2023学年完整公开课版正弦和余弦12

锐角三角函数本章内容第4章

正弦和余弦本课内容本节内容4.1

正弦子目内容4.1.1正弦返回10m

15m8m（1）选哪个？判断陡？从梯子的倾斜程度谈起

15m动脑筋（2）铅直高度倾斜角梯子长度梯子在上升变陡过程中，倾斜角，的值发生了什么变化？铅直高度梯子长度探究铅直高度倾斜角梯子长度梯子在上升变陡过程中，倾斜角，的值发生了什么变化？铅直高度梯子长度铅直高度梯子长度梯子在上升变陡过程中，倾斜角，的值发生了什么变化？铅直高度梯子长度铅直高度梯子长度梯子在上升变陡过程中，倾斜角，的值发生了什么变化？铅直高度梯子长度铅直高度梯子长度梯子在上升变陡过程中，倾斜角，的值发生了什么变化？铅直高度梯子长度铅直高度梯子长度梯子在上升变陡过程中，倾斜角，的值发生了什么变化？铅直高度梯子长度铅直高度梯子长度

倾斜角越大（小）的比越大（小）铅直高度梯子长度aCB做一做梯子越陡（越缓）铅直高度梯子长度

▲结论1：直角三角形中，对于锐角a的每一个值，都有确定的值与它对应即这个比值随∠a

大小的变化而变化∠a的对边∠a的斜边aCB说一说

若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1

C1,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？aC1C2B2B1探究

AB1

C1

C2B2(2)

和有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?

AB1

C1

C2B2(2)

和有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?

AB1

C1

C2B2(2)

和有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?(2)

和有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?

AB1

C1

C2B2

AB1

C1

C2B2▲结论2：直角三角形中，锐角∠a的的度数确定时,无论直角三角形的大小怎样改变,这个角的的的比值是一个定值

.对边斜边说一说1、在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，30°角的对边与斜边的比值都等于（）.2、

在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，45°角的对边与斜边的比值都等于（）.

你能举例验证刚才的结论吗?做一做1:2=0.51:1=1铅直高度梯子长度

▲1：直角三角形中，对于锐角a的每一个值，都有确定的值与它对应，即这个比值随∠a

大小的变化而变化.∠a的对边∠a的斜边aCB▲2：直角三角形中，锐角a的度数确定时，无论直角三角形的大小怎样改变，的比值是唯一确定的值

.∠a的对边∠a的斜边结论定义

在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα，即

角的对边斜边

对于锐角α的每一个确定的值,sinα有唯一确定的值与它对应,所以sinα是α的函数.举例例1如图4-3，在直角三角形ABC中，∠C=90°，

BC=3，AB=5.（1）求∠A的正弦sinA；图4-3解:∠A的对边BC=3，斜边AB=5.于是（2）求∠B的正弦sinB．解:∠B的对边AC，根据勾股定理，得图4-3AC2=AB2-BC2

=52-32

=16.于是AC=4.因此练习1.如图4-4，在直角三角形ABC中，∠C=90°，

BC=5，AB=13.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值．答：答：图4-42.小刚说：对于任意锐角α，都有

0＜sinα＜1．你认为他说得对吗？为什么？

答：小刚说的对.∵

角α的对边是直角边，而直角边长小于斜边长，∴0＜

sinα＜

1.角α的对边斜边

在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？说一说

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.利用右图中的直角三角形来记30°，45°，60°的正弦值.举例例2分别求sin30°和sin60°的值．

解:在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°.

因此于是∠A的对边BC=AB.

于是因此根据勾股定理得AC2=AB2-BC2=AB2-又，∠B的对边是AC.

举例例3求

sin45°的值．解:如图4-6，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°.

于是∠B=45°.从而

AC=BC.根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.于是AB=BC.因此图4-61.sina

是在直角三角形中定义的,∠a是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sina是一个完整的符号,如：sina不是sin与a的乘积,而是一个整体,表示∠a的正弦.3.锐角三角函数的三种表示方式.如：sina、sin56°、sin∠DEF；注意∠DEF的正弦表示为:sin∠DEF.不能省去“∠”号.4.sina是线段的一个比值.注意比的顺序,且0﹤sina﹤1,无单位.5.sina

的大小只与∠a的大小有关,而与直角三角形的边长无关.小结与复习

角的对边斜边中考试题例1如图，在△ABC中，∠C=90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是()

A． B． C． D．A中考试题例