】（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案；（2）（i）由已知，可能取值分别为1，，求解概率然后求期望推出关于的关系式；（ii）由，计算出，再由，构造函数，利用导数判断函数的最值可得答案..【详解】（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，所以前2次检验中有一阳性有一阴性样本第三次为阳性样本，或者前3次均为阴性样本，则.（2）（i），所以，可能取值分别为1，，，，因为得，因为，所以，.（ii）因为，由（i）知，所以，设，，所以在单调递增，所以由于，所以，即，得证.【（4）（5）选做】19、（1）；（2）.【解析】（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据直线与椭圆的位置关系求出点的坐标，结合平面向量垂直的性质进行求解即可.【详解】（1）由已知得，，而，解得，椭圆的方程为；（2）设直线方程为代入得，化简得由，得，，设，则，，则设，则，则，所以在轴存在使.，，所以在.20、（1）6，4，2；（2）；（3）答案见解析.【解析】（1）先求出抽样比，然后每次按比例抽取即可求出；（2）先求出抽出两人的基本事件，再求出两人都是高二学生包含的基本事件，即可求出概率；（3）可求出平均值进行判断；也可画出茎叶图观察判断.【详解】解：（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.（2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y），则抽出两人的基本事件为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个基本事件，其中高二学生都在同一组包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个基本事件.记抽出两人都是高二学生为事件，则，所以高二学生都在同一组的概率是.（3）法一：（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，因为20.5<23.5，所以宣传节约粮食活动的效果很好.法二：（茎叶图）画出茎叶图因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好.21、（1）25,75（2）①5,15，直方图见解析，B类②123，133.8，131.1【解析】（1）先计算抽样比为，进而可得各层抽取人数（2）①类、类工人人数之比为，按此比例确定两类工人需抽取的人数，再算出和即可．画出频率分布直方图，从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小②取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数.【详解】（1）由已知可得：抽