人教B版数学必修三讲义第2章2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集Word版含答案

2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集学习目标核心素养1.理解并掌握分层抽样，会用分层抽样从总体中抽取样本．(重点)2．了解三种抽样方法的联系和区别．(易混点)3．掌握收集数据的方法．(重点)4．利用分层抽样的方法解决实际问题．(难点)1.通过分层抽样的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．借助三种抽样方法的学习，提升数学运算的核心素养.1．分层抽样当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．思考：适合分层抽样的总体具备什么特征？[提示]总体由差异明显的几部分组成．2．数据收集的常用方式1．某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是()A．简单随机抽样法 B．抽签法C．随机数表法 D．分层抽样法D[从男生、女生各抽取eq\f(1,20)入样，符合分层抽样的特点．]2．某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某高一年级有18名女排运动员，要从中选出4人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是()A．①用简单随机抽样法，②用系统抽样法B．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法C．①用系统抽样法，②用分层抽样法D．①用分层抽样法，②用系统抽样法B[①因家庭收入不同其社会购买力也不同，宜用分层抽样的方法．②因总体个数较小，宜用简单随机抽样法．]3．下列问题符合调查问卷要求的是()A．你所购买的名牌产品，您认为该产品的知名度□很好□一般□很低B．你认为数学学习□较容易□较困难C．你们班有几位大个子同学？________D．你对我们厂生产的电视机□满意□不满意B[问卷调查的题目要避免一般性或不具体的问题，标准要明确，故A、C、D不符合．]4．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．160[男生人数为560×eq\f(280,560＋420)＝160.]分层抽样的概念【例1】(1)下列各项中属于分层抽样的特点的是()A．从总体中逐个抽取B．将总体分成几层，分层进行抽取C．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取D．将总体随意分成几部分，然后进行随机抽取(2)下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量[思路探究]依据三种抽样方法的特点依次进行判断．(1)B(2)B[(1)A属于简单随机抽样的特点，B属于分层抽样的特点，C属于系统抽样的特点，D不属于三种抽样方法，所以应选B.(2)A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．]1．使用分层抽样的前提分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．2．使用分层抽样应遵循的原则(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．1．某班有30名男生，20名女生，现调查平均身高，准备从总人数中抽取eq\f(1,10)做为调查对象，已知男女身高有明显不同，应如何抽取样本？[解]由分层抽样的概念可知本题应选用分层抽样，因为30×eq\f(1,10)＝3(名)，20×eq\f(1,10)＝2(名)，所以应采用抽签法分别抽出3名男生和2名女生．分层抽样的方案设计[探究问题]1．分层抽样的特点有哪些？[提示](1)分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的；(2)分成的各层互不交叉；(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即eq\f(n,N)，其中n为样本容量，N为总体容量．2．计算各层所抽取个体的个数时，若Ni·eq\f(n,N)的值不是整数怎么办？[提示]为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比eq\f(n,N)，若Ni·eq\f(n,N)的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体．3．分层抽样公平吗？[提示]分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·eq\f(Ni,N)，每个个体被抽到的可能性是eq\f(ni,Ni)＝eq\f(1,Ni)·n·eq\f(Ni,N)＝eq\f(n,N).【例2】一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？[思路探究]eq\x(观察特征，确定抽样方法)→eq\x(分层求比例，确定各层样本数)→eq\x(从各层中抽取样本)[解]因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层抽样．步骤如下：(1)分层．按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，则在不到35岁的职工中抽125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽95×eq\f(1,5)＝19(人)．(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本．(4)综合每层抽样，组成样本．1．(变条件)本例把50岁及50岁以上的人数改为96人，其他条件不变，问应该怎样抽取？[解]因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层抽样，步骤如下：(1)分层：按年龄将职工分成三层：不到35岁职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，则在不到35岁职工中抽125×eq\f(1,5)＝25(人)，在35岁至49岁职工中抽280×eq\f(1,5)＝56(人)，在50岁及50岁以上职工中先随机剔除1人，再在剩余职工中抽95×eq\f(1,5)＝19(人)．(3)在各层分别运用简单随机抽样法抽取样本．(4)综合每层抽样，组成样本．2．(变结论)本例条件不变，若要从中抽取200名职工作为样本，则各年龄段依次抽取多少人？[解]按eq\f(200,500)＝eq\f(2,5)的比例抽样，所以依次抽取125×eq\f(2,5)＝50人，280×eq\f(2,5)＝112人，95×eq\f(2,5)＝38人．