新教材-人教版高中物理必修第二册-第六章-圆周运动-知识点考点重点难点提炼汇总

第六章圆周运动6.1圆周运动 -1-6.2向心力 -9-6.3向心加速度 -16-6.4生活中的圆周运动 -21-专题课向心力的应用和计算 -32-专题课生活中的圆周运动 -36-6.1圆周运动一、圆周运动及线速度1．圆周运动的概念运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动，称为圆周运动。圆周运动为曲线运动，故一定是变速运动。2．线速度(1)定义：做圆周运动的物体，通过的弧长与所用时间的比值叫作线速度的大小。用v表示。(2)表达式：v＝eq\f(Δs,Δt)，单位为米/秒，符号是m/s。(3)方向：线速度是矢量，物体经过圆周上某点时的线速度方向就是圆周上该点的切线方向。(4)物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，当Δt很小时，其物理意义与瞬时速度相同。(5)匀速圆周运动：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。[注意]匀速圆周运动是线速度大小不变的曲线运动，它的线速度方向时刻在变化，因而匀速圆周运动不是匀速运动，严格地说，应该将其称为匀速率圆周运动。二、角速度1．定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，用符号ω表示。2．表达式：ω＝eq\f(Δθ,Δt)。3．国际单位：弧度每秒，符号rad/s。在国际单位制中角的度量单位为“弧度”，在利用公式ω＝eq\f(Δθ,Δt)计算角速度时，Δθ的单位是“弧度”。360°＝2π弧度。4．物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。5．匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。三、周期1．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，用T表示，单位为秒(s)。2．转速：物体转动的圈数与所用时间之比，叫作转速。通常用符号n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。3．物理意义：描述物体做圆周运动的快慢。四、线速度与角速度的关系1．两者关系：在圆周运动中，线速度大小等于角速度的大小与半径的乘积。2．表达式：v＝ωr。描述圆周运动的物理量如图所示是一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时：(1)陀螺绕垂直于地面的轴线稳定旋转时，a、b、c三点角速度和周期各有什么关系？(2)a、b、c三点做圆周运动的线速度有什么关系？提示：(1)ωa＝ωb＝ωc，Ta＝Tb＝Tc。(2)va＝vc>vb。1．描述圆周运动的各物理量之间的关系2．描述圆周运动的各物理量之间关系的分析技巧(1)角速度、周期、转速之间关系的分析：物体做匀速圆周运动时，由ω＝eq\f(2π,T)＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。(2)线速度与角速度之间关系的分析：由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝eq\f(1,r)；ω一定时，v∝r。[特别提示]在讨论v、ω、r三者的关系时，应采用控制变量法，先保持其中一个量不变，再讨论另外两个量之间的关系。ω、T和n三个物理量可相互换算，只要其中一个量确定，其余两个量也就确定了。【例1】某品牌电动自行车的铭牌如下：车型：20寸(车轮直径：508mm)电池规格：36V，12A·h(蓄电量)整车质量：40kg额定转速：210r/min外形尺寸：L1800mm×W650mm×H1100mm充电时间：2～8h电机：后轮驱动、直流永磁式电机额定工作电压/电流：36V/5A根据此铭牌中的有关数据，可知该车的额定时速约为()A．15km/h B．18km/hC．20km/h D．25km/h[思路点拨]车的速度与车轮边缘的线速度大小相等，再根据ω＝eq\f(2πn,60)和v＝ωr可求得车速。C[由题目所给信息可知额定转速n＝210r/min，则车轮转动的角速度ω＝eq\f(2πn,60)，由于车轮直径d＝508mm，则车轮半径r＝eq\f(d,2)＝0.254m，则车轮转动的线速度v＝ωr＝eq\f(2πn,60)·r＝eq\f(2π×210×0.254,60)m/s＝5.6m/s＝20km/h。]求解圆周运动中各物理量间的关系问题时，首先必须明确线速度、角速度、周期、频率即转速等，都是从不同角度描述圆周运动的物理量，通过分析题给条件，弄清问题中哪些物理量不变，然后根据v＝rω，ω＝eq\f(2π,T)，T＝eq\f(1,f)等关系式求解。三种传动方式跷跷板的支点位于板的中点，两个小朋友坐在两端。讨论：(1)在撬动跷跷板的某一时刻，两个小朋友的线速度的大小关系及角速度的大小关系如何？(2)如果跷跷板的支点不在板的中点，线速度和角速度的关系如何？提示：(1)线速度和角速度都相同。(2)角速度相同，线速度不同。1．三种传动装置同轴传动皮带传动齿轮传动装置A、B两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为n1、n2)特点角速度、周期相同线速度大小相同线速度大小相同转动方向相同相同相反规律线速度与半径成正比：eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)角速度与半径成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)周期与半径成正比：eq\f(TA,TB)＝eq\f(R,r)角速度与半径成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(n1,n2)周期与半径成正比：eq\f(TA,TB)＝eq\f(r1,r2)2.