2023年湖南省市中考数学试卷六套及答案

2023

年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题

4

分，共

40

分）1．下列四个实数中，最小的数是（ ）A．﹣5 B．0 C． D．2．2023

年

4

月

12

日

21

时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第

122254

次实验中成功实现了

403

秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据

122254

用科学记数法表示为（ ）A．12.2254×104C．1.22254×1053．下列计算正确的是（）B．1.22254×104D．0.122254×106A．a2•a3＝a5C．（ab3）2＝a2b9B．a6÷a2＝a3D．5a﹣2a＝34．剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C． D．5．在平面直角坐标系中，点

P（2，﹣3）关于

x轴对称的点

P′的坐标是（A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3））6．如图，平移直线

AB至

CD，直线

AB，CD被直线

EF所截，∠1＝60°，则∠2

的度数为（）A．30° B．60° C．100° D．120°某县“三独”比赛独唱项目中，5

名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）A．众数是

9.6 B．中位数是

9.5C．平均数是

9.48．列说法错误的是（ ）D．方差是

0.3A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B．一元二次方程

x+x+2 3＝0

有两个相等的实数根C．任意多边形的外角和等于

360°D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心9．已知压力

F（N）、压强

p（Pa）与受力面积

S（m）之2 间有如下关系式：F＝pS．当

F为定值时，如图中大致表示压强

p与受力面积

S之间函数关系的是（ ）A．B．C．D．10．如图，反比例函数

y＝

（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线

AB相交于

A、B两点．已知点

A的坐标为（1，3），点

C为

x轴上任意一点．如果

S△ABC＝9，那么点

C的坐标为（ ）A．（﹣3，0）B．（5，0）C．（﹣3，0）或（5，0）D．（3，0）或（﹣5，0）二、填空题（每小题

4

分，共

24

分）11．要使代数式 有意义，则

x的取值范围是

．12．分解因式：2x2﹣4x+2＝

．13．已知关于

x的一元二次方程

x2+mx﹣2＝0

的一个根为﹣1，则

m的值为

，另一个根为

．14．定义新运算：（a，b）•（c，d）＝ac+bd，其中

a，b，c，d为实数．例如：（1，2）•（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）•（3，﹣1）＝3，那么

x＝

．15．如图，点

P是正方形

ABCD的对角线

AC上的一点，PE⊥AD于点

E，PE＝3．则点

P到直线

AB的距离为

．16．在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点

A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点

O顺时针旋转

60°，同时边长扩大为△AOB边长的

2

倍，得到△AOB；第11 二次旋转将△AOB11

绕着原点

O顺时针旋转

60°，同时边长扩大为△AOB11边长的

2

倍，得到△AOB，22

…．依次类推，得到△A02

33OB02

33，则△A02

23OB02

33

的边长为

，点

A02

23

的坐标为

．三、解答题（本大题共

8

小题，共

86

分））﹣1﹣17．计算：|﹣2|+（ +（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．先化简（1+ ）÷ ，再从﹣1，0，1，2

中选择一个适当的数作为

a的值代入求值．如图，矩形

ABCD中，过对角线

BD的中点

O作

BD的垂线

EF，分别交

AD，BC于点

E，F．证明：△BOF≌△DOE；连接

BE、DF，证明：四边形

EBFD是菱形．20．为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高

CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的

A点用测角仪测得碑顶

D的仰角为

30°，在

B点处测得碑顶

D的仰角为

60°，已知

AB＝35m，测角仪的高度是

1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高

CD．（

≈1.732，结果保留一位小数）21．近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：所抽取的学生人数为

；补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；该校共有学生

3000

人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．如图，AB是⊙O的直径，点

P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点

A，点

C为⊙O上的一点．连接

PC、AC、OC，且

PC＝PA．求证：PC为⊙O的切线；延长

PC与

AB的延长线交于点

D，求证：PD•OC＝PA•OD；若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积．某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客

45

人的

A种客车若干辆，则有

30

人没有座位；若租用可坐乘客

60

人的

B种客车，则可少租

6

辆，且恰好坐满．求原计划租用

A种客车多少辆？这次研学去了多少人？若该校计划租用

A、B两种客车共

25

辆，要求

B种客车不超过

7

辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？在（2）的条件下，若

A种客车租金为每辆

220

元，B种客车租金每辆

300

元，应该怎样租车才最合算？如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线

y＝ax+bx﹣2 8

与

x轴交于

A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与

y轴交于点

C．求抛物线的函数表达式及顶点坐标；点

P为第三象限内抛物线上一点，作直线

AC，连接

PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点

P的坐标；设直线

l：y＝kx+k﹣1 交抛物线于点

M、N，求证：无论

k为何值，平行于

x轴的直线

l2：y＝﹣ 上总存在一点

E，使得∠MEN为直角．1．A．2．C．3．A．4．C．5．D．6．B．7．A．8．B．9．D．10．D．11．x≥9．12．2（x﹣1）2．13．﹣1，2．14．1．15．3．16．22023，（22022，22022）．17．原式＝2+3﹣3+1+1＝4．•18．原式＝＝ •＝ ，当

