专题02充分必要条件与量词（解析版）

专题02充分必要条件与量词考点预测：1、全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为，，读作“对任意属于，有成立”.（2）存在量词短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为，，读作“存在中的元素，使成立”.2、全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：，，它的否定：，.全称量词命题的否定是存在量词命题.（2）存在量词命题的否定存在量词命题：，，它的否定：，.存在量词命题的否定是全称量词命题.【典型例题】例1．（2022·宁夏·银川高一阶段练习）设全集，集合，集合，其中．(1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）因为“”是“”的充分条件，故，故，解得故“”是“”的充分条件，a的取值范围为（2）①当时，即，解得，此时，不合题意；②当时，则，若，则⑴，解得，又因为，则，⑵，解得，与矛盾，故舍去；综上，若，则a的取值范围为．例2．（2022·湖北·麻城市博达高一阶段练习）已知：集合，(1)若，求，；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，，，.（2）是的充分条件，，则，解得：，即实数的取值范围为.（3）当时，，解得：，满足；当时，若，则或，解得：或；综上所述：实数的取值范围为.例3．（2022·山东·山大华特卧龙高一阶段练习）已知命题：实数满足集合，：集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【解析】若是的必要不充分条件，则A，而，当时，，符合A；当时，，若A，则，解得，当时，，符合题意，即；当时，，若A，则，解得．综上所述，实数的取值范围为或或．例4．（2022·全国·高一课时练习）（1）是否存在实数p，使“”是“或”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，请说明理由．（2）是否存在实数p，使“”是“或”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，请说明理由．【解析】（1）令，或，假设存在实数p，使“”是“或”的充分条件，则，即，解得．故当时，“”是“或”的充分条件．（2）令，或，假设存在实数p，使“”是“或”的必要条件，则，显然或不可能成立，故不存在数p，使“”是“或”的必要条件．过关测试一、单选题1．（2022·全国·高一阶段练习）已知下列四组陈述句：①：集合；：集合．②：集合；：集合．③：；：．④：某高一全体学生中的一员；：某全体学生中的一员．其中p是q的必要而不充分条件的有(

)A．①② B．③④ C．②④ D．①③【答案】D【解析】①若，则或，∴，即p：；故且，即p是q的必要而不充分条件，符合题意；②若，则根据子集的性质可得，即p：；故是的充要条件，不符题意；③对于，当时，，故，∴是的必要而不充分条件，符合题意；④易知且，即是的充分而不必要条件，不符合题意；综上，是的必要而不充分条件的有①③．故选：D．2．（2022·湖北·麻城市博达高一阶段练习）设计如图所示的四个电路图，“开关闭合”，“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A，当开关闭合时，灯泡亮，充分性成立；当灯泡亮时，可能是另一个开关闭合，必要性不成立；则是的充分不必要条件，A正确；对于B，当开关闭合时，灯泡亮，充分性成立；当灯泡亮时，开关闭合，必要性成立；则是的充要条件，B错误；对于C，仅开关闭合时，灯泡不亮，充分性不成立；当灯泡亮时，开关必须闭合，必要性成立；则是的必要不充分条件，C错误；对于D，当开关闭合时，灯泡亮，充分性成立；当灯泡亮时，开关闭合，必要性成立；则是的充要条件，D错误.故选：A.3．（2022·河南·沁阳市永威高一阶段练习）“”是“”的（

）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．既是充分条件，也是必要条件【答案】B【解析】由，解得或，由推不出，故充分性不成立，由推得出，故必要性成立，故“”是“”的必要条件但不是充分条件；故选：B4．（2022·河南省叶县高级高一阶段练习）设x，y都是实数，则“且”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由且，必有且；当且时，如，不满足，故不一定有且．所以“且”是“且”的充分不必要条件．故选：A．5．（2022·湖南·株洲高一开学考试）“”是“”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】由得或或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6．（2022·全国·高一课时练习）设，则“”的充要条件是（

）A．都为1 B．都不为1C．中至少有一个为1 D．都不为0【答案】C【解析】由，可得，解得或，故“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”．故选：C.7．（2022·全国·高一课时练习）已知区间，则下列是“对任意的，”的必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由“对任意的，”，得，即，则原题等价于探求“”的必要不充分条件，A选项“”为“”的充要条件，故A错误；B选项“”为“”的必要不充分条件，故B正确；C选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故C错误；D选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故D错误；故选：B.8．（2022·山东·东营市第一高一阶段练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵不等式在R上恒成立，∴，解得，又∵，∴，则不等式在R上恒成立，∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,故选:A.二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的有（

