sinx的3次方的积分

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sinx的3次方的积分要计算sin^3(x)的积分，我们可以利用三角恒等式将其展开为较简单的形式，然后进行积分。

首先，我们可以利用复化角公式展开sin^3(x)的立方。

sin^3(x)=(sin(x))^3=(sin(x))(1-cos^2(x))=sin(x)-sin(x)cos^2(x)

接下来，我们可以将sin(x)表示为cos(x)的导数，这样我们可以将积分中的sin(x)替换为cos'(x)。

sin(x)=cos'(x)

将上式代入sin(x)-sin(x)cos^2(x)中得到：

sin^3(x)=cos'(x)-cos'(x)cos^2(x)

接下来，我们对上式进行积分。

∫(sin^3(x))dx=∫(cos'(x)-cos'(x)cos^2(x))dx

利用积分的线性性质，我们可以将上式分为两个积分。

∫(sin^3(x))dx=∫(cos'(x))dx-∫(cos'(x)cos^2(x))dx

第一个积分∫(cos'(x))dx等于cos(x)+C，其中C为常数。

接下来，我们来计算第二个积分∫(cos'(x)cos^2(x))dx。

我们可以利用部分积分法来计算这个积分。

设u=cos(x)，dv=cos^2(x)dx

则du=-sin(x)dx，v=∫(cos^2(x))dx=∫(1/2(1+cos(2x)))dx=1/2(x+1/2sin(2x))+C'

根据部分积分法的公式∫(udv)=uv-∫(vdu)，我们可以计算出∫(cos'(x)cos^2(x))dx。

∫(cos'(x)cos^2(x))dx=uv-∫(vdu)=cos(x)*(1/2(x+1/2sin(2x))+C')-∫(-sin(x)(1/2(x+1/2sin(2x)))dx

=1/2(cos(x)(x+1/2sin(2x))+C'+1/2∫(sin(x)(x+1/2sin(2x))dx)

现在我们得到了∫(sin^3(x))dx的表达式。

∫(sin^3(x))dx=cos(x)+1/2(cos(x)(x+1/2sin(2x))+C'+1/2∫(sin(x)(x+1/2sin(2x))dx)

=cos(x)+1/2(xcos(x)+1/4sin(2x)cos(x)+C'+1/2∫(sin(x)(x+1/2sin(2x))dx)

最后，我们还需要计算∫(sin(x)(x+1/2sin(2x))dx。

现在我们可以将原函数∫(sin^3(x))dx的表达式写作：

∫(sin^3(x))dx=cos(x)+1/2(xcos(x)+1/4sin(2x)cos

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