数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入》内容扩充数信学院2010级研究生学科教学（数学）谢苏理2010120029"实数"、"虚数"这两个词是由法国数学家笛卡尔在1637年率先提出来的。而用i表示虚数的单位是18世纪著名数学家欧拉的功绩。后来的人在这两个成果的基础上，把实数和虚数结合起来，记成a+bi形式，称为复数。在本专题中，我们将了解数系扩充的过程以及复数的在某些领域的应用，学习复数的一些基本知识，体会复数解题的数学思想．一、 开设意义数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．二、 内容与要求了解数系的扩充过程。理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．了解复数的代数表示法及其几何意义．能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．三、 复数的应用在复数集中出现了“虚数”一词，给人一种“虚无缥缈”的感觉，教材上则引用了莱布尼茨的话：“虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像是存在与不存在间的一种两栖动物。”其实，虚数一点也不虚，用处还非常大。我们先从一个古老的传说说起。（一） 一个有趣的故事从前有个叫巴达的年轻人在他祖父的遗嘱中发现了一张精致的纸片，上面记载了祖父的遗产的埋藏的地方：“乘船至xx岛，即可在该岛找到一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树，还有一间草房，那间草房是我们在岛上休息的地方。从草房走到橡树并记住走了多少步，到了橡树向右拐个直角再走这么多步，并在这里做个记号。然后回到草房，再朝松树走去，同时记住所走的步数，到了松树向左拐个直角再走这么多步，在这里也做个记号，在两个记号的正当中挖掘，就可找到埋藏的遗产。”这份遗嘱说得很清楚，于是巴达便与自己的三个兄弟一起来到这座小岛，找到了橡树和松树，但使他大失所望的是，由于长时间的风吹日晒雨淋，草房早已腐烂不见，连一点痕迹也看不出来了。巴达决定在小岛上探寻，他们挖了三天三夜，结果一无所获。地方实在太大了，一切的努力都是徒劳的。（二） 用复数知识帮帮巴达很遗憾，由于巴达他们不懂得复数的知识，没能找到遗产的正确位置，致使遗产仍被深埋地下。现在我们来帮他找找看，让这份遗产重见光明。在帮巴达找遗产之前，我们来补充一些复数的相关知识：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离。即如图示，OA-OB二AB一个复数乘土i的几何意义：一个非零复数乘虚数单位i的几何意义，就是将该复数所对应的向量逆时针旋转900。同理一个非零复数乘-i的几何意义是将该复数所对应的向量顺时针旋转900。现在我们一起来寻找故事中埋藏遗产的地点。我们以橡树和松树两个树干的接地点（分别用M,N表示）所在直线为实轴（x轴），以MN的中垂线为虚轴（y轴），在小岛上建立复平面。如果以两树接地点之间的距离的一半作为单位长度，那么橡树M位于实轴上的点-1处，松树N则在点+1处。在这个复平面中，设原来的草房的位置所对应的复数为z=a+bi（a,beR），对应的向量为oz。如图示下面进行复数运算。从草房Z走到橡树M,对应的向量是ZM，对应的复数是-1-a-bi.到了橡树M后向右拐个直角再走这么多步到达记号(设为M1)处，对应向量MM],对应的复数为：—ZMxi——(—1—a—bi)xi=—b+(a+1)i，则M】对应的复数是—1—b+(1+a)i从草房Z走到松树N,对应的向量是ZN，对应的复数是1-a-bi.到了松树N后向左拐个直角再走这么多步到达记号(设为ni)处，对应向量NN1，对应的复数为：—ZNx(—i)——(1—a—bi)x(—i)—b+(1—a)i，则N对应的复数是1+b+(1—a)i.1由于埋藏的遗产在两个记号的正当中，故只要求出复数-1-b+(1+a)i与1+b+(1—a)i之和的一半就可以了。