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文档简介
上海市上海理工大附中2023-2024学年高二数学第一学期期末统考试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(nào).如图所示的三棱锥为一鳖臑,且平面,平面,若,,,则()A. B.C. D.2.双曲线的左右焦点分别是,,直线与双曲线在第一象限的交点为,在轴上的投影恰好是,则双曲线的离心率是()A. B.C. D.3.已知点P在抛物线上,点Q在圆上,则的最小值为()A. B.C. D.4.过两点、的直线的倾斜角为,则的值为()A.或 B.C. D.5.在四面体中,设,若F为BC的中点,P为EF的中点,则=()A. B.C. D.6.设是定义在R上的函数,其导函数为,满足,若,则()A. B.C. D.a,b的大小无法判断7.已知,则()A. B.1C. D.8.已知为原点,点,以为直径的圆的方程为()A. B.C. D.9.中国历法推测遵循以测为辅,以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中,从冬至到夏至的十三个节气依次为:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至.已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺,夏至的晷影长是1.48尺,按照上述规律,那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为()A.尺 B.尺C.尺 D.尺10.已知等比数列的前项和为,首项为,公比为,则()A. B.C. D.11.上海世博会期间,某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示,那么在13时~14时,14时~15时,…,20时~21时八个时段中,入园人数最多的时段是()A.13时~14时 B.16时~17时C.18时~19时 D.19时~20时12.直线与直线,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.以下数据为某校参加数学竞赛的名同学的成绩:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.则这人成绩的第百分位数可以是______14.千年一遇对称日,万事圆满在今朝,年月日又是一个难得的“世界完全对称日”(公历纪年日期中数字左右完全对称的日期).数学上把这样的对称自然数叫回文数,两位数的回文数共有个(),其中末位是奇数的又叫做回文奇数,则在内的回文奇数的个数为___15.抛物线C:的焦点F,其准线过(-3,3),过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A,B两点,则p=___________;弦AB的长为___________.16.不等式是的解集为______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在三棱柱中,平面ABC,,,,点D,E分别在棱和棱上,且,,M为棱的中点(1)求证:;(2)求直线AB与平面所成角的正弦值18.(12分)在一次重大军事联合演习中,以点为中心的海里以内海域被设为警戒区域,任何船只不得经过该区域.已知点正北方向海里处有一个雷达观测站,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东,且与点相距海里的位置,经过小时又测得该船已行驶到位于点北偏东,且与点相距海里的位置(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)该船能否不改变方向继续直线航行?请说明理由19.(12分)已知点、分别是椭圆C:)的左、右焦点,点P在椭圆C上,当∠PF1F2=时,面积达到最大,且最大值为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l:与椭圆C交于A、B两点,求面积的最大值.20.(12分)已知函数(1)若在上单调递减,求实数a的取值范围(2)若是方程的两个不相等的实数根,证明:21.(12分)已知点,点B为直线上的动点,过B作直线的垂线,线段AB的中垂线与交于点P(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若过点的直线l与曲线C交于M,N两点,求面积的最小值.(O为坐标原点)22.(10分)在四棱锥中,底面为直角梯形,,,平面底面,为的中点,是棱上的点,,,.(1)求证:平面平面;(2)若,求直线与所成角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据平面,平面求解.【详解】因为平面,平面,所以,又,,,所以,所以,故选:A2、D【解析】根据题意的到,,代入到双曲线方程,解得,即,则,即,即,求解方程即可得到结果.【详解】设原点为,∵直线与双曲线在第一象限的交点在轴上的投影恰好是,∴,且,∴,将代入到双曲线方程,可得,解得,即,则,即,即,解得(舍负),故.故选:D.3、C【解析】先计算抛物线上的点P到圆心距离的最小值,再减去半径即可.【详解】设,由圆心,得,∴时,,∴故选:C.4、D【解析】利用斜率公式可得出关于实数的等式与不等式,由此可解得实数的值.详解】由斜率公式可得,即,解得.故选:D.5、A【解析】作出图示,根据空间向量的加法运算法则,即可得答案.【详解】如图示:连接OF,因为P为EF中点,,F为BC的中点,则,故选:A6、A【解析】首先构造函数,再利用导数判断函数的单调性,即可判断选项.【详解】设,,所以函数在单调递增,即,所以,那么,即.故选:A7、B【解析】先根据共轭复数的定义可得,再根据复数的运算法则即可求出【详解】因为,所以故选:B8、A【解析】求圆的圆心和半径,根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为,半径,∴圆方程为﹒故选:A﹒9、B【解析】根据等差数列定义求得公差,再求解立夏的晷影长在数列中所对应的项即可【详解】设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列的前13项,则所以公差为,则立夏的晷影长应为(尺)故选:B10、D【解析】根据求解即可.