一元三次方程的根的探究

关于一元三次方程的根的探究因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1.对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z,代入并化简，得：z-p/27z+q=0.再令z=w,代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x.三次方程应用广泛。用根号解155.htm"一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．盛金公式一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。盛金判别法①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。盛金定理当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。1：根的个数的探究函数y=与x轴交点的个数既是方程的根的个数。记……（1）结论1:参数a的正负号决定了函数y=图像的大致走向。（此结论可以由数学分析中的区间套定理证明）例如：的大致图像为注解：从上单调递增（其中m为某一常数）.从上单调递增（其中n为某一常数）.的大致图像为:注解：(1)从上单调递减（其中m为某一常数）.(2)从上单调递减（其中n为某一常数）.

结论2：函数与x轴至少有一个交点，至多有3个交点。那么什么时候有1个交点呢？（以a0时来讨论）记方程的根为且，则有：(1)若则函数y=与x轴有且只有一个交点大致图像如下：(2):若则函数与x轴有且只有二个交点，大致图像如下：（3）：若则函数y=与x轴有且只有三个交点，大致图像如下：2：重根的探究引理若直线y=kx+m与三次函数y=（a）的图像相切，则三次方程kx+m=必有重根。定理1一元三次方程有三重根的条件是证明：由题设，有，即所以有：定理2一元三次方程有二重根（），则=。证明：由于一元三次方程有二重根，则是的根，即有……（a）又是的二重根，故是的根，即有……（b）由（a）,（b）有以上定理的应用例1：与三次曲线相切，求a的值。解：与三次曲线相切，则方程……(4)有重根。有定理1知，当且，即时（4）有三重根；有定理2知，时，（4）的二重根为，将其带入（4），得a=3：一元三次方程求根公式一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如的标准型一元三次方程形式化为的特殊型。卡尔丹公式的推导第一步：为了方便，约去a得到令，代入方程，中的项系数是-k，中的项系数是k，所以相加后抵消，得到，其中，