事实上：{[—1—b+(1+a)i]+[1+b+(1—a)i]}一2—i从而可知，埋藏的遗产在这个复平面上的复数i所对应的点处。这说明，我们无须知道草房所在的位置，就可以找到埋藏的遗产。复数在实际生产生活中的应用建立了复数与复平面上的点和向量之间的一一对应关系后，复数就不仅在数学上吸引人，而且在实际生产生活中也是极其有用的。如复数可以表示力、位移、速度和电场强度等向量。复数的第一次精彩的科学应用是由斯泰因米茨实现的，他发现复数在涉及交流电的高效率计算中发挥了重要作用。19世纪以后，复数在流体力学、热力学等方面有着很多应用。20世纪以来，复变函数理论在被广泛应用于理论物理，弹性理论，天体力学等方面。今天，没有哪个电气工程师可以离开复数，搞空气动力学、流体力学也是这样。爱因斯坦的相对论中也用到了复数，即把空间三个维数看作实数，而把时间维数看作虚数。四、 内容补充(一)数与数系的扩充1.扩充历史简介数是我们生活中表示数量关系的尺度，从远古时期以绳打结，刻痕的记数方式到复数的产生，经历了漫长的历程。数与数系扩张的主要途径是解方程。远古时期以绳打结等记数方式，说明人们已经有了朴素的数的概念，这就是数的萌芽时期，随着社会的发展，由于经济生活的需要，使人类在长期生产实践中积累了大量的数学知识，逐渐形成了正整数的概念，并产生了数的运算。随着方程论的进展，数的概念得以逐渐的扩张。由解形如X+a=0（a>0）这种方程，将自然数扩张到了整数：由解ax-b=0（b不能被a整除）的方程将整数扩张到了分数，从而产生了有理数。又由解形如x2二a（a>o）的方程，得出x二土、払，从而定义出无理数（当然在几何作图方面也发现了无理数）。有理数和无理数合起来构成了实数系。在此之后的一个重大突破是由解形如x2+1=0的方程将实数系扩张到了复数系。在数系扩张的过程中，三个有意义的发现是负数、无理数和虚数。七世纪印度的婆罗摩得多给出了负数的运算法则。印度1000一1500年间最突出的数学家婆什伽罗全面讨论了负数，建立起了完移的负数概念。无理数最早是由希腊人发现的他们注意到了存在不可约通量，但却是由印度数学家先使用了无理数。无理数的诞生几经磨难，它不但出现在解方程中，同时也出现在几何问题中。有这样一个传说古希腊某地流行瘟疫，人们求助于太阳神，神说将他的正方形的供桌加大一倍，即可免去瘟疫。于是，人们马上将供桌的各边长加大了一倍。但瘟疫非但没有免去，反而更猖撅了。无奈，人们求教于柏拉图。柏拉图说：“你们搞错了，神要你们将供桌的面积增大一倍。”这样，当桌子面积S=2（单位）时，桌子边长x ，这便是一个无理数。我们知道，实数加上虚数就构成了复数系。然而虚数概念的建立，过程更为漫长。古代时期人们已经能解二次甚至更高次的方程，但对x2+1=0这种看起来很简单的方程，使当时许多数学家束手无策。一个数的平方可以为负吗？数学界感到困惑不解。经过长期的研究、探讨，一些数学家终于冲破了传统概念的束缚，引人了虚数单位，进而建立了复数系。1945年，卡当认真地讨论了虚数，给出了运算法则，并承认它是方程的根。1637年，笛卡尔在《几何学》中第一次给出了虚数的名称：“imaginaires”（虚的）。1777年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文《微分公式》中首先用i表示i-T。直到1801年高斯系统地用了这个符号后，才逐渐地通行于全世界。虚数的几何表示发现之前，总给人以虚无缥缈的感觉。数学家凡里上首先意识到在直线上找不到虚数的几何表示，而真正给出虚数合理解释的是未塞尔。他用+1表示正方向的单位,+£表示另一种单位，方向与前者垂直且有相同的原点，记=£。除了复数单位的符号不同之外，和现代复平面的表示法一致复数的几何解释帮助人们直观地理解它的真正意义——它可以看成一种平面向量。1806年，日内瓦的阿工给出了复数的长度，称之为模。至此，复数的概念基本上建立起来了。复数在数学和其他科学中日益起着不可估量的作用，19世纪中叶以后发展成了一个庞大的数学分支——复变函数论。2.