2023学年完整公开课版正弦和余弦1

正弦和余弦高桥镇中学朱国华2011年下学期正弦和余弦本节内容4.1正弦和余弦如图4-1，一艘轮船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向，轮船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65°的方向.试问:C处和灯塔A的距离AC约等于多少米(精确到10m)？探究图4-1由题意，△ABC是直角三角形，其中∠B=90°，∠A=65°(两直线平行，内错角相等)，∠A所对的边(简称为对边)BC=2000m.

如何求斜边AC的长度呢？图4-1？上述问题就是：知道直角三角形的一个为65°的锐角和这个锐角的对边长度，想求斜边长度.为了解决这个问题，可以去探究直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值有什么规律.ABC65°2000m？斜边65°角的对边每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，计算角的对边斜边=

=

.ABC65°2000m？斜边与同桌和邻近桌的同学交流，计算出的比值是否相等(精确到0.01)？65°角的对边小明、小亮画的直角三角形分别如图4-2的(1)和(2)，其中图4-2（1）（2）图4-2（1）（2）小明量出∠D的对边EF=3cm，斜边DF=3.3cm，算出：角的对边斜边小亮量出的对边斜边算出：角的对边斜边3cm3.3cm2cm2.2cm同学们，你们的结果是多少？你从以上事实发现了什么？图4-2（1）（2）3cm3.3cm2cm2.2cm在有一个锐角为65°的直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.91.你能证明这个结论吗？任取有一个锐角为65°的两个直角三角形，如图，由于∠E=∠E′=90°，∠D=∠D′，因此

△DEF∽△．

从而于是因此在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值为一个常数.由此得出小明和小亮计算出这个常数约等于0.91.现在你能解决轮船航行到C处时与灯塔A的距离约等于多少米的问题吗？

图4-1的直角三角形ABC中，BC=2000m，∠A=65°，因此∠A的对边BC与斜边AC的比值应当等于上述常数，即解得图4-1结论定义

在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα，即

角的对边斜边类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．注意：1、sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF3、sinA是线段之间的一个比值；sinA没有单位。提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？举例例1如图4-3，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5.（1）求∠A的正弦sinA；图4-3解:∠A的对边BC=3，斜边AB=5.于是（2）求∠B的正弦sinB．解:∠B的对边AC，根据勾股定理，得图4-3AC2=AB2-BC2

=52-32

=16.于是AC=4.因此练习1.如图4-4，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值．答：答：图4-42.小刚说：对于任意锐角α，都有

0＜sinα＜1．你认为他说得对吗？为什么？

答：小刚说的对.∵角α的对边是直角边，而直角边长小于斜边长，∴0＜

sinα＜

1.角α的对边斜边在直角三角形中，30°角45°角所对的直角边与斜边有什么关系？说一说在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.利用上图中的直角三角形来记30°，45°，60°的正弦值较容易.sin30º=sin45º=sin60º=.课堂小结：本节课学习了正弦的定义和表示方法，重点为找准角的对边和斜边，求出正弦值。课堂作业：P106