专题14弧长及扇形的面积（3个知识点2种题型3种中考考法）（原卷版）

专题14弧长及扇形的面积（3个知识点2种题型3种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.弧长公式（重点）知识点2.扇形的面积（重点）知识点3.不规则图形面积的求法（难点）【方法二】实例探索法题型1.弧长公式的应用题型2.求不规则图形的面积的常用特殊方法【方法三】仿真实战法考法1弧长公式的应用考法2.扇形的面积公式的应用考法3.求阴影部分的面积【方法四】成果评定法【学习目标】了解弧长公式、扇形面积公式的推导过程及意义。掌握求弧长及扇形面积的公式，并会应用公式解决问题。在探索弧长计算公式时，体验从特殊到一般的学习方法，在推导扇形面积公式的过程中，学会类比的方法。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.弧长公式（重点）（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．【例1】（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【变式】（2023•拱墅区校级模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为（）A． B．π C．2π D．3π知识点2.扇形的面积（重点）（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）【例2】（2023•鹿城区校级二模）若扇形的圆心角为60°，半径为3cm，则该扇形的面积为cm2．【变式】（2022秋•宁波期末）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，点D是BC中点，连接OE，OD．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AB＝6，∠A＝40°，求的长和扇形EOD的面积．知识点3.不规则图形面积的求法（难点）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．【例3】（2023•浙江模拟）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（）A．14π B．7π C． D．2π【变式】（2023•南湖区二模）如图，将半径为的扇形AOB沿OB方向平移2cm，得到扇形CDE．若∠O＝60°，则重叠部分（阴影部分）的面积为（）A． B．cm2 C．πcm2 D．【方法二】实例探索法题型1.弧长公式的应用1．（2022秋•越城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．2．（2023•浙江二模）如图，已知⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．（1）求的长；（2）求证：AD平分△ABC的外角∠EAC．题型2.求不规则图形的面积的常用特殊方法3．（2023•杭州二模）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在半径为2、圆心角为的扇形中，，点D从点O出发，沿的方向运动到点A停止．在点D运动的过程中，线段，与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为______．6．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在菱形中，分别以点A，C为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）7．（2022秋•上城区期末）已知AB是圆O的直径，半径OD⊥BC于点E，的度数为60°．（1）求证：OE＝DE；（2）若OE＝1，求图中阴影部分的面积．8．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连接并延长交圆于点．(1)求证：；(2)若，求阴影部分的面积．【方法三】仿真实战法考法1弧长公式的应用1．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．m B．m C．m D．（+2）m2．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．3．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为cm．考法2.扇形的面积公式的应用4．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（）A．π B．3π C．5π D．15π5．（2022•台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（）A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2考法3.求阴影部分的面积6．（2023•娄底）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（）​A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣7．（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（）A． B． C． D．8．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（）A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．209．（2023•内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·九年级假期作业）长为的细木条用两个铁钉固定在墙上，固定点为点，（铁钉的大小忽略不计），当固定点处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点落在点的位置，则点旋转的路径长为（）A． B． C． D．3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（）A． B． C． D．4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，，，，为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（）A． B． C． D．5．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）半径为，的圆心角所对的弧长为（

）A． B． C． D．6．（2023春·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，D是边上的一点，以为直径的交边于点E，若，则的长为（）A．π B．2π C．3π D．4π7．（2021·浙江衢州·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（

）A． B．2 C． D．18．（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）如图，是等腰直角三角形，且，分别以A，B，C为圆心做弧，得到曲线，那么曲线和线段围成的图形（图中阴影部分）的面积为（）A． B． C． D．9．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．10．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，将半径为的扇形沿方向平移，得到扇形．若，则重叠部分（阴影部分）的面积为（

）A． B．C． D．二、填空题11．（2023·浙江温州·校考三模）若扇形半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为．12．（2023·浙江温州·校考三模）一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是cm．13．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为．14．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E，且AE经过圆心O．若OA＝3．则图中阴影部分的面积为．15．（2023·浙江杭州·统考一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是．16．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为，则这个扇形的半径是．17．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，是弦，，，则阴影部分的面积是．18．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为．三、解答题19．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在中，点的坐标是，点的坐标是，将绕点逆时针旋转得到．(1)画出．(2)求点的运动路径长．20．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点．(1)求证：；(2)若，求阴影部分的面积．21．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的外接圆，是直径，的平分线交于点D，连接、．(1)判断的形状，并说明理由；(2)若，求的长（结果保留）．22．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，在中，弦，相交于点E，连结，已知．(1)求证：；(2)连结、，若，的半径为2，求的长．23．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图是输水管的切面，阴影部分是有