1．在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N.2．分层后，各层的个体较多时，可采用系统抽样或简单随机抽样取出各层中的个体，一定要注意按比例抽取．当抽样比不是整数时，可在该层随机剔除部分个体．数据的收集【例3】请设计一个测量某单位职工身高的试验．[思路探究](1)做好试验前准备工作；(2)组织好测量；(3)整理数据．[解]试验前准备工作：①准备好试验器材，如：测量仪、记录数据的表格(附表)．②测量人员安排，为了使试验数据较准确，需多次测量求其平均值，比如安排三个小组测量．③组织好观测对象——某单位全体职工，可先分成几个小组(如3个小组)，每组安排一个组长负责具体组织协调．试验操作步骤如下：S1布置身高测量仪三架；S2安排负责仪器的人两个，一个测量，一个记录；S3组织职工按预先分成的小组排队依次测量，在一个机器前测量完后，换另一架机器，每人测量三次，将所测数据填入附表；S4整理数据，用求平均值的方法算出每位职工身高．附表：职工姓名测得数据身高的平均值仪器1仪器2仪器31．收集数据时的注意点：(1)必须清楚地知道要收集的数据是什么；(2)抽样的目的是为了了解总体的情况；(3)高质量的样本数据来自“搅拌均匀”的总体．2．收集数据的方式有：做试验、查阅资料、设计调查问卷等．2．请设计一份问卷(包括阅读时间，书的类型、来源和阅读课外书和学习的关系)调查你们班同学阅读课外书的情况．[解]调查问卷设计如下：姓名：________，所在班级：________.请回答下列问题：1．你一般在什么时间阅读课外书？()A．每天课间B．每天放学回家后C．周末或假期D．老师安排的阅读课上2．你喜欢读的课外书有()A．散文B．报告文学C．小说D．所学功课的辅导资料E．其他3．你的课外书的来源是()A．同学介绍的B．老师推荐的C．在书店中偶然发现的D．家长推荐的E．在宣传资料上看到的4．你认为课外阅读和学习的关系是()A．能促进学习B．与学习没多大关系C．妨碍学习抽样方法的综合应用【例4】选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个；(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个；(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个；(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个．[思路探究]应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况，灵活使用各种抽样方法解决问题．[解](1)总体容量较小，用抽签法．①将30个篮球编号，编号为00,01，…，29；②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签；③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样．①确定抽取个数．因为eq\f(30,10)＝3，所以甲厂生产的应抽取eq\f(21,3)＝7(个)，乙厂生产的应抽取eq\f(9,3)＝3(个)；②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法．①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002，…，300；②在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“9”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；③从数“9”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．(4)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样．①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段，其中每一段包含eq\f(300,30)＝10(个)个体；②在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码；③将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，即可组成所要求的样本．抽样方法的选取：1若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样；2若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样.当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样；3采用系统抽样时，当总体容量N能被样本容量n整除时，抽样间隔为k＝eq\f(N,n)；当总体容量不能被样本容量整除时，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝[eq\f(N,n)].3．下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；(2)某有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；(3)体育彩票000001～100000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖．[解]题号判断原因分析(1)抽签法总体容量较小，宜用抽签法(2)分层抽样由于各类人员对这一问题的看法可能差异较大，用分层抽样(3)系统抽样总体容量大，样本容量较大，等距抽取，用系统抽样1．本节课的重点是记住分层抽样的特点和步骤，难点是会用分层抽样从总体中抽取样本．2．本节课要牢记分层抽样中的两个比例关系：(1)eq\f(样本容量n,总体的个数N)＝eq\f(各层抽取的个体数,该层的个体数)；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．3．要掌握分层抽样的两类问题：(1)根据分层抽样的特征判断分层抽样．(2)根据分层抽样的步骤设计分层抽样，特别是当总体容量不能被样本容量整除时注意剔除个体．4．本节课的易错点有：(1)概念理解错误致错；(2)忽视每个个体被抽到的机会相等而致误．1．思考辨析(1)分层抽样实际上是按比例抽样．()(2)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样．()(3)调查问卷可以设计你想知道的任何问题．()[答案](1)√(2)×(3)×2．分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成