2023-2024学年九年级数学中考数学复习微专题：学会运用旋转变换解题

学会运用旋转变换解题旋转变换在初中几何中占有非常重要的地位，它贯穿于三角形、四边形、圆等所有重要的几何问题之中．在近几年的各地中考试卷中，运用旋转变换求解的试题所占的比重不断上升，这些试题往往构思巧妙，令人耳目一新．本文试图从三个层次来帮助同学们掌握旋转变换的特征和规律，从而轻松解决问题． 一、按指令旋转 例1如图1，将△ABC绕点C逆时针旋转90°，作出旋转后的图形． 解析如图2，△A'CB'为所求． 由本题我们可以归纳出图形旋转的特征：(1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；(2)对应点到旋转中心的距离相等；(3)对应角相等；(4)图形的形状和大小都没有发生变化，即旋转前后的图形全等． 深入研究一下，还可以得到：对应的直线也旋转了相同的角度，比如此题中的直线AB和直线A'B'也互相垂直． 二、会识别旋转 通过例1的练习，对于旋转中心为图形的某个顶点的旋转，学生是很容易识别的，但对于那些旋转中心不是顶点的，还是有些困难的．例2如图3，△A'B'C，是△ABC绕点O按一定角度旋转后形成的图形，求作点O． 解析如图4，因为对应点A，A'到旋转中心O的距高相等，所以点O在AA'的中垂线上，同理点O也在CC'的中垂线上．故连结AA'，CC'，作AA'，CC'的中垂线，交点即为点O．通过例2的练习，学生对于旋转的识图能力有了进一步的提升，解决例3和例4这类问题，就很容易了．例3如图5，菱形ABC党中，E、F分别为BC、C党上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，求证：AE＝AF． 解析如图6，连结AC，证明△ABE≌△ACF(ASA)即可．事实上，△ACF可以看成是△ABE绕点A逆时针旋转60°而成的，其实旋转提供了我们认识全等的一个新的角度，即从动态的角度来重新认识全等，观察图2，图4，我们可以发现旋转必然会产生有“公共顶点的等线段图形”（等腰三角形）．反之，有“公共顶点的等线段图形”（线段的中点，等腰三角形，菱形，正方形等等）中必然隐藏着旋转型全等，我们只需找到它们，问题便随之解决．例4如图7，以△ABC的边AB、AC为边分别作正方形AB党E和正方形ACFG，连结EC．试判断△ABC与△AEC面积之间的关系，并说明理由． 解析如图8，不难看出△ABC与△AEC的面积相等，可以考虑让它们的底边相同，因此作CM⊥AB交AB于点M，作GN⊥EA交EA的延长线于点N．只需证CN＝CM，而这由△AMC≌△ANG即可得到．其实，△AMC与△ANG也是一对旋转型的全等． 三、会构造旋转 事实上，让大部分同学感到困难的并不是去发现题目图形中隐藏着的旋转，而是何时需要去构造旋转型全等．上面的解题经验告诉我们，当题目中出现了“公共顶点的等线段图形”，比如线段的中点，等腰三角形，菱形，正方形等等，那可能就需要我们去主动构造旋转型全等；特别是当题目的条件比较分散或是条件虽然是集中的，但却无法解决所求问题时，通过构造旋转，可以使得题目的条件重新集中，从而解决问题．例5如图9，在等腰△ABC中，AB＝AC，党是△ABC内一点，且∠A党B＝∠A党C．求证：∠党BC＝∠党CB．解析虽然题目中相等的元素集中在△AB党和△AC党中，但却无法证明△AB党和△AC党全等，所以需要把条件转移之后再利用．而AB＝AC提供了将△AB党旋转的依据，因此，将△AB党绕点A逆时针旋转到△AC党'，连结党'党．易证∠C党党'＝∠C党'党，从而C党＝C党'，故C党＝B党．即∠党BC＝∠党CB．例6如图10，已知PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABC党，使P、党两点落在直线AB的两侧．(1)如图10，当∠APB＝45°时，求P党的长；(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求P党的最大值，及相应∠APB的大小．解析在△AP党中，虽然知道PA，A党的长度，但却没有角度，因此无法求解P党．又AB＝A党，所以可以尝试将△PA党绕点A顺时针旋转90°到△EAB，并连结EP，在△EPB中求出EB为2，可得P党也为2，在第(2)问中，依此思路，易求得EB的最大值为6，当且仅当E，P，B三点共线时，即当∠APB为135°，P党最大值为6．如果题目中出现了线段中点时，我们可以把某个三角形绕着中点旋转180°，构造中心对称型全等（同时形成“附属产物”平行四边形），使题目条件集中，从而解决问题．我们熟悉的“倍长中线”便是其中的一种特殊情形．例7如图11，点党是△ABC的边AC上一点，且AB＝C党，∠BAC＝60°，点E是B党的中点，若AE＝4，求BC的长．解析题中的“AB＝C党，∠BAC＝60°”这两个条件比较分散，无法使用，考虑到点E是B党的中点，因此延长AE到F，连结FB，FC，F党(如图12)．这样一来，△F党E≌△ABE，所以党F＝AB＝C党，又∠C党F＝∠BAC＝60°，故△党CF为等边三角形．所以CF＝C党，CF＝AB，而BF∥AC，故四边形ABFC为等腰梯形，所以BC＝AF＝8．通过以上例题，我们对于旋转有了逐步深入的认识．首先我们能够按照题