基于条分法的矢量和安全性分析

基于条分法的矢量和安全性分析

1基于广义约束梯度法的矢量系数求解边坡稳定分析通常基于对潜在滑和潜在滑动面的力学分析来定义和求解系数。滑的极限阻力和滑动力通常通过世代计算进行。然而，由于力是向量，因此定义忽略了力向量的概念。在特殊情况下（圆弧滑面和直线滑面）是有意义的。在非圆形滑动的表面上，物理意义是模糊的。因此,基于力的矢量求和的安全系数定义似乎更合理一些,矢量和安全系数法最早是由葛修润(1983年)提出的,即根据极限抗滑力与下滑力的矢量特征,在某一方向上投影来计算安全系数。矢量和安全系数可以通过有限元方法和极限平衡方法求解,目前常用的方法是在有限元计算得到的应力场基础上,分析潜在滑面应力状态来求解。本文实现了矢量和安全系数求解的条分法:在通用条分法(GLE)的基础上,严格满足力和力矩平衡,采用非线性规划技术中的广义简约梯度法搜索临界滑面,得到矢量和安全系数。整个计算过程都在MicrosoftExcel内实现,方法简单,易于在工程界推广。2条分法的矢量和系数本文将传统的安全系数定义称为代数和安全系数,将之作为求解矢量和安全系数的手段,记为F,各条块的F相同。式中:R为极限抗滑力(以下简称抗滑力);T为下滑力。最经典的抗滑稳定安全系数的概念和定义应该是:坡体在各种荷载作用下,潜在滑动面所能提供的极限抗滑力的“总和”与作用在潜在滑动面上滑动力的“总和”之比。因为力是矢量,因此,求和应该是把滑面上各个条块的滑动力矢量按“矢量和”合成为导致坡体可能发生滑动的力矢,称之为总滑动力矢。同理,把作用在滑面各条块抵抗滑动的力矢,通过“矢量和”形成总抗滑力矢。因为总抗滑力矢和总下滑力矢都是矢量,无法直接相除得到用标量表达的安全系数,必须在某一方向上进行投影才能计算出具有标量性质的安全系数。因此,矢量和安全系数定义为:总抗滑力矢和总下滑力矢在方向θ上投影的比值。式中:R(θ)、T(θ)分别为条块抗滑力和下滑力在θ方向上的投影。关于投影方向,总的原则是由滑体的滑动趋势来确定,可以将下滑合力矢方向、平均滑动方向、抗滑合力矢方向作为计算方向θ。研究发现,三者的计算结果相差极小,选择后两种,可能更利于滑面的搜索。因此,本文中安全系数计算方向选择抗滑合力矢所在方向。将滑体划分成n个垂直条块(图1),条块底面长为li,底面倾角为αi,转动点坐标为(xc,yc),底面两点坐标为(xi-1,yi-1)和(xi,yi)。条块重力为iW,水平条间力为Ei-1和iE,条间剪力为Xi-1和Xi,底面法向力为Pi,底面剪力为Ti,底面孔隙水压力为ui,滑面有效内摩擦角为ϕi′,有效黏聚力为ci′。抗滑合力矢方向为θ,矢量和安全系数为F(θ)。条间力函数关系为Ei=λf(x)Xi。f(x)可取半正弦函数、梯形函数、常数等。如果f(x)为常数,则条间力(Ei和Xi的合力)方向平行,这也是Spencer法对条间力的假设。严格满足力和力矩平衡时,在合理的范围内,不同的条间力假设对代数和安全系数影响很小。首先建立条块的水平和垂直方向力平衡、滑体整体水平向力平衡以及滑体对转动点的力矩平衡。滑面上土体的强度服从摩尔–库仑强度准则,抗剪强度为τf=c′+σ′tanϕi′。为方便求得矢量和安全系数,写出Pi和Ti的表达式,得到如下公式:其中:由式(8)可知,可应用于任意的非圆弧滑面。条块底面的抗滑力为Ri=ci′li+(Pi-uili)tanϕi′,抗滑合力矢的方向为将Pi、Ti在θ方向投影并累加,得到:条分法的矢量和安全系数表达式如下:黏聚力c较大时,边坡顶部的条块条间力和底部法向力可能出现负值的不合理情况,此时可通过在边坡顶部设置拉裂缝来处理。Low等在Excel内实现了边坡稳定性计算,包括确定性方法和概率分析方法。