a＝1

或

2

时，分式无意义，故当

a＝﹣1

时，原式＝﹣

，当

a＝0

时，原式＝﹣

．19．（1）证明：∵四边形

ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵点

O是

BD的中点，∴DO＝BO，又∵∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE（ASA）；（2）证明：由（1）已证△BOF≌△DOE，∴BF＝DE，∵四边形

ABCD是矩形，∴AD∥BC，即

DE∥BF，∴四边形

EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形

EBFD是菱形．20．解：由题意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，∵∠DNE是△DMN的外角，∴∠MND＝∠DNE﹣∠DMN＝30°，∴∠DMN＝∠MDN＝30°，∴DN＝MN＝35m，在

Rt△DNE中，DE＝DN•sin60°＝35×＝ （m），∴DC＝DE+CE＝ +1.5≈ +1.5≈31.8（m）．答：烈士纪念碑的通高

CD约为

31.8m．21．（1）所抽取的学生人数为：90÷45%＝200．故答案为：200；（2）样本中“中度近视”的人数为：200×15%＝30（人），“高度近视”的人数为：200﹣90﹣70﹣30＝10（人），补全条形统计图如下：扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：360°× ＝126°；（3）3000× ＝1050（人），答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约

1050

人．22．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，∴PA⊥OA，即：∠PAO＝90°，∵点

C在⊙O上，∴OC＝OA，在△POC和△POA中， ，∴△POC≌△POA（SSS），∴∠PCO＝∠PAO＝90°，即：PC⊥OC，又

OC为⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线．证明：由（1）可知：OC⊥PD，∴∠DCO＝∠DAP＝90°，又∠ODC＝∠PDA，∴△ODC∽△PDA，∴ ，即：PD•OC＝PA•OD．解：连接

BC，过点

C作

CE⊥OB于点

E，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝60°，又

OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∵CE⊥OB，∴OE＝BE，设

OE＝a，显然

a≠0，则

OA＝OB＝OC＝2a，在

Rt△OCE中，OE＝a，OC＝2a，由勾股定理得：，，∵OD＝8，∴DE＝OD﹣OE＝8﹣a，在

Rt△CDE中， ，DE＝8﹣a，由勾股定理得：在

Rt△DOC中，OC＝2a，OD＝8，由勾股定理得：CD＝OD﹣OC＝222 82﹣（2a）2，，整理得：a2﹣2a＝0，∵a≠0，∴a＝2，∴OC＝2a＝4， ，∴ ，又∵ ，∴．23．（1）设原计划租用

A种客车

x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），解得：x＝26，∴45x+30＝45×26+30＝1200．答：原计划租用

A种客车

26

辆，这次研学去了

1200

人；（2）设租用

B种客车

y辆，则租用

A种客车（25﹣y）辆，根据题意得： ，解得：5≤y≤7，又∵y为正整数，∴y可以为

5，6，7，∴该学校共有

3

种租车方案，方案

1：租用

5

辆

B种客车，20

辆

A种客车；方案

2：租用

6

辆

B种客车，19

辆

A种客车；方案

3：租用

7

辆

B种客车，18

辆

A种客车；（3）选择方案

1

的总租金为

300×5+220×20＝5900（元）；选择方案

2

的总租金为

300×6+220×19＝5980（元）；选择方案

3

的总租金为

300×7+220×18＝6060（元）．∵5900＜5980＜6060，∴租用

5

辆

B种客车，20

辆

A种客车最合算．，24．（1）解：∵抛物线

y＝ax2+bx﹣8

与

x轴交于

A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴解得： ，∴抛物线的函数表达式为

y＝x2+2x﹣8，∵y＝x+2

2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣9）；（2）解：∵抛物线

y＝x+2

2x﹣8

与

y轴交于点

C，∴C（0，﹣8），设直线

AC的解析式为

y＝mx+n，则 ，解得： ，∴直线

AC的解析式为

y＝﹣2x﹣8，设

P（t，t2+2t﹣8），过点

P作

PF∥y轴，交

AC于点

F，如图，则

F（t，﹣2t﹣8），∴PF＝﹣2t﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝﹣t2﹣4t，△PAC △PAF △PCF∴S