求解传动问题的思路(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝eq\f(1,r)分析，若角速度大小相等，则根据v∝r分析。【例2】如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起同轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比。[解析]A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即va＝vb或va∶vb＝1∶1 ①由v＝ωr得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2 ②B、C两轮固定在一起同轴转动，则B、C两轮的角速度相等，即ωb＝ωc或ωb∶ωc＝1∶1 ③由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2 ④由②③得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2由①④得va∶vb∶vc＝1∶1∶2。[答案]1∶2∶21∶1∶2上例中，若C轮的转速为nr/s，其他条件不变，则A轮边缘的线速度和角速度各为多大？提示：由ω＝2πn，vb＝ωrB得va＝vb＝2πn·rBωa＝eq\f(va,rA)＝eq\f(2πnrB,rA)＝πn。传动装置的特点在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量。(1)同轴传动的物体上各点的角速度、转速和周期相等，但在同一轮上半径不同的各点线速度不同。(2)皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的两轮边缘上各点(或咬合的齿轮边缘的各点)的线速度大小相同，角速度与半径有关。圆周运动的周期性和多解问题如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动。讨论：(1)扇叶上的每一点都在做什么运动？(2)观察者感觉扇叶不动，为什么？此时扇叶的转速为多少？提示：(1)扇叶上每一点都在绕风扇转轴做圆周运动。(2)每经过特定的时间扇叶上每一点就会回到初始位置，所以观察者感觉扇叶不动。T＝eq\f(1,45)s，在一个周期T内，扇叶转动的角度应为120°的整数倍，则转动的角速度ω＝eq\f(θ,T)＝30nπrad/s(n＝1，2，3…)，转速n＝eq\f(ω,2π)＝eq\f(30nπ,2π)×60r/min＝900n(r/min)(n＝1，2，3…)1．问题特点(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。2．分析技巧(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。【例3】如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是()A．dveqv\o\al(2,0)＝L2gB．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0，1，2，3…)C．v0＝ωeq\f(d,2)D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0，1，2，3，…)[思路点拨]圆周运动是一种周期性运动，每经过一个周期物体都会回到原来的位置，本题中飞镖恰好击中A点说明在飞镖做平抛运动的这段时间内圆盘应转过的弧度为(2n＋1)π(n＝0，1，2，3，…)。飞镖的水平位移为L，竖直位移为d，根据圆周运动和平抛运动的相关知识求解。B[依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝eq\f(2n＋1π,ω)，平抛的时间t＝eq\f(L,v0)，则有eq\f(L,v0)＝eq\f(2n＋1π,ω)(n＝0，1，2，3，…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝eq\f(1,2)gt2，联立有dω2＝eq\f(1,2)gπ2(2n＋1)2(n＝0，1，2，3，…)，dveqv\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)L2g，A、D错误。]解决圆周运动多解问题的方法(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。6.2向心力一、向心力1．定义做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。2．方向向心力的方向始终沿半径指向圆心。1向心力的方向时刻在变，向心力是变力。2向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。3．公式：Fn＝mω2r或者Fn＝meq\f(v2,r)。4．效果力向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点1．变速圆周运动的合力变速圆周运动所受合外力并不严格指向运动轨迹的圆心。合外力一般产生两个方面的效果：(1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上，改变线速度的大小。(2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向。2．一般曲线运动(1)曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示。(2)处理方法：将曲线分割成为许多很短的小段，这样，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。