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文档简介

利用逐次逼近方法求解开普勒方程开普勒方程X=qsinx+a(0<g<1，a是常数)．是用来确定行星在其轨道上的位置的．任取一个数x。，作如下逐次迭代数列X1=qsinx0+a，X2=qsinx1+a…，xn+1=qsinxn+a，…证明这个数列的极限存在，且此极限恰好是开普勒方程的唯一解．解：我们熟知，数列{xn}有极限的充分必要条件是：对于任意给定的>0，存在正整数N，使得当m>n>N时，有|xm-xn|<这就是著名的关于判断数列极限存在性的柯西收敛准则．下面我们对于迭代数列|xn|应用柯西收敛准则，证明数列有极限．由x2-x1=q(sinx1一sinx0)=2gSincos，注意到|sinx|≤lxl及Icosxl≤1，有|x2一x1l≤qlxl—x0|=矾其中A=lx。一x。J是常数．同理，|x3一x2|≤q|x2一x1|≤q2

依次进行下去，可得|xn+1一xn|≤qn【?(n=1，2，…)因此，当优>卯时，

由于0<q<1，有

这样，对于任意给定的正数，总存在正整数N，使当’m>n>N时，|xm-xn|<

根据柯西收敛准则，数列{xn}的极限存在．以下证明此极限是开普勒方程的解，最后证明解的唯一性．若设，则在等式xn+l=qsinxn+a中令n∞，由sinx的连续性得

即确实是开普勒方程的解．不难证明，这个是开普勒方程的唯一解．事实上，若假设’是开普勒方程的另一个解，即’=qsin’+a则

但0<g<1，故上式当且仅当=’时才成立．．这就说明用此题中描述的逐次逼近法求解开普勒方程是合理的．思考题：?一般地，对于方程给定一个初值x。，代人右端可算得一个x1=(x。)，再将x1代入右端，又可得到x2=(x1)，…，如此继续下去，会得到一个数列{xk}，其中Xk+1=(xk)???k=0，1，2，…{Xk}称为迭代数列，(x)称为迭代函数．试证明：若(x)满足条件1。当x∈[a，b]时，?(x)∈[a，b]；2。存在正数L<1，使对任意．x∈[a，b]，|/(x)|≤L<1则x=(x)在[a，b]上有唯一的根，且对任意的初值x。∈[a，b]，迭代数列Xk+1=(xk)(k=0，1，2，…)收敛于．我们可以依据上述结论求方程的根．例如，求方程x3一x2—1=0在X=1．5附近的近似根(准确到1013)．令f(x)=x3一x2一1，由f(1.5)=0．125，f(1.4)=一0.216，再根据闭区间上连续函数的介值定理知，在[1.4，1.5]内有f(x)=0的一个根．将原方程化为x=，则迭代函数为(x)=．对x∈[1.4，1.5]，|/(x)||2x/3(x2+1)2/3|<1．取初值x。=1.5，则迭代数列，(k=0，1，2，…)必收敛．所得数列如下Xo=1.5，x1=1.481248，x2=1.4727057X3=1.468817

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