＝S

+S

＝

PF•（t+4）+

PF•（﹣t）＝2PF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，∵﹣2＜0，∴当

t＝﹣2

时，S△PAC的最大值为

8，此时点

P（﹣2，﹣8）；1（3）证明：∵直线

l：y＝kx+k﹣ 交抛物线于点

M、N，∴x2+2x﹣8＝kx+k﹣ ，整理得：x2+（2﹣k）x+

﹣k＝0，∴x+x＝k﹣2，xx＝

﹣k，M N M

N∵y＝kx+k﹣MM

，yN＝kxN+k﹣ ，∴yM﹣yN＝k（xM﹣xN），2 2M N M N2∴MN＝（x﹣x）

+（y﹣y）

＝（1+k2M N2）（x﹣x）

＝（1+k22M N M

N）[（x+x）

﹣4xx]＝（1+k2）[（k﹣2）2﹣4（

﹣k）]＝（1+k2）2，∵设

MN的中点为

O′，∴O′（，

k2﹣ ），过点

O′作

O′E⊥直线

l2：y＝﹣，垂足为

E，如图，∴E（ ，﹣ ），∴O′E＝

k﹣2 ﹣（﹣ ）＝

（1+k），2∴O′E＝

MN，∴以

MN为直径的⊙O′一定经过点

E，∴∠MEN＝90°，∴在直线

l：y＝2 ﹣ 上总存在一点

E，使得∠MEN为直角．2023

年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本题共

10

个小题，每小题

4分，共

40

分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4

分）四个实数﹣

，0，2， 中，最大的数是（ ）A．﹣ B．0 C．2 D．2．（4

分）下列计算正确的是（ ）A．x2•x3＝x6

B．（x3）2＝x5

C．（3x）2＝6x2

D．x3÷x＝x23．（4

分）如图所示正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．4．（4

分）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（）A．B．C． D．5．（4

分）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用

1580

元购进

A，B

两种劳动工具共

145

件，A，12

元．设购买

A，B两种劳动工具的件数分别为

x，y（ ）A． B．C． D．6．（4

分）乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：测量时间第

1天第

2天第

3天第

4天第

5天第

6天第

7天收缩压（毫米汞柱）151148140139140136140舒张压（毫米汞柱）90928888908088对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（A．收缩压的中位数为

139 B．舒张压的众数为

88C．收缩压的平均数为

142 D．舒张压的方差为）7．（4

分）如图，▱ABCD

的对角线

AC，BD

交于点

O（）A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC8．（4

分）如图，在平面直角坐标系

xOy

中，有三点

A（0，1），B（4，1），C（5，6）（）A． B．9．（4

分）下列因式分解正确的是（A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b）C．D．）B．a2+ab+a＝a（a+b）D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2）10．（4

分）关于一次函数

y＝x+1，下列说法正确的是（A．图象经过第一、三、四象限B．图象与

y

轴交于点（0，1）C．函数值

y

随自变量

x

的增大而减小D．当

x＞﹣1时，y＜0二、填空题（本题共

8

个小题，每小题

4

分，共

32

分．请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）11．（4

分）据报道，2023

年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159

万辆，将

1590000

用科学记数法表示为

．12．（4

分）计算： ＝

．13．（4

分）从

1～10

这

10

个整数中随机抽取

1

个数，抽到

3

的倍数的概率是

．14．（4

分）分式方程 的解是

．15．（4

分）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数

y＝2x

的图象向上平移

1

个单位得到

y＝2x+1

的图象；将二次函数

y＝x2+1

的图象向左平移

2

个单位得到

y＝（x+2）2+1

的图象，若将反比例函数

y

＝ 的图象向下平移

3

个单位，

则得到的图象对应的函数表达式是

．16．（4

分）如图，正六边形

ABCDEF

中，∠FAB＝

°．17．（4

分）如图，在正方形

ABCD

中，AB＝4，连接

DE，将△DAE

绕点

D按逆时针方向旋转

90°得到△DCF，则

EF

的长为

．18．（4

分）如图，在▱ABCD

中，AB＝6，以

A

为圆心，AD

的长为半径画弧交

AB

于点

E，分别以

D，E

为圆心

DE

的长为半径画弧，两弧交于点

F，交

DE

于点

M，过点

M

作

MN∥AB

交

BC于点

N．则MN

的长为

．三、解答题（本题共

8

个小题，共

78

分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8

分）计算：| ﹣1|﹣（﹣ ）2﹣12×（﹣

）．20．（8

分）如图，AB∥CD，直线

MN

与

AB，F，CD

上有一点

G

且

GE＝GF，∠1＝122°21．（8

分）先化简，再求值：（

﹣

）÷

，其中

x＝22．（10

分）我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022

年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查；B：满意；C：一般，根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：等级人数A72B108C48Dm请你根据图表中的信息，解答下列问题：本次被调查的学生人数是多少？求图表中

