考点17递推数列与数列求和

考点17递推数列与数列求和1.【2021浙江】已知数列an满足a1=1,an+1=an1+aA.32<S100<3 B.3<S【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查数列的递推关系式及其应用，数列求和与放缩的技巧等知识，属于难题．显然可知，S100>32，利用倒数法得到1an+1=1an+1【解答】解：因为a1=1，an+1=an1+an(n∈N∗)，所以an>0，S100>32．

由an+1=an1+an⇒1an+1=2.【2021新高考Ⅰ卷】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为

；如果对折【答案】5240(3−【解析】【分析】本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题．

依题意，对折4次共可以得到5种不同规格图形；对折k次共有k+1种规格，且每个面积为2402k，则Sk【解答】

解：易知有20dm×34dm,10dm×32dm,5dm×3dm,52dm×6dm，54dm×12dm，共5种规格；

由题可知，对折k次共有k+1种规格，且每个面积为2402k，故Sk=240(k+1)2k，

则k=1nSk=240k=1nk+123.【2020全国Ⅰ卷】数列an满足an+2+(−1)nan=3n−1，前16【答案】7

【解析】【分析】本题主要考查累加法求通项公式，等差数列的求和公式以及数列的递推关系，属于较难题．对n取偶数，再结合条件可求得前16项中所有奇数项的和，对n取奇数时，利用累加法求得an+2的值，用其表示出前16【解答】解：因为an+2+(−1)nan=3n−1，

当n=2，6，10a10+a因为前16项和为540，

所以a1所以a1当n为奇数时，an+2所以a3−a1=2累加得an+2−a1=2+8+14+⋯3n−1=所以a3=2+a1，a5=10+a1，a7=24+因为a1+a3+a5+a4.【2023全国甲卷】已知数列an中，a2=1，设Sn为an前(1)求an的通项公式(2)求数列{an+12【答案】解：(1)因为2S当n⩾2时，①−②得2a所以(n−1)a当n⩾3时，所以an(n−1)=a2当n=1时，2a1=当n=2时，a2=1满足故an(2)因为an所以Tn所以12③−④可得12所以Tn【解析】本题考查了递推公式求数列通项，错位相减求和，属于中档题．

(1)利用递推公式可以判断an(n−1)为常数列，即可求出(2)利用错位相减法求出前n项和．5.【2023新高考Ⅱ卷】已知an为等差数列，bn=an−6,n为奇数2an,n为偶数，记S(1)求an(2)证明：当n>5时，T【答案】解：(1)设数列an的公差为d由题意知：a1+a2+∴a(2)由(1)知an=2n+3，∴当n为偶数时，Tn当n为奇数时，Tn∴当n为偶数且n>5时，即Tn当n为奇数且n>5时，即Tn∴当n>5时，【解析】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式等．(1)由已知S4=32，T3=16，根据等差数列的前n项和公式展开，即可得出等差数列an的首项a(2)由(1)知an=2n+3，可得Sn=n(n+4)，数列bn的通项公式bn=2n−3,n为奇数4n+6,n为偶数，进而b6.【2022新高考Ⅰ卷】记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，Snan是公差为13的等差数列．

(1)求【答案】解：(1)依题意得，Snan=S1a1+13(n−1)=n+23⇒Sn=n+23an①;

∴Sn+1=n+33a【解析】本题考查由数列的递推关系求通项，等差数列的通项公式，利用裂项相消法求和，属于中档题．

(1)根据等差数列的通项公式得Snan=S1a1+17.【2021全国乙卷】记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知2Sn+1b【答案】解：(1)证明：当n=1时，b1=S1，

由2b1+1b1=2，解得b1=32，

当n≥2时，bnbn−1=Sn，代入2Sn+1bn=2，

消去Sn，可得2bn−1bn+1bn=2，所以bn−b【解析】(1)由题意当n=1时，b1=S1，代入已知等式可得b1的值，当n≥2时，将bnbn−1=Sn，代入2Sn+1bn=2，可得bn−bn−18.【2021新高考Ⅰ卷】已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.

(1)记【答案】解：(1)因为a1=1，an+1=an+1,n为奇数an+2,n为偶数，

所以a2=a1+1=2，a3=a2+2=4，a4=a3+1=5，

所以b1=a2=2，b2=a4=5，

bn−bn−1=a2n−a2n−2=a2n−a2n−1+a2n−1−【解析】本题考查据数列的递推公式求数列的项、等差数列的判定或证明、等差数列的通项公式、分组(并项)法求和，属于中档题．

(1)由数列{an}的通项公式可求得a2，a4，从而可得求得b1，b2，由bn−bn−1=39.【2020全国Ⅲ卷】设数列{an}满足a1=3，(1)计算a2，a3，猜想a(2)求数列2nan的前n项和【答案】解：(1)a2=3a猜想an证明：∵a∴∴又因为a1∴a所以an=2n+