2023-2024学年安徽省亳州市高一下学期第一次月考数学质量检测试卷

2023-2024学年安徽省亳州市高一下册第一次月考数学质量检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法中正确的是()A.若a≠b，则|a|≠|b|B.模为0的向量的方向是不确定的C.向量就是有向线段D.任意两个单位向量的方向相同【正确答案】Ba与b方向不同但模相等时，a≠b，故A错误；模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，故B正确；有向线段是向量的几何表示，是个图形，而向量是带方向的量，不是有向线段，故C错误；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故D错误．2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且a与b的夹角为π6,则(a+b)·(2a-b)等于(A.12 B.-32 C.-12 【正确答案】A∵|a|=1,|b|=3,a与b的夹角为π6∴a·b=1×3×cos∴(a+b)·(2a-b)=2a2+a·b-b2=2+32-3=3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为()A.3 B.－3 C.0 D.2【正确答案】A由平面向量的基本定理，得则①－②得x－y＝3.4.设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于()A. B. C. D.【正确答案】A∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.5.已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若PA＋PB＝PC＋AB，则下列结论正确的是()A.点P在△ABC内部 B.点P在△ABC外部C.点P在直线AB上 D.点P在直线AC上【正确答案】D因为PA＋PB＝PC＋AB，所以PB－PC＝AB－PA，所以CB＝AB＋AP，CB－AB＝AP，即CA＝AP.故点P在边AC所在的直线上．6.已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值为()A.0 B.1 C.－1 D.2【正确答案】C∵＝－，∴x2＋x＋－＝0，即＝－x2－(x－1)，∵A，B，C三点共线，∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.当x＝0时，x2＋x＋＝0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x＝－1.7.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边AD，CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，则·的取值范围是()A.[－3，－1] B.[－3,1] C.[－1,1] D.[1,3]【正确答案】A以A为坐标原点，以AB所在直线，垂直于AB所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，A(0,0)，D.∵满足＝＝λ，λ∈[0,1]，∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝，＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝，·＝·＝＋×(1－λ)＝λ2＋λ－3＝2－.∵λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为λ＝－，则函数在[0,1]上单调递增，故当λ∈[0,1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]，即·的取值范围是[－3，－1]．8.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为()A.20m B.30m C.20m D.30m【正确答案】D由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°所以∠ACM＝30°在Rt△ABM中，AM＝ABsin∠AMB＝在△ACM中，由正弦定理得AMsin30°＝所以CM＝AM·sin45°sin在Rt△DCM中，CD＝CM·sin60°＝AB·sin45°·sin60°sin15°·二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是()A.|a＋b|＝1 B.a⊥b C.(4a＋b)⊥b D.a·b＝－1【正确答案】CD分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B选项中结论错误；∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝，故A选项中结论错误；∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C选项中结论正确；a·b＝1×2×cos120°＝－1，故D选项中结论正确．10.下列各对向量中，不共线的是()A.a＝(2,3)，b＝(3，－2) B.a＝(2,3)，b＝(4，－6)C.a＝(，－1)，b＝(1，) D.a＝(1，)，b＝(，2)【正确答案】ABCA，B，C中各对向量均不满足共线向量定理，D中b＝a，两个向量共线．11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,bsinA=3acosB,sinC=2sinA,则()A.B=π3B.a=C.△ABC的面积S=33D.△ABC的外接圆半径R=3【正确答案】ABDA项中,∵bsinA=3acosB,∴sinBsinA=3sinAcosB,∵A为△ABC的内角,∴sinA>0,∴tanB=3∵0<B<π,∴B=π故A正确.B项中,∵sinC=2sinA,∴c=2a.由选项A知B=π3,又b2=a2+c2-2accosB∴a2+(2a)2-2a·2a·12∴a=3,c=23故B正确.C项中,S△ABC=12acsinB=12×3×2D项中,2R=bsinB=23,则R=3.故12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a≠c，tanB＝2，△ABC的面积为2，则b2|a−c|可能取到的值为()A.4 B.2 C.4 D.2【正确答案】AC因为tanB＝2，所以cosB＝，sinB＝，又S＝acsinB＝2，所以ac＝6，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－4＝(a－c)2＋8，所以b2|a−c|＝(a−c)2+8|a−c|＝|a－c|＋8|a−c|≥4当且仅当|a故b2|a−c|的最小值为4，可能取到的值为AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。13.在△ABC中，∠A＝120°，AB＝5，BC＝，则AC的值为________．【正确答案】2由余弦定理可知cosA＝cos120°＝＝＝－，解得AC＝2或AC＝－7(舍去)．14.在△ABC中,若B=2A,a∶b=1∶3,则A=【正确答案】30°∵B=2A,∴sinB=sin2A,∴sinB=2sinAcosA,∴由正弦定理,得ab∴12cosA=1又0°<A<180°,∴A=30°.15.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．【正确答案】以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，则B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1).可设F(x，2)，因为AB·AF＝(，0)·(x，2)＝x＝，所以x＝1，所以AE·BF＝(，1)·(1－，2)＝.16.在△ABC中，a＝，A＝60°，求3b＋2c的最大值________．【正确答案】2由正弦定理知，asinA＝bsin因为a＝，A＝60°，所以bsinB＝csinC所以b＝2sinB，c＝2sinC，所以3b＋2c＝6sinB＋4sinC＝6sinB＋4sin(60°＋B)＝6sinB＋4＝8sinB＋2cosB＝2sin(B＋θ)，其中tanθ＝，因为0°＜θ＜30°，0°＜B＋θ＜150°，当B＋θ＝90°时，3b＋2c取得最大值，为2.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12分）已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.【正确答案】解(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝＝2.综上可知，|a－b|＝2或|a－b|＝2.18.（12分）已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.(1)求a·b；(2)求a在b上的投影向量．【正确答案】解(1)a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos120°＝－10.(2)a在b上的投影向量为|a|cosθe＝e＝－e＝－e.19.（12分）已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b与c;(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.【正确答案】解(1)∵a∥b,∴3x-4×9=0,解得x=12.∵a⊥c,∴3×4+4y=0,解得y=-3.即b=(9,12),c=(4,-3).(2)设m与n的夹角为θ.∵m=2a-b=(-3,-4),n=a+c=(7,1),∴cosθ=m·n|∵θ∈[0,π],∴θ=320.（12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsinA=3acosB.(1)求B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.【正确答案】解(1)∵bsinA=3acosB,∴sinBsinA=3sinAcosB.∵A为△ABC的内角,∴sinA>0,∴tanB=3,∵0<B<π,∴B=π3(2)∵sinC=2sinA,∴c=2a.由(1)知B=π3,∵b2=a2+c2-2accosB∴a2+(2a)2-2a·2a·12=∴a=3,c=23.21.（12分）已知△OAB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，设AB＝a，AO＝b.(1)用向量a与b表示向量OC，CD；(2)若OE＝OA，求证：C，D，E三点共线．【正确答案】(1)解因为AB＝a，AO＝b，所以OC＝OA＋AC＝－a－b，CD＝CB＋BD＝CB＋BO＝CB＋(BA＋AO)＝2a＋(－a＋b)＝a＋b.(2)证明因为CE＝OE－OC＝(－b)＋a＋b＝a＋b＝CD，所以CE与CD共线，又因为CE与CD有公共点C，所以C，D，E三点共线．22.（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－si