数系扩充的方法数系扩充的方法主要有两种：一是添加新元素法，二是构造法：1）添加新元素法从小学到现在，随着学习的深入，我们遇到的数学知识的不断积累，随着问题难度的增加，我们经历了一次次数系的扩充，以解方程为例，请看下表方程在自然数范围在整数范围在有理数范围在实数范围在复数范围x+2二5x=3x+5二2无解x=—35x-1二0无解无解1x=—5x2一2=0无解无解无解x=±十'2X2+1=0无解无解无解无解x=±i为了使方程有解，我们在自然数集中添加“负数”，然后数系就扩充到了整数集；在整数集中添加了“分数”，数系就扩充到了有理数；在有理数集中添加了“无理数”，数系就扩充到了实数集；在实数集中添加了“虚数”，数系就扩充到了复数集。这就是数系扩充的一种方法——添加新元素法。2）构造法构造法是一种很科学的数系扩充的方法。由一个集合A扩充到另一个集合B,下面四个特点：i.AuB；（如NuQuRuC）A中不可能永远可行的运算在B中永远可行；（如在自然数集中减法不可能永远可行,但是在整数集中减法永远可行）B是A的最小扩充；（扩充的过程是一点一点扩充过来的，不存在跳跃的可能性）A中某些性质在B中会失去。（如在实数集中可以比较大小，但是在复数集中就不可以比较大小）（二）谈谈复数不能比较大小的原因在教材中有这样一句话：“两个实数可以比较大小，但是两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或者不相等。”对于这一点，在讲课的时候老师都会给学生说明复数集内是不定义大小的。可是学生却常常不能理解，为什么复数就不能定义大小呢？有学生提出这样的问题：因为(3+2i)—(1+2d)>0，所以(3+2d)>(1+2d).既然3+2i与1+2i都可以比较出大小，那么复数为什么就不能比较大小呢？当然，这里学生把实数不等式的性质a-b>0则a〉b错误的用到了复数范围内，但是，学生提出这样的疑问，如果教师不能给出一个合理的解释，是很难让学生信服的。有的教师解释成复数对应平面内的点，所以不能比较大小，这样不仅不能给学生一个正确的解答，还会给学生造成思维的混乱，不利于学生对数的认识。数集的结构和数系的扩充：人们通常在数集上建立两种结构：运算结构与序结构。比较大小就是研究序结构。大小作为一种关系，通常要求满足下面的两个条件：对于集合中的任意两个元a,b，下面三种关系必有一种成立且仅有一种成立：a〉b,a=b，a<b；如果a〉b,b〉c，则a〉c.为了使序结构与运算结构谐调，大小关系还要满足下面的两个条件：乘法的单调性：如果a〉b,c>0,则ac〉bc；加法的单调性：如果a〉b，则a+c〉b+c.在数系的扩充过程中，如果在新的数系中定义运算关系与序关系，要使得原数系中的数仍然保持原有的运算与大小关系。复数集是有序集首先，把实数集上的大小关系扩充到整个复数集上去，并且使之满足顺序律，这是毫无困难的，而且办法还不止一种.例如，字典排序法：对任意的两个复数a+bi与c+di，我们规定：若a<c，就算a+bi<c+di,若a=c，但b<d，就算a+bi<c+di.用语言叙述就是：两个复数当中实数部分大者，该复数就大;实数部分相等，而虚数部分的系数大者该复数就大.如此规定的复数之间的大小关系，就实数的情形来看，与原有的大小关系完全吻合，同时又一般地满足所强调的顺序律.复数集不是有序域(即不能在复数集上建立大小关系)但是，问题在于上述这种相当自然的大小关系与复数运算之间的联系已经出现不够和谐的现象.即已不可能维持所谓的单调性.这是很容易指出的.比如，按照这里的规定，对于i与0应有0<i.于是，如果关于乘法具有单调性的话，那么就有这与已经规定好的-1V0相矛盾.这就说明，上面规定的复数之间的相当自然的大小关系不能保持关于乘法的单调性.其实，我们可以一般地证明，复数集上的任何一种大小关系（当然是满足顺序律的大小关系）都必须放弃对单调性的要求.换句话说，在复数集上不存在满足以下四个条件的大小系：1）对任意两个复数与Q与0，下列三个关系有且只有一个成立：a<0,a=0,0<a2） 若a<0,0<Y,则a<y.3） 若a<0，丫为任意复数，则a+y<0+Y4） 若a<0,y>0，则ay<0y事实上，假如在复数集上能够规定一个小于关系“<”，它同时满足以上四个条件．我们考查0与i这两个复数.由