一般的曲线运动通过以上方法进行处理后，就可以采用圆周运动的分析方法进行处理了。对匀速圆周运动向心力的理解飞机在空中水平面内做匀速圆周运动；在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动。(1)飞机和小球在运动过程中受到哪些力的作用？(2)这些力的合力方向及作用效果是什么？提示：(1)重力和支持力。(2)这些力的合力指向圆心，充当向心力，改变速度的方向。1．匀速圆周运动中向心力的方向：方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。2．向心力的特点：由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力是变力。其作用不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。3．向心力的来源：匀速圆周运动中，向心力等于物体的合外力，常等效为三种情况：合力充当向心力，某一个力充当向心力，某个力的分力充当向心力。向心力来源的实例分析向心力来源实例分析重力提供向心力如图所示，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供弹力提供向心力如图所示，绳子的一端系在光滑水平桌面上的O点，另一端系一小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供摩擦力提供向心力如图所示，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。木块相对圆盘的运动趋势的方向沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反。但是，当圆盘光滑(无摩擦力)时，木块将沿切线方向飞出，说明木块相对于地面的运动趋势的方向沿切线方向，而相对于圆盘的运动趋势的方向沿半径向外合力提供向心力如图所示，细线拉住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线的拉力和小球重力的合力提供分力提供向心力如图所示，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供【例1】如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是()A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用B．老鹰受重力和空气对它的作用力C．老鹰受重力和向心力的作用D．老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用[思路点拨]①分析受哪些力，②分析向心力是什么。B[老鹰在空中做匀速圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力，不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用。选项B正确。]分析向心力来源的思路(1)明确研究对象。(2)确定圆周运动所在平面，明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置。(3)进行受力分析，指向圆心方向的合力即为向心力。实验：探究向心力大小的表达式1.实验装置：向心力演示仪(介绍向心力演示仪的构造和使用方法)[特别提示]向心力演示器原理及实验操作简介1如图所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动。2小球做圆周运动的向心力由横臂挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧测力筒下降，露出的标尺上的红白相间的等分格可显示出两个球所受向心力的比值。3传动皮带分别套在塔轮上的不同圆盘上，可改变两个塔轮的转速比，即改变角速度；球放在长槽上的不同位置，可改变半径；使用不同质量的球可改变质量。2．实验方法：控制变量法3．实验过程(1)保持两个小球质量m和角速度ω相同，使两球运动半径r不同进行实验，比较向心力Fn与运动半径r之间的关系。(2)保持两个小球质量m和运动半径r相同，使两球的角速度ω不同进行实验，比较向心力Fn与角速度ω之间的关系。(3)保持运动半径r和角速度ω相同，用质量m不同的钢球和铝球进行实验，比较向心力Fn与质量m的关系。4．实验结论两球相同的物理量不同的物理量实验结论1m、ωrr越大，Fn越大，Fn∝r2m、rωω越大，Fn越大，Fn∝ω23r、ωmm越大，Fn越大，Fn∝m精确的实验表明向心力的大小可以表示为Fn＝mω2r或Fn＝meq\f(v2,r)或Fn＝m(eq\f(2π,T))2r。【例2】用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。(1)本实验采用的科学方法是________。A．控制变量法 B．累积法C．微元法 D．放大法(2)图示情景正在探究的是________。A．向心力的大小与半径的关系B．向心力的大小与线速度大小的关系C．向心力的大小与角速度大小的关系D．向心力的大小与物体质量的关系(3)通过本实验可以得到的结果是________。A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比[解析](1)这个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，故采用控制变量法，A正确。(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，所以选项D正确。(3)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，所以选项C正确。[答案](1)A(2)D(3)C变速圆周运动与一般曲线运动教材第29页“思考与讨论”答案提示：线速度减小时，物体所受合力的方向与速度方向的夹角大于90°。荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示是荡秋千的情景。(1)当秋千向下荡时，小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn＝meq\f(v2,r)＝mω2r还适用吗？提示：(1)小朋友做的是变速圆周运动。(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点。公式Fn＝meq\f(v2,r)＝mω2r仍然适用。1．变速圆周运动合力的作用效果(1)跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。(2)指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度改变线速度的方向。2．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较匀速圆周运动变速圆周运动线速度特点线速度的方向不断改变、大小不变线速度的大小、方向都不断改变受力特点合力方向一定指向圆心，充当向心力合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力周期性有不一定有性质均是非匀变速曲线运动公式Fn＝meq\f(v2,r)＝mω2r，an＝eq\f(v2,r)＝ω2r都适用3.一般曲线运动(1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。(2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。[特别提示](1)变速圆周运动中，某一点的向心力均可用Fn＝meq\f(v2,r)、Fn＝mrω2公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但在变速圆周运动中它们仍然适用，只不过应用时要注意Fn、ω、v必须是同一时刻的瞬时值。(2)曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向，此点的曲率半径表示曲线在此处的弯曲程度。【例3】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是()甲乙A．eq\f(v\o\al(2,0),g)B．eq\f(v\o\al(2,0)sin2α,g)C．eq\f(v\o\al(2,0)cos2α,g)D．eq\f(v\o\al(2,0)cos2α,gsinα)[思路点拨]物体在轨迹最高点以某一曲率半径做圆周运动的向心力由重力提供，列出重力等于向心力的表达式进行求解。C[斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动：水平方向以速度vx＝v0cosα做匀速直线运动，竖直方向以初速度vy＝v0sinα做匀减速直线运动。到最高点时，竖直方向速度为零，其速度为vP＝v0cosα，且为水平方向。这时重力提供其做圆周运动的向心力，由mg＝meq\f(v0cosα2,ρ′)得ρ′＝eq\f(v\o\al(2,0)cos2α,g)，所以C正确，A、B、D错误。]6.3向心加速度匀速圆周运动的加速度方向和大小1．向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。2．向心加速度方向：总沿半径指向圆心，并且与线速度方向垂直。3．向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变快慢的物理量。4．向心加速度的大小：(1)基本公式an＝eq\f(v2,r)＝ω2r。(2)拓展公式an＝eq\f(4π2,T2)·r＝ωv。匀速圆周运动的向心加速度方向甲乙问题1：图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？问题2：做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？问题3：除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外，你还有什么方法可确定向心加速度的方向？提示：(1)具有加速度。(2)从动力学角度，由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致。(3)从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度方向。对向心加速度的理解方向向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心与该点的线速度方向垂直。向心加速度的方向时刻在改变。作用只改变速度的方向，不改变速度的大小。意义向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，线速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小。[特别提醒]向心加速度方向的推导如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在A、B两点的速度分别为vA、vB，可以分四步确定物体运动的加速度方向。甲乙丙丁第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过A、B两点时的速度方向，分别用vA、vB表示，如图甲所示。第二步，平移vA至B点，如图乙所示。第三步，根据矢量运算法则，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，其方向由vA的箭头位置指向vB的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动，vA、vB的大小相等，所以Δv与vA、vB构成等腰三角形。