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用数学归纳法证明不等式数学归纳法及其应用举例(2)

1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的n的值，如n0＝1)(归纳奠基）

；

2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.数学归纳法:

关于正整数n的命题,我们可以采用下面方法来证明其正确性：

由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！用上假设，递推才真注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.二.用数学归纳法证明不等式问题例4、已知x>

1，且x

0，n

N*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即

(1+x)k>1+kx当n=k+1时，因为x>

1，所以1+x>0，于是左边=(1+x)k+1证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x

0，∴1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+(k+1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.数学归纳法证明不等式补充例题例1:用数学归纳法证明:证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:

则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.例2:证明不等式:证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2,不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都成立.例3:已知:求证:证:(1)当n=2时,故原不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即则当n=k+1时,注意到a,b>0,我们有:故即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.1.求证:证:(1)当n=1时,左边=,右边=,由于

故不等式成立.(2)假设n=k()时命题成立,即

则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.1.求证:练习3:已知求证:.证:(1)当n=2时,,

不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即则当

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