本文的计算就是在文献提供的Excel程序基础上改写实现。条分法求解矢量和安全系数就是在满足整体力和力矩平衡以及几何约束条件下,在计算方向θ上搜索滑面,使F(θ)最小,这个滑面搜索过程可用非线性规划技术实现。3基于广义约束梯度法的滑面求解矢量和安全系数的滑面搜索是一个典型的非线性规划问题。在非线性规划中,常用的约束最优化方法有4种:①可行方向法,通过逐次选取可行下降方向去逼近最优点的迭代算法,如投影梯度法和简约梯度法等。②拉格朗日乘子法,将问题转化为求拉格朗日函数的驻点。③制约函数法,包括惩罚函数法和障碍函数法,将问题转化为无约束问题来求解。④近似型算法,序贯线性规划法和序贯二次规划法。简约梯度法(reducedgradientmethod)适合求解线性约束函数的非线性优化问题,每次迭代都通过当前点的积极约束削去一部分变量,降低问题的维数,且产生一可行下降方向。广义简约梯度法(generalreducedgradientmethod,GRG)能解决具有非线性约束的非线性优化问题,基本思路是:对于不等式约束条件,可以利用起作用约束来转化为等式约束条件;另外,还可引入松弛变量使不等式变为等式约束条件,是目前解决约束最优化问题的最有效方法之一。本文即采用GRG法搜索边坡的临界滑面。求解矢量和安全系数的数学模型如下:式中:H为坡高;β为坡角;λ为条间力常数;xin、xout分别为滑面剪入、剪出口。约束条件中,前两个保证整体力和力矩的平衡;最后一个不等式为几何约束,控制滑面剪入、剪出范围,可根据实际情况进行调整;另外,也可增加对转动点搜索范围的限制。实际计算时,规划求解的约束条件还应增加另外一个隐含的几何约束,滑面位置须在坡面以下(交点除外)。初始值设置如下:将传统代数和安全系数对应的圆弧滑面作为初始搜索滑面,对非圆弧滑面,可将圆弧滑面的圆心作为初始转动点,并令λ=0,F=1。MicrosoftExcel内置的“规划求解”方法是Lasdon和Waren开发的GRG非线性最优化代码,可以非常方便地在Excel内用GRG法搜索边坡的临界滑面,求解矢量和安全系数。4计算示例4.1算例结果分析ACADS考题1中的EX1(a):均质土坡,其计算模型如图2所示,土体黏聚力c=3kPa,内摩擦角ϕ=19.6°,重度γ=20kN/m3。矢量和安全系数计算中选择了两种不同的条间力函数,分别为常数和半正弦函数,以下把条间力为常数的矢量和安全系数记作F1(θ),把条间力为半正弦函数的矢量和安全系数记作F2(θ),代数和安全系数记作F。θ、λ分别为抗滑合力矢方向和条间力方向,F1(θ)和F1(λ)分别为θ、λ方向上的矢量和安全系数,滑面均为F1(θ)对应的滑面。计算结果见表1,F1(θ)、F2(θ)与裁判答案的相对误差小于3%,与F的相对误差小于1%,滑面也与实际临界滑面相吻合,这说明本文的计算方法是合理的。F1(θ)和F2(θ)的相对误差为0.1%。条间力函数为常数时,θ和λ方向非常接近。为进一步研究矢量和安全系数条分法的合理性和可靠性,设计了表2中的9个算例,考虑不同坡比、坡高以及不同的孔隙水压力条件。算例中力学参数均和ACADS考题EX1(a)相同,条间力函数分别取常数和半正弦函数。表2中的计算结果表明,对于不同坡比、坡高、孔隙水压力条件下的圆弧滑面边坡:(1)F1(θ)、F1(λ)、F2(θ)与F的相对误差均不超过2%。θ和λ非常接近,相对误差小于2.5%,F1(θ)和F1(λ)的相对误差均不超过0.5%。(2)两种条间力假设情况下,θ都小于边坡的坡角,θ的相对误差小于2%,F1(θ)和F2(θ)的相对误差小于0.5%,滑面位置和F对应的滑面非常吻合(限于篇幅,此处略去边坡的临界滑面对比图),这表明不同的条间力假设对边坡的矢量和安全系数影响也很小。