第四步，假设由A点到B点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A点到B点的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。仔细观察图丁，可以发现，此时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。【例1】下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是()A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B．向心加速度表示角速度变化的快慢C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢D．匀速圆周运动的向心加速度不变C[匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B项错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C项正确；向心加速度的方向是变化的，所以D项错误。]匀速圆周运动的向心加速度大小教材第32页“思考与讨论”答案提示：B、C两点的向心加速度与半径成正比，因为B、C两点同轴转动，角速度ω相同，由an＝ω2r知，an与r成正比；A、B两点的向心加速度与半径成反比，因为A、B两点线速度v大小一样，由an＝eq\f(v2,r)知，an与r成反比。如图所示，两个啮合的齿轮，其中A点为小齿轮边缘上的点，B点为大齿轮边缘上的点，C点为大齿轮中间的点。讨论：A和B、B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？提示：(1)A、B两个点的线速度相同，由an＝eq\f(v2,r)知向心加速度与半径成反比。(2)B、C两个点的角速度相同，由an＝ω2r知向心加速度与半径成正比。1．向心加速度的大小根据牛顿第二定律F＝ma和向心力表达式Fn＝meq\f(v2,r)，可得向心加速度的大小an＝eq\f(v2,r)或an＝ω2r。[特别提示]1.表达式an＝eq\f(v2,r)、an＝ω2r中各物理量是同一时刻的量，即它们是瞬时对应关系。2．表达式an＝eq\f(v2,r)、an＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。2．对向心加速度表达式的理解(1)向心加速度的几种表达式(2)向心加速度的大小与半径的关系①当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。④an与r的关系图像：如图所示，由an­r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。【例2】如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的eq\f(1,3)。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？[思路点拨]①P和S在同一轮上，角速度相同，选用an＝ω2r计算向心加速度。②P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用an＝eq\f(v2,r)计算向心加速度。[解析]同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP由向心加速度公式an＝ω2r，得eq\f(aS,aP)＝eq\f(rS,rP)故aS＝eq\f(rS,rP)aP＝eq\f(1,3)×12m/s2＝4m/s2又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(rQ,rP)故aQ＝eq\f(rP,rQ)aP＝2×12m/s2＝24m/s2。[答案]4m/s224m/s2向心加速度公式的应用技巧6.4生活中的圆周运动一、火车转弯1．火车在弯道上的运动特点火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力。2．火车转弯时向心力的来源分析(1)若转弯时内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，火车的向心力由外轨对车轮轮缘的弹力提供(如图所示)，由于火车的质量很大，转弯所需的向心力很大，铁轨和车轮极易受损。(2)若转弯时外轨略高于内轨，根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适当调整内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力，由重力mg和支持力FN的合力提供，从而减轻外轨与轮缘的挤压，如图所示。二、汽车过拱形桥汽车过拱形桥汽车过凹形桥受力分析向心力Fn＝mg－FN＝meq\f(v2,r)Fn＝FN－mg＝meq\f(v2,r)对桥的压力FN′＝mg－meq\f(v2,r)FN′＝mg＋meq\f(v2,r)结论汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大三、航天器中的失重现象1．向心力分析：宇航员受到的地球引力与飞船座舱对他的支持力的合力为他提供向心力。mg－FN＝meq\f(v2,R)。2．失重状态：当v＝eq\r(gR)时，座舱对宇航员的支持力为零，宇航员处于完全失重状态。四、离心运动1．定义：物体沿切线方向飞出或做逐渐远离圆心的运动。2．原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需向心力。火车转弯教材第36页“思考与讨论”答案提示：利用支持力FN与重力G的合力提供向心力，减轻轮胎与地面的径向摩擦力以防止侧滑。