m，n

的值及扇形统计图中

A

等级对应的圆心角度数；若该校共有学生

1200

人，估计满意度为

A，B

等级的学生共有多少人？23．（10

分）如图，线段

AB

与⊙O

相切于点

B，AO

交⊙O

于点

M，连接

BC，∠ABC＝120° 的中点为

M，连接

AD求∠ACB

的度数；四边形

ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是；若

AC＝6，求 的长．24．（10

分）某企业准备对

A，B

两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资

A

项目一年后的收益

yA（万元）与投入资金

x（万元）的函数表达式为：yA＝

x，投资B

项目一年后的收益

yB（万元）与投入资金

x（万元）的函数表达式为：yB＝﹣

x2+2x．若将

10

万元资金投入

A

项目，一年后获得的收益是多少？若对

A，B两个项目投入相同的资金

m（m＞0）万元，则

m

的值是多少？（3）2023

年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计

32

万元，全部投入到

A，当

A，B两个项目分别投入多少万元时25．（12

分）如图，在

Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点

D

在边

AC上，将线段

DA绕点

D按顺时针方向旋转

90°得到

DA′，作

A′F⊥AB

于点

F，与线段

AC

交于点

G，GB．求证：△ADE≌△A′DG；求证：AF•GB＝AG•FC；若

AC＝8，tanA＝

，当

A′G平分四边形

DCBE

的面积时26．（12

分）在平面直角坐标系

xOy

中，直线

l：y＝a（x+2）（a＞0）与

x

轴交于点

A2

交于

B，C

两点（B

在

C的左边）．求

A

点的坐标；如图

1，若

B

点关于

x

轴的对称点为

B′点，当以点

A，C

为顶点的三角形是直角三角形时，求实数

a

的值；定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如（﹣2，1），（2，0）等均为格点．如图

2，直线

l

与抛物线

E

所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界），求

a

的取值范围．1．C2．D3．D4．B5．A6．A7．C8．C9．A10．B11．1.59×106．12．10．13． ．14．x＝﹣2．15．y＝

﹣3．﹣1﹣5+416．120．17．2 ．18．4．19．原式＝＝ ．20．解：∵AB∥CD，∴∠MFD＝∠1＝122°，∠MFD＝∠AEF，∵GE＝GF，∴∠GFE＝∠GEF＝180°﹣∠MFD＝180°﹣122°＝58°，∴∠2＝180°﹣58°﹣58°＝64°．21．（ ﹣ ）÷＝＝ ．当

x＝ ﹣8

时 ．22．（1）根据统计表可知：C

的人数是

48

人，所以本次被调查的学生人数是

48÷20%＝240

人；（2）m＝240﹣72﹣108﹣48＝12，108÷240＝45%；扇形统计图中

A

等级对应的圆心角度数＝＝108°；（3）∵该校共有学生

1200

人，∴估计满意度为

A，B

等级的学生共有．23．（1）如图，连接

OB，∵线段

AB

与⊙O

相切于点

B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠ABC＝120°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，∵OB＝OC，∴∠ACB＝∠OBC＝30°；（2）四边形

ABCD

是菱形，理由如下；连接

BM，DM，∵ 的中点为

M，∴∠DCM＝∠BCM＝30°，DM＝BM，∵∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠CAB＝30°＝∠ACB＝∠DCM，∴AB＝BC，AB∥CD，∵MC为⊙O

的直径，∴∠CDM＝∠CBM＝90°，在

Rt△CDM

和

Rt△CBM

中，，∴Rt△CDM≌Rt△CBM（HL），∴CD＝CB，∴CD＝AB，又

AB∥CD，∴四边形

ABCD

是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形

ABCD

是菱形；（3）如图，连接

OD，∵四边形

ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝30°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝120°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝30°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠ODC＝120°，∴OA＝2OD＝2OC，∵AC＝OA+OC＝5，∴OC＝2，∴ 的长＝ ＝

π．24．（1）当

x＝10

时，yA＝ （万元），答：将

10

万元资金投入

A

项目，一年后获得的收益是

4

万元；由题意得：当

x＝m时，yA＝yB，∴∴m1＝5，m2＝0（舍去），∴m＝7；设投入

B

项目的资金是

t

万元，投入

A

项目的资金（32﹣t），由题意得，W＝ ＝﹣ ，∴当

t＝4时，W

最大＝16，32﹣t＝28，∴投入

A

项目的资金是

28

万元，投入

B

项目的资金

4

万元时．最大值是

16

万元．25．（1）证明：∵∠A+∠AGA'＝90°，∠A'+∠AGA'＝90°，∴∠A＝∠A'，∵AD＝A'D，∠ADE＝∠A'DG＝90°，∴△ADE≌△A′DG（ASA）；（2）证明：∵∠AFG＝∠ACB＝90°，∠FAG＝∠CAB，∴△AFG∽△ACB，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∵∠FAC＝∠GAB，∴△FAC∽△GAB，∴ ＝ ，∴AF•GB＝AG•FC；（3）解：∵tanA＝ ＝ ＝

