提公因式法公因式为单项式

提公因式法本课内容本节内容1.2下列每个式子含字母的因式有哪些？

xy，xz，xw.说一说xy的因式有x，y，…xz的因式有x，z，…xw的因式有x，w，…由此看出，xy，xz，xw有公共的因式x.

几个多项式的公共的因式称为它们的公因式.如何把多项式xy+xz+xw因式分解？

把乘法分配律从右到左地使用，便得出

xy+xz+xw=x(y+z+w).

像上面那样，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.例1把5x2-3xy+x因式分解

.举例分析

第3项的因式有哪些？

由于x=x·1，因此x是x的因式.

由此看出，x是这个多项式各项的公因式.解

5x2-3xy+x=x(5x-3y+1).注意例1中括号内的第3项为1.例2把-4x2+6x因式分解.举例分析

公因式的系数如何确定？

取各项系数的绝对值的最大公因数，4，6的最大公因数为2.

第1项的系数为负，最好把负号提出，使括号内的第1项的系数为正.

公因式里含字母吗？

公因式里含有字母x.

用公因式的系数-2去除原来多项式的各项系数，所得的商就是括号内的各项系数.

由此看出，-2x是这个多项式的各项的公因式.把-2x提出后，括号内各项的系数如何计算？解

-4x2+6x

注意同号两数相除得正数，异号两数相除得负数.因此把负号提出后，括号内的各项要变号.=-2x(2x-3)

例3把8x2y4-12xy2z因式分解.

举例分析

公因式的系数是多少？

是8与12的最大公因数4.

公因式中含有哪些字母？它们的指数取多少？

公因式含的字母是各项中相同的字母x，y，它们的指数应当取它们在各项中次数最低的.

由此看出，4xy2是公因式.把4xy2提出后，括号内的各项是什么样子？由于第1项可以写成

8x2y4=4xy2·2xy2，因此括号内的第1项为2xy2.由于第2项可以写成4xy2·(-3z)，因此括号内的第2项为-3z.解

8x2y4-12xy2z=4xy2·2xy2+4xy2·(-3z)=4xy2(2xy2-3z).1.说出下列多项式中各项的公因式：练习答：公因式是3y.（1）-12x2y+18xy-15y；答：公因式是πr2.2.在下列括号内填写适当的多项式：3x2-2x+1（1）3x3-2x2+x=x(

)（2）-30x3y2+48x2yz=-6x2y()5xy-8z3.把下列多项式因式分解：答案：y(3x-5y+1)（1）3xy-5y2+y；（2）-6m3n2-4m2n3+10m2n2.答案：-2m2n2(3m+2n-5)下列多项式中各项的公因式是什么？说一说x(x-2)-3(x-2)；x(x-2)-3(2-x)；(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2.答：公因式是x-2.答：公因式是x-2.答：公因式是a-b.例4把x(x-2)-3(x-2)因式分解.举例解

x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3)例5把x(x-2)-3(2-x)因式分解.举例解

x(x-2)-3(2-x)分析

第2项中的2-x可以写成-(x-2).

于是x-2是各项的公因式.=x(x-2)-3[-(x-2)]

=x(x-2)+3(x-2)=(x-2)(x+3).例6把(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2因式分解.举例解

(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2分析

第2项中的(b-a)2可以写成[-(a-b)]2=(a-b)2.

于是(a-b)2是各项的公因式.=(a+c)(a-b)2-(a-c)(a-b)2=(a-b)2[(a+c)-(a-c)]=(a-b)2(a+c-a+c)=2c(a-b)2例7把-12xy2(x+y)+18x2y(x+y)因式分解.

举例分析

公因式的系数是多少？

公因式中含哪些字母因式？它们的指数各是多少？系数是-6.含x，y，指数都是1.

公因式中含有什么式子？含有x+y.因此，-6xy(x+y)是各项的公因式.

解

-12xy2(x+y)+18x2y(x+y)=-6xy(x+y)(2y-3x).

从例7的分析，以及例2和例3的分析中，你能说出确定各项的公因式的步骤吗？动脑筋例2分析

公因式的系数如何确定？例3分析

公因式的系数是多少？例7分析

公因式的系数是多少？

从例5和例6的分析中，你能说出在找公因式中含有的式子时，要注意什么吗？例5分析第2项中的2-x可以写成-(x-2).

于是x-2是各项的公因式.例6分析第2项中的(b-a)2可以写成

[-(a-b)]2=(a-b)2.

于是(a-b)2是各项的公因式.1.在左、右两列多项式中，把相等的两个多项

式用线连起来：

练习y-x

(y-x)3(x-y)2

-(x-y)-(x-y)3

(y-x)22.把下列多项式因式分解：（1）y(x-y)+x(x-y)；（2）y(x-y)+x(y-x)；（3）a(x-y)2-b(y-x)2；（4）a(x