云南省楚雄州大姚县第一中学2023-2024学年数学高二上期末考试试题含解析

云南省楚雄州大姚县第一中学2023-2024学年数学高二上期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知两直线与，则与间的距离为（）A. B.C. D.2．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第7项为（）A.101 B.99C.95 D.913．对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4．下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.5．过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为（）A. B.2C. D.46．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.如图所示的圆形剪纸中，正六边形的所有顶点都在该圆上，若在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率为（）A. B.C. D.7．若直线与直线平行，则（）A. B.C. D.8．如图，已知直线AO垂直于平面，垂足为O，BC在平面内，AB与平面所成角的大小为，，，则异面直线AB与OC所成角的余弦值为（）A. B.C. D.9．已知数列满足，令是数列的前n项积，，现给出下列四个结论：①；②为单调递增的等比数列；③当时，取得最大值；④当时，取得最大值其中所有正确结论的编号为（）A.②④ B.①③C.②③④ D.①③④10．已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则的值为（）A. B.C.4 D.11．已知函数，则的值为（）A. B.0C.1 D.12．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______.14．直线与直线间的距离为___________.15．命题“若，则二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界）”的条件：_________，结论:_____________，它是_________命题（填“真”或“假”）.16．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足，，.（1）证明：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求数列的前项和.18．（12分）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程19．（12分）一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果:转速(转/秒)1615129每小时生产有缺陷的零件数（件）10985通过观察散点图，发现与有线性相关关系:（1）求关于的回归直线方程；（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内?(参考:回归直线方程为，其中，）20．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为（1）求抛物线C的标准方程；（2）若AB是过抛物线C的焦点F的弦，以弦AB为直径的圆与直线的位置关系是什么？先给出你的判断结论，再给出你的证明，并作出必要的图形21．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值.22．（10分）已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4.（1）求C方程；（2）若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.【详解】直线的方程化为：，显然，，所以与间的距离为.故选：B2、C【解析】根据所给数列找到规律：两次后项减前项所得数列为公差为2的数列，进而反向确定原数列的第7项.【详解】根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：故选：C.3、D【解析】判断不等式的真假，就是要考虑在不等式的变形过程中是否遵守不等式变形的规则.【详解】若，令，，，，，故A错误；若，令c=0，则，故B错误；若，令a=-1，b=-2，，，故C错误；∵，故，根据不等式运算规则，在不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等式的方向不变，故D正确.故选：D.4、B【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B5、A【解析】求出椭圆的通径，即可得到结果【详解】过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为椭圆的通径：故选：A6、D【解析】设圆的半径，求出圆的面积与正六边形的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：设圆的半径，则，则，所以，所以在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率;故选：D7、D【解析】根据两直线平行可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【详解】由于直线与直线平行，则，解得.故选：D.8、B【解析】建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出向量的坐标，再利用向量的夹角公式计算即可.【详解】如图，以O为坐标原点，过点O作OB的垂线为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，，，，设的夹角为，则，所以异面直线AB与OC所成角的余弦值为，故选：B.9、B【解析】求出，即可判断选项①正确；求出，即可选项②错误；求出，利用单调性即可判断选项③正确；求出，即可判断选项④错误，即得解.【详解】解：因为，①所以，，②①②得，，整理得，又，满足上式，所以，因为，所以数列为等差数列，公差为，所以，故①正确；，因为，故数列为等比数列，其中首项，公比为的等比数列，因为，，所以数列为递减的等比数列，故②错误；，因为为单调递增函数，所以当最大时，有最大值，因为，所以时，最大，即时，取得最大值，故③正确；设，由可得，，解得或，又因为，所以时，取得最大值，故④错误；故选：B10、A【解析】由，可得，再计算即可求解.【详解】由题意可知，所以，即.故选：A11、B【解析】求导，代入，求出，进而求出.【详解】，则，即，解得：，故，所以故选：B12、C【解析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：C【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设由题可知，当时，可得适合题意，当时，可求函数的最小值即得，当时不合题意，即得.【详解】设，由题可知，∴，当时，，适合题意，所以，当时，令，则，此时时，，单调递减，，，单调递增，∴，又，∴，∴，即，解得，当时，时，，，故的值有正有负，不合题意；综上，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，设由题可知，当时，利用导数可求函数的最小值，结合，可得，进而通过解，即得.14、【解析】利用平行间的距离公式可求得结果.【详解】由平行线间的距离公式可知，直线、间的距离为.故答案为：.15、①.②.二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界）③.真【解析】由二元一次不等式的意义可解答问题.【详解】因为，二元一次不等式所表示的区域如下图所示：所以在的条件下，二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界），此命题是真命题.故答案为：；二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界）；真16、##【解析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过作，垂足为，可知点H为中点，由平面，可得，又所以平面，则即为所求角，因为，，所以，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析，；（2）.【解析】（1）由已知条件，可得为常数，从而得证数列是等比数列，进而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，又，所以，所以，利用错位相减法即可求解数列的前项和.【小问1详解】证明：由题意，因为，，，所以，，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以；【小问2详解】解：由（1）可得，又，所以，所以，所以，所以，，所以，所以.18、（1）；（2）【解析】（1）根据抛物线的定义，结合到焦点、轴的距离求，写出抛物线方程.（2）直线的斜率不存在易得与不垂直与题设矛盾，设直线方程联立抛物线方程，应用韦达定理求，，进而求，由题设向量垂直的坐标表示有求直线方程即可.【详解】（1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是，∴，解得，则抛物线方程是（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，∴直线的斜率存在．设直线为，整理得，设，，联立直线与抛物线的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或当时，直线的方程是，不满足，舍去当时，直线的方程是，即，∴直线的方程是19、(1);(2)控制在16转/秒内.【解析】(1)结合已知数据，代入公式中，先求出，然后求出，进而可求出，从而可得回归方程.(2)由题意得，即可求出转速的最高速度.【详解】解：(1)由题意知，，所以，则，即关于的回归直线方程为.(2)由可得，解得，所以机器的运转速度应控制在16转/秒内.20、（1）；（2）相切，证明过程、图形见解析.【解析】（1）根据抛物线的准线方程，结合抛物线标准方程进行求解即可；（2）设出直线AB的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合圆的性质进行求解即可.【小问1详解】因为抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，所以设抛物线C的标准方程为：，因为该抛物线的准线方程为，所以有，所以抛物线C的标准方程；小问2详解】以弦AB为直径的圆与直线相切，理由如下：因为AB是过抛物线C的焦点F的弦，所以直线AB的斜率不为零，设椭圆的焦点坐标为，设直线AB的方程为：，则有，设，则有，因此，所以弦AB为直径的圆的圆心的横坐标为：，以弦AB为直径的圆的直径为：所以弦AB为直径的圆的半径，以弦AB为直径的圆的圆心到准线的距离为：，所以以弦AB为直径的圆与直线相切.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程的根与系数关系是解题的关键.21、（1）在、上是增函数，在上是减函数；（2）在区间，上的最大值为2，最小值为【解析】（1）求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；（2）根据（1）可知，函数在，、上为增函数，在上为减函数，求出端点值和极值，比较即可求出最值【小问1详解】根据题意，由于，，得到，，在、上是增函数，当时，在上是减函数；【小问2详解】