，AC＝7，∴BC＝4，∴S△ACB＝16，设

DE＝DG＝x，则

AD＝A'D＝2x x，∴A'E＝A'D﹣DE＝2x﹣x＝x，∴S△ADE＝S△A′DG＝x2，∵△A'FE∽△A'DG，∴ ＝ ，∴S△A'FE：S△A'DG＝5：5，∴S

四边形

DGFE＝

S△A'DG＝x6，∵S△ACB＝S△ADE+S

四边形

DCBE，A′G

平分四边形

DCBE

的面积，∴S△ACB＝S△ADE+2S

四边形

DGFE，∴16＝x2+

x2，x4＝∴x1＝，x8＝﹣（舍），∴AD＝ ．26．（1）令

y＝a（x+2）＝0，得

x＝﹣8，A

点的坐标为（﹣2，0）；联立直线

l：y＝a（x+2）与抛物线

E：y＝ax2

得：，∴x2﹣x﹣2＝4，∴x＝﹣1或

x＝2，∴B（﹣3，a），4a），∵B

点关于

x

轴的对称点为

B′点，∴B'（﹣1，﹣a），∴AB'8＝（﹣2+1）6+（0+a）2＝a3+1，AC2＝（7+2）2+（3a﹣0）2＝16a5+16，B'C2＝（2+5）2+（4a+a）8＝25a2+9，若∠CAB'＝90°，则

AB'8+AC2＝B'C2，即

a6+1+16a2+16＝25a3+9，所以

a＝1，若∠AB'C＝90°，则

AB'3+B'C2＝AC2，即

a6+1+25a2+3＝16a2+16，所以

a＝ ，若∠ACB'＝90°，则

AC8+B'C2＝AB'2，即

16a2+16+25a2+9＝a7+1，此方程无解．∴a＝1

或

a＝ ．如图，直线

l

与抛物线

E所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在

y

轴和直线

x＝1上，∵D（0，2a），a），3a），∴OD＝EF＝2a，∵格点数恰好是

26

个，∴落在

y

轴和直线

x＝5

上的格点数应各为

13

个，∴落在

y

轴的格点应满足

13＜2a≤14，即 ＜a≤3，①若 ＜a＜7 ＜yE＜7，所以线段

EF上的格点应该为（1，（3，19），∴19＜3a≤20∴ ＜a≤∴ ＜a≤②若

a＝4，yE＝7，yF＝21，所以线段

EF上的格点正好

13

个，综上， ＜a≤ ．2023

年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题1．（4

分）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进

30

吨粮食记为“+30”，则“﹣30”表示（ ）A．运出

30

吨粮食 B．亏损

30

吨粮食C．卖掉

30

吨粮食 D．吃掉

30

吨粮食2．（4

分）企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美．下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）A． B． C．3．（4

分）下列多边形中，内角和等于

360°的是（D．）A．B．）C． D．4．（4

分）关于

x的一元一次方程

2x+m＝5

的解为

x＝1，则

m的值为（A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣75．（4

分）下列各式计算结果正确的是（ ）A．3x+2x＝5x2 B． C．（2x）2＝2x2 D．6．（4

分）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（）A．B．C． D．7．（4

分）某市

2020

年人均可支收入为

2.36

万元，2022

年达到

2.7

万元，若

2020

年至

2022

年间每年人均可支配收入的增长率都为

x，则下面所列方程正确的是（ ）A．2.7（1+x）2＝2.36C．2.7（1﹣x）2＝2.36B．2.36（1+x）2＝2.7D．2.36（1﹣x）2＝2.78．（4

分）今年

2

月，某班准备从《在希望的田野上》、《我和我的祖国》、《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）A． B． C． D．19．（4