因此,如果取条间力函数为常数,即假设条间力平行,也可以把条间力方向λ近似作为矢量和安全系数的计算方向,使计算进一步得到简化,不必再求抗滑合力矢方向,而计算精度仍能得到保证。尽管矢量和安全系数与传统的代数和安全系数定义意义不同,但由表2可知,运用两种方法对各种条件下的边坡计算得到的安全系数非常接近。这是因为在圆弧滑面这种特殊情况下,代数和安全系数的定义中,滑面上抗滑力与滑动力代数和之比是具有明确的物理意义的,它表示的是:滑面上总抗滑力与滑动力对滑面圆心的力矩之比,此时代数和安全系数与本文的矢量和安全系数应该一致,这一点也可以从理论上证明。4.2算法参数结果分析通常情况下,边坡的滑面都是非圆弧状的,因此,为研究矢量和安全系数条分法在非圆弧滑面分析中的适用性,从文献中选择有代表性的非圆弧滑面边坡算例17#、18#、19#,用矢量和安全系数条分法进行计算并将结果与Spencer法进行对比。(1)17#边坡:均质干边坡,黏聚力c=9.8kPa,内摩擦角ϕ=10°,重度γ=17.64kN/m3。(2)18#边坡:均质边坡,含孔隙水压力,黏聚力c=10.8kPa,内摩擦角ϕ=40°,重度γ=18kN/m3,孔隙水压力系数ur=0.5。(3)19#边坡:有软弱层的非均质边坡,由4层土层构成。具体的参数请参见文献。计算结果见表3,滑面对比见图3~5,Spencer法安全系数及滑面用Slide5软件计算得到。3个算例中,均质边坡17#、18#的矢量和安全系数与Spencer法安全系数相对误差不超过3%。对于17#边坡,两种分析方法的滑面剪入口相同,矢量和安全系数法的剪出口都位于坡脚处,而Spencer法的剪出口距坡脚37cm,其滑面也深一些;对于18#边坡,F1(θ)和Spencer法的滑面几乎重合,F2(θ)对应滑面略深,因为滑面极其相近,因此,安全系数相对误差仅为0.69%;而对于19#边坡,两种方法的相对误差最大达到5.5%,这主要是因为滑面位置差别较大,F1(θ)和F2(θ)的滑面位置较深。总的来说,在非圆弧滑面情况下,不同的条间力假设对矢量和安全系数影响不大,相对误差不超过1.5%,计算方向θ相对误差小于2%,但θ和λ相差较大。对于均质边坡,两种方法的安全系数和滑面都非常接近,这主要是由于均质边坡的实际滑面近似圆弧,而圆弧滑面条件下两种方法是一致的。但对于含软弱层的非均质边坡,滑面偏离圆弧较大,计算结果有一定差别。从理论上说,本文方法的结果应该更合理一些,但哪种结果更合适还有待进一步探讨及工程实践的检验。5表面活性剂的检测方法虽然近年来各种数值分析方法广泛应用于边坡稳定性分析中,但极限平衡法相当长时间内仍会占据统治地位。目前,极限平衡法安全系数定义未考虑力的矢量概念,物理意义模糊,如何定义一个新的安全系数作为评价指标,显得十分重要。矢量和安全系数基于力的矢量求和定义,这种定义方法较传统的安全系数更为合理,但矢量和安全系数不是对现有边坡安全系数指标和评价体系的否定,就如同各种不同假设的条分法都能在工程实际中获得应用一样,矢量和安全系数能够为边坡稳定性评价提供多一种选择。本文主要介绍了矢量和安全系数在极限平衡框架下的定义和求解方法,在通用条分法(GLE)基础上建立求解公式,并在Excel内用GRG法搜索边坡临界滑面,计算矢量和安全系数,通过算例分析,得到如下结论:(1)不同的条间力假设(常数和半正弦函数)对边坡的矢量和安全系数影响很小。(2)抗滑合力矢方向θ小于边坡坡角,即边坡的滑动趋势总是指向坡外。(3)对于圆弧滑面,安全系数投影方向θ和假设条间力函数为常数时的条间力方向λ非常接近,因此,当取条间力函数为常数时,可近似将λ作为矢量和安全系数的计算方向,简化计算。(4)均质