利用逐次逼近方法求解开普勒方程及其推广_第1页
利用逐次逼近方法求解开普勒方程及其推广_第2页
利用逐次逼近方法求解开普勒方程及其推广_第3页
利用逐次逼近方法求解开普勒方程及其推广_第4页
全文预览已结束

付费下载

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

利用逐次逼近方法求解开普勒方程开普勒方程X=qsinx+a(0<g<1，a是常数)．是用来确定行星在其轨道上的位置的．任取一个数x。，作如下逐次迭代数列X1=qsinx0+a，X2=qsinx1+a…，xn+1=qsinxn+a，…证明这个数列的极限存在，且此极限恰好是开普勒方程的唯一解．解：我们熟知，数列{xn}有极限的充分必要条件是：对于任意给定的>0，存在正整数N，使得当m>n>N时，有|xm-xn|<这就是著名的关于判断数列极限存在性的柯西收敛准则．下面我们对于迭代数列|xn|应用柯西收敛准则，证明数列有极限．由x2-x1=q(sinx1一sinx0)=2gSincos，注意到|sinx|≤lxl及Icosxl≤1，有|x2一x1l≤qlxl—x0|=矾其中A=lx。一x。J是常数．同理，|x3一x2|≤q|x2一x1|≤q2

依次进行下去，可得|xn+1一xn|≤qn【?(n=1，2，…)因此，当优>卯时，

由于0<q<1，有

这样，对于任意给定的正数，总存在正整数N，使当’m>n>N时，|xm-xn|<

根据柯西收敛准则，数列{xn}的极限存在．以下证明此极限是开普勒方程的解，最后证明解的唯一性．若设，则在等式xn+l=qsinxn+a中令n∞，由sinx的连续性得

即确实是开普勒方程的解．不难证明，这个是开普勒方程的唯一解．事实上，若假设’是开普勒方程的另一个解，即’=qsin’+a则

但0<g<1，故上式当且仅当=’时才成立．．这就说明用此题中描述的逐次逼近法求解开普勒方程是合理的．思考题：?一般地，对于方程给定一个初值x。，代人右端可算得一个x1=(x。)，再将x1代入右端，又可得到x2=(x1)，…，如此继续下去，会得到一个数列{xk}，其中Xk+1=(xk)???k=0，1，2，…{Xk}称为迭代数列，(x)称为迭代函数．试证明：若(x)满足条件1。当x∈[a，b]时，?(x)∈[a，b]；2。存在正数L<1，使对任意．x∈[a，b]，|/(x)|≤L<1则x=(x)在[a，b]上有唯一的根，且对任意的初值x。∈[a，b]，迭代数列Xk+1=(xk)(k=0，1，2，…)收敛于．我们可以依据上述结论求方程的根．例如，求方程x3一x2—1=0在X=1．5附近的近似根(准确到1013)．令f(x)=x3一x2一1，由f(1.5)=0．125，f(1.4)=一0.216，再根据闭区间上连续函数的介值定理知，在[1.4，1.5]内有f(x)=0的一个根．将原方程化为x=，则迭代函数为(x)=．对x∈[1.4，1.5]，|/(x)||2x/3(x2+1)2/3|<1．取初值x。=1.5，则迭代数列，(k=0，1，2，…)必收敛．所得数列如下Xo=1.5，x1=1.481248，x2=1.4727057X3=1.468817

人人文库> 全部分类> 应用文书 > 规章制度

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论