分）已知点M（2，a）在反比例函数 的图象上，其中

a，k为常数，且

k＞0，则点

M一定在（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限）10．（4

分）如图，在

Rt△ABC中，∠C＝90°，以

B为圆心，任意长为半径画弧，分别交

AB，BC于点

M，N，再分别以

M，N为圆心，大于 的定长为半径画弧，两弧交于点

P，作射线

BP交

AC于点

D，作DE⊥AB，垂足为

E，则下列结论不正确的是（ ）A．BC＝BEB．CD＝DEC．BD＝ADD．BD一定经过△ABC的内心二、填空题11．（4

分）﹣0.5，3，﹣2

三个数中最小的数为

．12．（4

分）2a2

与

4ab的公因式为

．13．（4

分）已知

x为正整数，写出一个使 在实数范围内没有意义的

x值是

．14．（4

分）甲、乙两队学生参加学校拉拉队选拔，两队队员的平均身高均为

1.72m，甲队队员的身高的方差为

1.2，乙队队员身高的方差为

5.6．若要求拉拉队身高比较整齐，应选择

队较好．15．（4

分）如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80，则∠D＝

度．16．（4

分）若关于

x的分式方程 （m为常数）有增根，则增根是

．17．（4

分）已知扇形的半径为

6，面积为

6π，则扇形圆心角的度数为

度．18．（4

分）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为

10cm，水的最深处到水面

AB的距离为

4cm，则水面

AB的宽度为

cm．三、解答题19．（8

分）解关于

x的不等式组： ．20．（8

分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中

x＝2．21．（8

分）如图，已知四边形

ABCD是平行四边形，其对角线相交于点

O，OA＝3，BD＝8，AB＝5．△AOB是直角三角形吗？请说明理由；求证：四边形

ABCD是菱形．22．（10

分）今年

3

月

27

日是第

28

个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防溺水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有

18360

名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了

n名学生的成绩

x（成绩均为整数，满分为

100

分）分成四个组：1

组（60≤x＜70）、2

组（70≤x＜80）、3

组（80≤x＜90）、4

组（90≤x≤100），并绘制如图所示频数分布图．n＝

；所抽取的

n名学生成绩的中位数在第

组；若成绩在第

4

组才为优秀，则所抽取的

n名学生中成绩为优秀的频率为

；试估计

18360

名参赛学生中，成绩大于或等于

70

分的人数．23．（10

分）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高

2.9

米（如图

1

所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为

29

岁．如图

2，以线段

AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上

D处为陈树湘雕像拍照，相机支架

CD高

0.9

米，在相机

C处观测雕像顶端

A的仰角为

45°，然后将相机支架移到

MN处拍照，在相机

M处观测雕像顶端

A的仰角为

30°，求

D、N两点间的距离（结果精确到

0.1

米，参考数据：

≈1.732）．24．（10

分）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：时间

t（单位：分钟）12345…总水量

y（单位：毫升）712172227…探究：根据上表中的数据，请判断 和

y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量

y与时间

t的函数关系？并求出

y关于

t的表达式；应用：①请你估算小明在第

20

分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？②一个人一天大约饮用

1500

毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按

30

天计）的漏水量可供一人饮用多少天．25．（12

分）如图，以

AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长

BC到点

D．使得∠BAC＝∠BDA，点

E在DA的延长线上，点

M在线段

AC上，CE交

BM于

N，CE交

AB于

G．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若 ，BD＝5，AC＞CD，求

BC的长；（3）若

DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．26．（12

分）如图

1，抛物线

y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点

F（0，5），顶点坐标为（2，9），点

P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于

H，且．（1）求抛物线的表达式；（2）如图

1，直线

OP： 交

BF于点

G，求 的最大值；（3）如图

2，四边形

OBMF为正方形，PA交

y轴于点

E，BC交

FM的延长线于

C，且

BC⊥BE，PH＝FC，求点

P的横坐标．1．A．2．C．3．B．4．A．5．D．6．D．7．B．8．B．9．A．10．C．11．﹣2．12．2a．13．1（答案也可以是

2）．14．甲．15．100．16．x＝4．17．60．18．16．19．解不等式

2x﹣2＞0

得，x＞1，解不等式

3（x﹣1）﹣7＜﹣2x得，x＜2，所以不等式组的解集为

1＜x＜2．20．（1﹣ ）÷＝ •＝ •＝x+1，当

x＝2

时，原式＝2+1＝3．21．（1）解：△AOB是直角三角形，理由如下：∵四边形

ABCD是平行四边形，BD＝8，∴OB＝OD＝

BD＝4，∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，∴OA+OB＝AB，222 ∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°；（2）证明：由（1）可知，∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∴平行四边形

ABCD是菱形．22．（1）600；3；（2）0.25；（3）18360× ＝15606（名），23．由题意得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9

米，AB＝2.9

米，CM＝DN，∴AH＝AB﹣BH＝2.9﹣0.9＝2（米），在

Rt△AHC中，∠ACH＝45°，∴CH＝ ＝2（米），在

Rt△AHM中，∠AMH＝30°，∴HM＝ ＝ ＝2 （米），∴CM＝HM﹣HC＝2 ﹣2≈1.5（米），∴DN＝CM＝1.5

米，∴D、N两点间的距离约为

1.5

米．24．（1）根据上表中的数据，y＝kt+b（k，b为常数）能正确反映总水量

y与时间

t的函数关系，∵当

t＝1

时，y＝7，当

t＝2

时，y＝12，∴ ，∴ ，∴y＝5t+2；（2）①当

t＝20

时，y＝100+2＝102，即估算小明在第

20

分钟测量时量筒的总水量是

102

毫升；②当

t＝24×60＝1440

分钟时，y＝5×1440+2＝7202（毫升），当

t＝0

时，y＝2，∴ ＝144（天），答：估算这个水龙头一个月（按

30

天计）的漏水量可供一人饮用

144

天．25．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝∠BDA，∴∠BDA+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴ED是⊙O的切线；，（2）解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DCA＝90°，∴△ACB∽△DCA，∴∴ ，解得BC＝2或BC＝3，当BC＝2时，CD＝BD﹣BC＝3，当