【详解】因为等比数列,,所以.故选:D11、B【解析】要找入园人数最多的,只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可【详解】结合函数的图象可知,在13时~14时,14时~15时,…,20时~21时八个时段中,图象变化最快的为16到17点之间故选:B.【点睛】本题考查折线统计图的实际应用,属于基础题.12、A【解析】根据直线与直线的垂直,列方程,求出,再判断充分性和必要性即可.【详解】解:若,则,解得或,即或,所以”是“充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查直线一般式中直线与直线垂直的系数关系,考查充分性和必要性的判断,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】利用百分位数的求法直接求解即可.【详解】解:将所给数据按照从小到大的顺序排列:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.数据量,∵是整数,∴故答案为:.14、【解析】根据分类加法计数原理,结合题中定义、组合的定义进行求解即可.【详解】两位数的回文奇数有,共个,三位数的回文奇数有,四位数的回文奇数有,所以在内的回文奇数的个数为,故答案为:15、①.6;②.48.【解析】先通过准线求出p,写出抛物线方程和直线方程,联立得出,进而求出弦AB的长.【详解】由知准线方程为,又准线过(-3,3),可得,;焦点坐标为,故直线方程为,和抛物线方程联立,,得,故,又.故答案为:6;48.16、【解析】由可得,结合分式不等式的解法即可求解.【详解】由可得,整理可得:,则,解可得:.所以不等式是的解集为:.故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)【解析】(1)由线面垂直、等腰三角形的性质易得、,再根据线面垂直的判定及性质证明结论;(2)构建空间直角坐标系,确定相关点坐标,进而求的方向向量、面的法向量,应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】在三棱柱中,平面,则平面,由平面,则,,则,又为的中点,则,又,则平面,由平面,因此,.【小问2详解】以为原点,以,,为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,可得:,,,,,,.∴,,,,设为面的法向量,则,令得,设与平面所成角为,则,∴直线与平面所成角的正弦值为.18、(1)海里/小时;(2)该船要改变航行方向,理由见解析.【解析】(1)设一个单位为海里,建立以为坐标原点,正东、正北方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系,计算出,即可求得该船的行驶速度;(2)求出直线的方程,计算出点到直线的距离,可得出结论.【小问1详解】解:设一个单位为海里,建立以为坐标原点,正东、正北方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系,则坐标平面中,,且,,则、、,,所以,所以、两地的距离为海里,所以该船行驶的速度为海里/小时.【小问2详解】解:直线的斜率为,所以直线的方程为,即,所以点到直线的距离为,所以直线会与以为圆心,以个单位长为半径的圆相交,因此该船要改变航行方向,否则会进入警戒区域19、(1)(2)3【解析】(1)根据焦点三角形的性质可求出,从而可得标准方程,(2)联立直线方程和椭圆方程,消元后利用公式表示三角形面积,从而可求面积的最大值.小问1详解】△PF1F2面积达到最大时为椭圆的上顶点或下顶点,而此时∠PF1F2=,故面积最大时为等边三角形,故,因面积的最大值为,故,故,故椭圆的标准方程为:.【小问2详解】设,则由可得,此时恒成立.而,到的距离为,故的面积,令,设,则,故在上为增函数,故即的最大值为3.20、(1);(2)详见解析【解析】(1)首先求函数的导数,结合函数的导数与函数单调性的关系,参变分离后,转化为求函数的最值,即可求得实数的取值范围;(2)将方程的实数根代入方程,再变形得到,利用分析法,转化为证明,通过换元,构造函数,转化为利用导数证明,恒成立.【小问1详解】,,在上单调递减,在上恒成立,即,即在,设,,,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,所以函数的最大值是,所以;【小问2详解】若是方程两个不相等的实数根,即又2个不同实数根,且,,得,即,所以,不妨设,则,要证明,只需证明,即证明,即证明,令,,令函数,所以,所以函数在上单调递减,当时,,所以,,所以,即,即得【点睛】本题考查利用导数的单调性求参数的取值范围,以及证明不等式,属于难题,导数中的双变量问题,往往采用分析法,转化为函数与不等式的关系,通过构造函数,结合函数的导数,即可证明.21、(1)(2)【解析】(1)由已知可得,根据抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,即可得到轨迹方程;(2)设直线方程为,,,,,联立直线与抛物线方程,消元、列出韦达定理,则,代入韦达定理,即可求出面积最小值;【小问1详解】解:由已知可得,,即点到定点的距离等于到直线的距离,故点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,所以点的轨迹方程为【小问2详解】解:当直线的倾斜角为时,与曲线只有一个交点,不符合题意;当直线的倾斜角不为时,设直线方程为,,,,,由,可得,,所以,,,,所以当且仅当时取等号,即面积的最小值为;22、(1)证明见解析;(2);【解析】(1)证明,利用面面垂直的性质可得出平
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