福建省福州市安凯中学高三数学文测试题含解析

福建省福州市安凯中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，若，则实数m的取值范围是（

）A.(－∞,－1) B.(－1,0) C.[－1,0) D.(－∞,0)参考答案：B【分析】根据二次函数的图象，可知，可求的取值范围.【详解】若满足，则需满足

，解得：.故选：B【点睛】本题考查二次函数的图象和不等式的关系，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.2.甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）种．A．30 B．36 C．60 D．72参考答案：A【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】“至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同，再利用分步计数原理，即可求得结论．【解答】解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：1、甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C42C22=6种．2、甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有C41=4种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有C31C21=6种选法，由分步计数原理此时共有C41C31C21=24种．综上，由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．故选：A．【点评】本题考查排列组合知识，合理分类、正确分步是解题的关键．3.已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3B．4C．D．参考答案：B略4.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时zmax=3．故选C．5.与向量的夹角相等,且模为1的向量是（

）A． B．或 C． D．或参考答案：B【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2设与向量的夹角相等,且模为1的向量为（x，y），则解得或，【思路点拨】要求的向量与一对模相等的向量夹角相等，所以根据夹角相等列出等式，而已知的向量模是相等的，所以只要向量的数量积相等即可．再根据模长为1，列出方程，解出坐标．6.若不等式对成立，则实数m的取值范围是（

）A. B. C. D.[1,+∞)参考答案：A【分析】设，由题意将原问题转化为求，利用导数分析的单调性求得最大值，代入解不等式即可.【详解】设，由，则在上恒成立，∴单调递减，则；当时，，解得：；当时，，恒成立；综上知：当m时，不等式对成立.故选A.【点睛】本题考查了利用导数求解函数最值的问题，考查了绝对值不等式的解法，考查了恒成立问题的转化，属于中档题.7.在△ABC中，若，则等于

（

）A．

B．C．

D．参考答案：D8.某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合出现红灯”为事件B，则由题意可得P（A）=，P（AB）=，由此利用条件概率计算公式求得P（B/A）的值．【解答】解：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合出现红灯”为事件B，则由题意可得P（A）=，P（AB）=，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是：P（B/A）===．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的灵活运用．9.已知、、三点不共线，且点满足0，则下列结论正确的是

（

）A．

B．C．

D．参考答案：D10.已知数列中，，且数列是等差数列，则等于A．

B．

C．5

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则四面体A—EFB的体积V等于

。参考答案：连结BD交AC与O,则OA为四面体A—EFB的高且,,所以。12.给出以下四个命题：①已知命题；命题.则命题是真命题；②圆恰有2条公切线；③在某项测量中，测量结果服从正态分布.若内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为0.8；④某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若用分层抽样的方法抽出一个容量为30的样本，则一般职员抽出20人.其中正确命题的序号为_________（把你认为正确的命题序号都填上）参考答案：13.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示.若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为__________．参考答案：易知14.抛物线的准线方程为＿＿＿＿＿.参考答案：15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为参考答案：16.已知数列{an}中，a1=1，a2=3，对任意n∈N*，an+2≤an+3?2n，an+1≥2an+1恒成立，则数列{an}的前n项和Sn=．参考答案：2n+1﹣n﹣2【考点】数列递推式．【分析】an+1≥2an+1，利用递推可得：an+1≥2an+1≥22an﹣1+2+1≥…≥2na1+2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=2n+1﹣1，即an≥2n﹣1．（n=1时也成立）．由an+2≤an+3?2n，即an+2﹣an≤3?2n，利用“累加求和”方法结合an+1≥2an+1，可得an≤2n﹣1，因此an=2n﹣1．即可得出．【解答】解：∵an+1≥2an+1，∴an+1≥2an+1≥22an﹣1+2+1≥23an﹣2+22+2+1≥…≥2na1+2n﹣1+2n﹣2+…+2+1==2n+1﹣1，∴an≥2n﹣1．（n=1时也成立）．由对任意n∈N*，an+2≤an+3?2n，即an+2﹣an≤3?2n，∴a3﹣a1≤3×2，a4﹣a2≤3×22，…，an﹣2﹣an﹣4≤3×2n﹣4an﹣1﹣an﹣3≤3×2n﹣3，an﹣an﹣2≤3×2n﹣2，an+1﹣an﹣1≤3×2n﹣1．∴an+1+an≤1+3+3×2+3×22+…+3×2n﹣2+3×2n﹣1=1+3×=3×2n﹣2．（n≥2）．∵an+1≥2an+1，∴3an+1≤3×2n﹣2．∴an≤2n﹣1．∴2n﹣1≤an≤2n﹣1，∴an=2n﹣1，∴数列{an}的前n项和Sn=﹣n=2n+1﹣2﹣n．故答案为：2n+1﹣n﹣2．17.已知在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则

．参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2，AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α．（1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；（2）当α=60°时，求证：CD⊥平面PBD．参考答案：考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE；（2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD，过A作AF⊥BD，则F为BD的中点，利用勾股定理可以判断线线垂直，进一步判断线面垂直．解答： 解：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE，此时AE：EP=AO：OC=AD：BC=：=1：2；（2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD，过A作AF⊥BD，则F为BD的中点，所以PF⊥BD，BD=2，所以AF=PF=BD=1，所以PF2+AF2=PA2，所以PF⊥AF，所以PF⊥平面ABCD，所以PF⊥CD，过D作DH⊥BC，则DH=AB=，HC=，所以CD=2，所以CD2+BD2=BC2，所以CD⊥BD，BD∩PF=F，所以CD⊥平面PBD．点评：本题考查了线面平行的判定以及线面垂直的判定定理和性质定理的运用；关键是适当作辅助线，将问题转化为线线关系解答．19.已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，若，，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）过F2的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若，求四边形AOBE面积的最大值.参考答案：（1）（2）【分析】（1）由椭圆的定义及勾股定理可求出a，又c，可得b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、向量加法的意义以及三角形的面积公式，结合基本不等式求解即可．【详解】（1）由题设，，所以.又，所以.的方程为.（2）由题设不平行于轴，设：，联立，得.，.因为，所以四边形为平行四边形，四边形面积.因为，当且仅当时取等号，于是四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．20.（本小题满分13分）已知：函数．（Ⅰ）求函数的对称轴方程；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值．参考答案：解：（Ⅰ）

……………5分

……………7分

函数关于直线

对称

所以对称轴方程为

……………9分

（Ⅱ）当时，

由函数图象可知，的最大值为1，最小值为……12分所以函数的最大值为，最小值为 ………13分

略21.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，，且AC=BC.（1）求证：平面EBC；（2）求.参考答案：(1)∵四边形是正方形，

∴∵面面,面面,∴,∴平面EBC；(2)V=.

略22.（本小题满分12分）已知数列满足的前n项和为，其中.（I）试求的值并证明数列为等比数列；（II）设求数列的前n项和.参考答案：（1）见解析；（2）

【知识点】数列递推式；数列的求和D1D4（1）证明：∵a1=，an+1=，∴a2=2a1+2﹣2=1，a3=﹣a2﹣2=﹣3．bn+1=a2n+2=2a2n+1+2（2n+1）﹣2=2a2n+1+4n，又a2n+1=﹣a2n﹣2n，∴bn+1=2（﹣a2n﹣2n）+4n=﹣2a2n=﹣2bn，b1=a2=1，∴数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为﹣2；（2）由（I）可得：a2n+1=﹣a