BC＝3

时，CD＝BD﹣BC＝2，∵AC＞CD，即 ＞CD，∴BC＝3；（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠DCA＝90°，∵∠BAC＝∠BDA，∴△ABC∽△DAC，∴ ，∴AC•AD＝CD•AB，∵DE•AM＝AC•AD，∴DE．AM＝CD•AB，∴ ，∵∠BAM+∠CAD＝∠CDE+∠CAD＝90°，∴∠BAM＝∠CDE，∴△AMB∽△DCE，∴∠E＝∠ABM，∵∠EGA＝∠BGN，∴∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，∴∠BNG＝90°，∴BM⊥CE．26．解：（1）∵抛物线

y＝ax+bx+c（a，b，c为2 常数）经过点

F（0，5），顶点坐标为（2，9），∴，解得，∴抛物线的表达式为

y＝﹣x2+4x+5；（2）过点

G作

GT⊥x轴于点

T，如图所示，在

y＝﹣x2+4x+5

中，令

y＝0

得

0＝﹣x2+4x+5，解得

x＝5

或

x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（5，0），∵F（0，5），∴BO＝FO＝5，设直线

BF的解析式为：y＝kx+5，∴y＝5k+5，解得

k＝﹣1，∴直线

BF的解析式为

y＝﹣x+5，由

G在直线

BF上，设

G（m，﹣m+5），∵G在直线

OP上，直线

OP为 ，∴﹣m+5＝ m，∴，∴，1 1）由

P（x，y 在抛物线 y＝﹣x21+4x+5

上，知

P（x，﹣1+4x+5），∴，∵S△BPG＝S△BPO﹣S△BOG，∴＝＝﹣1＝﹣1＝ ﹣1，∵ ＝＝，∴＝ ﹣1＝﹣1＝1﹣1＝﹣（x﹣）2+

，∵ ， ，∴当（3）设

MF交

PH于

T，如图：时，取最大值，最大值为

；∵OBFM为正方形，F（0，5），∴FM＝BM＝OF＝BO＝5，∠MBO＝90°，FC∥OB，∵PH⊥x，∠MBO＝90°，FC∥OB，∴MTBH为矩形，∴TH＝MB＝FM＝5，∵PH＝FC，∴PT＝MC，∵BC⊥BE，∴∠MBC+∠MBE＝90°，∵∠MBO＝90°，∴∠OBE+∠MBE＝90°，∴∠OBE＝∠MBC，∴∠CMB＝∠EOB＝90°，∴△EOB∽△CMB，∴ ，∵OB＝MB，∴EO＝MC，∵PH＝FC，∴PT＝MC，∴EO＝MC＝PT，设

EO＝MC＝PT＝a，∴PH＝PT+TH＝5+a，E（0，a），，∴直线

AP的解析式为

y＝ax+a，∵A（﹣1，0），设直线

AP的解析式为

y＝kx+b，则 ，∴∵PH＝a+5，P在直线

AP上，∴a+5＝ax+a，，y1＝ +5﹣5x+1

5）＝0，∴ ，即

P点横坐标为 ，∴x1＝

，y1＝a+5，∴a＝∴ +5＝﹣ +4x1+5，∴ ﹣4 +5＝0，∴（x+1

1）（解得

x＝1 1

或

x＝1 或

x1＝ ，∵x≥1 ，∴x＝1 ，∴点

P的横坐标为 ．2023

年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题1．（3

分）的相反数是（）A．B．﹣C．2023D．﹣20232．（3

分）如图是由

5

个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．3．（3

分）下列运算正确的是（）A．（x+2）2＝x2+4B．a2•a4＝a8C．（2x3）2＝4x6D．2x2+3x2＝5x44．（3

分）下列说法正确的是（）扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式有一种游戏的中奖概率是

，则做

5

次这样的游戏一定会有一次中奖甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是

S

甲

2＝0.2，S

乙

2＝0.03，则乙比甲稳定5．（3

分）如图，已知直线

AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）A．70° B．50° C．40° D．140°6．（3