）A．“”是“”的充要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“或”是“”的充要条件D．“”是“”的必要不充分条件【答案】BC【解析】对于A，当时，或，所以“”不能推出“”，A错误；对于B，“”能推出“”，若，则，但，所以“”不能推出“”，B正确；对于C，的实数根为，，C正确；对于D，当，时，，但，所以“”不能推出“”，D错误．故选：BC10．（2022·山东·东营市第一高一阶段练习）若，则下列说法与之等价的是（

）A．“”是“”的充分条件B．“”是“”的必要条件C．D．【答案】ABD【解析】对于A，可得，所以对任意的，都有成立，即，所以A正确；对于B，可得，即，又因为，所以B正确；对于C，可得，所以C错误；对于D，，所以D正确.故选：ABD.11．（2022·全国·高一课时练习）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【解析】由题意，，但⇏，故①②正确，③错误；所以，根据等价关系知：且⇏，故④正确.故选：ABD12．（2022·江苏·高一单元测试）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，.则下列结论正确的是（

）A．； B．；C．； D．整数，属于同一“类”的充要条件是“”.【答案】ABD【解析】A：除以5，所得余数为，满足的定义，故正确；B：整数集就是由除以所得余数为的整数构成的，故正确；C：，故，故错误；D：设，则；若整数，属于同一“类”，则，所以；反之，若，则，即，属于同一“类”.故整数，属于同一“类”的充要条件是“”，正确.故选：.三、填空题13．（2022·江苏·高一单元测试）已知：或，：或，若是的必要条件，则实数的取值范围是__．【答案】【解析】因为是的必要条件，所以，即由或或；时，，此时：，有成立；②时，:且，；③时，有，即，此时无解，；综上，．故答案为：．14．（2022·江苏·高一单元测试）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】记，，因为p是q的充分条件，所以.当时，，即，符合题意；当时，，由可得，所以，即.综上所述，实数的k的取值范围是．故答案为：．15．（2022·全国·高一课时练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】由不等式，当时，不等式的解集为空集，显然不成立；当时，不等式，可得，要使得不等式的一个充分条件为，则满足，所以，即∴实数a的取值范围是.故答案为：.16．（2022·江苏·高一单元测试）已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______.【答案】【解析】∵表示不超过的最大整数，∴，，即，又是的充分不必要条件，，∴AB，故，即的取值范围是.故答案为：.四、解答题17．（2022·河南·高一阶段练习）已知：“实数满足”，“都有意义”.(1)已知为假命题，为真命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，若为真命题，则，即.若为真命题，则当时，满足题意；当时，，解得，所以.故若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为.（2）对，且由（1）知，对，则或.因为是的充分不必要条件，所以，解得.故的取值范围是.18．（2022·江苏·明达高一阶段练习）已知集合，，全集，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.【解析】由于是的充分不必要条件，所以，①当时，即时，满足.②当时，要使，则需，解得，综上所述，的取值范围是或.19．（2022·全国·高一单元测试）已知全集，集合，非空集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．【解析】（1）当时，，则,又，所以；（2）因为“”是“”的必要而不充分条件，所以且，所以，解得，故实数a的取值范围是.20．（2022·江苏省如皋高一开学考试）设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是【解析】充分性：因为，所以方程可化为，所以，所以，所以该方程有两个根，同理，另一方程可化为，所以，所以，所以该方程有两个根，可以发现，所以这两个方程有公共根；必要性：设是两方程的公共根，所以，由①②得：，若，①式得到即与三角形的边长矛盾，所以，所以，代入①式得，整理得，所以；综上所述，方程与有公共根的充要条件是.21．（2022·陕西·榆林市第十高一阶段练习）设命题：，：．(1)若，判断是的充分条件还是必要条件；(2)若是的______，求的取值集合．从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）记集合，．当时，，由于，是的充分条件．（2）选①，若是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，则．，①当时，，不成立；②当时，，由，得．（2）选②，若是的必要不充分条件，等价于是的充分不必要条件，则．①当时，，不可能；②当时，，由，得．综上，的取值集合为．22．（2022·全国·高一