一元高次不等式和分式不等式的解法课件

一元高次不等式和分式不等式的解法(第二课时)一元高次不等式和分式不等式的解法掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解法．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题．【课标要求】

【核心扫描】一元二次不等式的应用．(重点)一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)与二次函数、二次方程、实际应用题联系密切，而且应用广泛．注意实际问题中变量有意义的范围．

1．2．1．2．3．4．一、一元高次不等式的解法：只含有一个未知数，并且未知数的次数高于2次的不等式称为高次不等式。一元高次不等式用穿针引线法求解，其步骤是：(1)将不等式化为标准形式；将高次项的系数化为正数，不等式一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积．(2)求出各因式为0时的实数根，并在数轴上标出．(3)自最右端上方起，用曲线从右至左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(说明：奇过偶不过)．(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．

一元高次不等式和分式不等式的解法用数轴标根法解简单高次不等式的步骤：（1）整理。先将不等式化成标准形式，即一端为0，另一端为一次（或二次）因式的积的形式。注意各因式中x的系数一定为正数（2）标根。求出各因式的根，并在数轴上依次标出。（3）穿线。用一条曲线由右上方开始从右到左，从上到下依次穿过各根相应的点，注意偶次重根穿而不过，奇次重根照样穿过，即“奇穿偶不穿”。（4）写解集。在数轴上方的曲线所对应的区间是不等式大于0的解集；在数轴下方的曲线所对应的区间是不等式小于0的解集一元高次不等式和分式不等式的解法二、分式不等式的解法（转化为标准形）（1）转化为整式不等式求解：一元高次不等式和分式不等式的解法（2）转化为整式不等式组求解：一元高次不等式和分式不等式的解法三、例题讲解

解：例1

解不等式：+－+-73一元高次不等式和分式不等式的解法三、例题讲解

例2

解不等式：解：原不等式化为：即由于∴原不等式进一步转化为同解不等式∴原不等式的解集为：{x|-3<x<1}.+－+-31一元高次不等式和分式不等式的解法解：31-2∴原不等式的解集为：三、例题讲解

一元高次不等式和分式不等式的解法三、例题讲解

解：原不等式化为：即例4解不等式：···x34+－－+∴原不等式的解集为：一元高次不等式和分式不等式的解法[思路探索]将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组．【例2】

题型二

分式不等式的解法由二次函数图像与一元二次不等式的关系分析，可以得到常用的两个结论：(1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；不等式恒成立问题1．分离参数法——解不等式恒成立问题对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

3．题型一恒成立问题当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R?[思路探索]不等式的解集为R，也就是函数f(x)＝(a2－1)x2－(a－1)x－1的图像恒在x轴下方，注意二次项系数a2－1可能为0，也可能小于0，应分两种情况讨论加以解决．【例1】(2)审清题意，弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．例如，“已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对∀a∈[－3,1]，y＜0恒成立”中，变量是a，参数是x，该函数是关于a的函数．

不等式(a＋1)x2＋ax＋a＞m(x2＋x＋1)对任意x恒成立，试比较a与m的大小．解原不等式整理得(a－m＋1)x2＋(a－m)x＋a－m＞0对任意x恒成立．①当a－m＋1＝0时，原不等式化为－x－1＞0，即x＜－1，不恒成立．②当a－m＋1≠0时，