分）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为

6210

文．如果每株椽的运费是

3

文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问

6210

文能买多少株椽？设

6210

文购买椽的数量为

x

株，则符合题意的方程是（

）A．3（x﹣1）＝ B．3（x﹣1）＝6210C．3（x﹣1）＝D．＝3x7．（3

分）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC

的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC

的边长为

3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）A．π B．3π C．2π D．2π﹣8．（3

分）如图，矩形

OABC的顶点

A，C

分别在

y

轴、x

轴的正半轴上，点

D

在

AB

上，且

AD＝

AB，反比例函数

y＝

（k＞0）的图象经过点

D

及矩形

OABC的对称中心

M，连接

OD，OM，DM．若△ODM

的面积为

3，则

k

的值为（ ）A．2B．3C．4D．5二、填空题9．（3

分）“仙境张家界，峰迷全世界”，据统计，2023

年“五一”节假日期间，张家界市各大景区共接待游客约

864000

人次．将数据

864000

用科学记数法表示为

．10．（3

分）因式分解：x2y+2xy+y＝

．11．（3

分）

已知关于

x

的一元二次方程

x2

﹣

2x﹣

a＝0

有两个不相等的实数根，则

a

的取值范围是

．12．（3

分）2023年

4月

24日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔

8名选手参加总决赛，他们的决赛成绩分别是

95，92，93，89，94，90，96，88．则这

8

名选手决赛成绩的中位数是

．13．（3

分）如图，AO

为∠BAC

的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形

ABOC

绕点

A

逆时针方向旋转后，得到四边形

AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，则四边形

ABOC

旋转的角度是

．14．（3

分）如图，在平面直角坐标系中，四边形

ABOC

是正方形，点

A

的坐标为（1，1）， 是以点B

为圆心，BA

为半径的圆弧；

是以点

O为圆心，OA1

为半径的圆弧；

是以点

C

为圆心，CA2

为半径的圆弧；

是以点

A

为圆心，AA3

为半径的圆弧，继续以点

B、O、C、A

为圆心，按上述作法得到的曲线

AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，则点

A2023

的坐标是

．三、解答题15．（5

分）计算：|﹣ |﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（

）﹣1．16．（5

分）先化简（x﹣1﹣ ）÷，然后从﹣1，1，2

这三个数中选一个合适的数代入求值．17．（6

分）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用

45

座客车若干辆，但有

15

人没有座位；若租用同样数量的

60

座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4560租金（元/辆）200300参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆

45

座客车？若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？18．（6

分）如图，已知点

A，D，C，B

在同一条直线上，且

AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．求证：AE∥BF；若

DF＝FC

时，求证：四边形

DECF是菱形．19．（8

分）2022

年

4

月

21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022

年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间

x

分为如下四组（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：本次抽取的学生人数为

人，扇形统计图中

m

的值为

；补全条形统计图；已知该校九年级有

600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在

80

分钟（含80

分钟）以上的学生有多少人？（4）若

D

组中有

3

名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．20．（6

分）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面

225m

的

P

点，测得奇楼顶端

A

的俯角为

15°，再将无人机沿水平方向飞行

200m

到达点

Q，测得奇楼底端

B

的俯角为

45°，求奇楼

AB的高度．（结果精确到

1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27），a+3的正方形面积分别记为

S1，S2，S3，S4．21．（6

分）阅读下面材料：将边长分别为

a，a+ ，a+2则

S2﹣S1＝（a+ ）2﹣a2＝[（a+ ）+a]•[（a+ ）﹣a]＝（2a+ ）•＝b+2a例如：当

a＝1，b＝3

时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当

a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝

，S4﹣S3＝

；（2）当

a＝1，b＝3

时，把边长为

a+n 的正方形面积记作

Sn+1，其中

n

是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出

Sn+1﹣Sn

等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当

a＝1，b＝3

时，令

t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且

T＝t1+t2+t3+…+t50，求

T

的值．22．（6

分）如图，⊙O

是△ABC的外接圆，AD

是⊙O

的直径，F

是

AD延长线上一点，连接

CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．求证：CF

是⊙O

的切线；若

AD＝10，cosB＝

，求

FD的长．23．（10

分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数

y＝ax2+bx+c

的图象与

x

轴交于点

A（﹣2，0）和点

B（6，0）两点，与

y

轴交于点

C（0，6）．点

D

为线段

BC

上的一动点．求二次函数的表达式；如图

1，求△AOD周长的最小值；如图

2，过动点

D

作

DP∥AC交抛物线第一象限部分于点

P，连接

PA，PB，记△PAD

与△PBD的面积和为

S，当

S

取得最大值时，求点

P

的坐标，并求出此时

S

的最大值．1．B．2．D．3．C．4．D．5．A．6．C．7．B．8．C．9．8.64×105．10．y（x+1）2．11．a＞﹣1．12．92.5．13．75°．14．（﹣2023，1）．15．|