火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图所示，请思考下列问题：重力G与支持力FN的合力F是使火车转弯的向心力1火车转弯处的铁轨有什么特点？火车受力如何？运动特点如何？2火车以规定的速度转弯时，什么力提供向心力？3火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？提示：1火车转弯处，外轨高于内轨；由于外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力；火车转弯处虽然外轨高于内轨，但火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即在同一水平面内做匀速圆周运动，即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。2火车以规定的速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力。3火车转弯时速度过大会对轨道外侧有压力，速度过小会对轨道内侧有压力。1．转弯轨道特点(1)火车转弯时重心高度不变，轨道是圆弧，轨道圆面在水平面内。(2)转弯轨道外高内低，这样设计是使火车受到的支持力向内侧发生倾斜，以提供做圆周运动的向心力。2．转弯轨道受力与火车速度的关系(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则mgtanθ＝meq\f(v\o\al(2,0),R)，如图所示，则v0＝eq\r(gRtanθ)，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tanθ≈eq\f(h,L))，v0为转弯处的规定速度。此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用。(2)若火车行驶速度v0＞eq\r(gRtanθ)，外轨对轮缘有侧压力。(3)若火车行驶速度v0＜eq\r(gRtanθ)，内轨对轮缘有侧压力。[特别提醒]1．转弯轨道受力与火车速度的关系2．其他弯道特点高速公路、赛车的弯道处设计成外高内低，使重力和支持力的合力能提供车辆转弯时的向心力，减少由于转弯产生的摩擦力对行驶车辆的影响，目的是在安全许可的范围内提高车辆的运行速度。【例1】有一列重为100t的火车，以72km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400m。(g取10m/s2)(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。[思路点拨]：①(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力。②(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。[解析](1)v＝72km/h＝20m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：FN＝meq\f(v2,r)＝eq\f(105×202,400)N＝1×105N由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105N。(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtanθ＝meq\f(v2,r)由此可得tanθ＝eq\f(v2,rg)＝0.1。[答案](1)1×105N(2)0.1上例中，要提高火车的速度为108km/h，则火车要想安全通过弯道需要如何改进铁轨？提示：速率变为原来的eq\f(3,2)倍，则由mgtanθ＝meq\f(v2,R)，可知：若只改变轨道半径，则R′变为900m，若只改变路基倾角，则tanθ′＝0.225。火车转弯问题的两点注意(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心。(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。汽车过拱形桥教材第37页“思考与讨论”答案提示：地球可看作一个巨大的拱形桥，由重力与支持力的合力提供向心力，即Fn＝mg－FN＝meq\f(v2,R)，当速度v增大时，汽车对地面的压力减小，当速度增大到v＝eq\r(gR)时，地面对车的支持力等于0，驾驶员与座椅间的压力为0，驾驶员躯体的各部分之间的压力也为0，他有失重的感觉。如图甲、乙为汽车在拱形桥、凹形路面上行驶的示意图，汽车行驶时可以看作圆周运动。甲乙问题1：当你坐汽车经过如图甲所示的桥面时，你有什么感觉？汽车在最高点时对桥的压力会有什么特点？问题2：若质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，桥面的圆弧半径为R。则汽车对桥的压力多大？如果汽车速度不断变大，会出现什么情况？问题3：当你坐汽车经过如图乙所示因下陷形成的凹形路面时，你有什么感觉？汽车在最低点时对路面的压力会有什么特点？问题4：若质量为m的汽车在凹形路面上以速度v行驶，路面的圆弧半径为R。则汽车对凹形路面最低点的压力多大？问题5：汽车对拱形桥的压力小于汽车的重力与汽车对凹形路面的压力大于汽车的重力的原因是什么？与电梯中的超、失重现象背后的原因是否相同？提示：(1)失重的感觉，压力小于重力。(2)由牛顿第二定律知：mg－FN＝meq\f(v2,R)FN＝mg－meq\f(v2,R)当v增大时，FN减小。(3)超重感觉，压力大于重力。(4)由牛顿第二定律知：FN－mg＝meq\f(v2,R)FN＝mg＋meq\f(v2,R)。(5)汽车在拱形桥的最高点，在凹形路面的最低点，压力大于重力与压力小于重力的原因由加速度的方向决定，这种情况与电梯中超、失重现象的原因相同。1．汽车过拱形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力。如图甲所示。由牛顿第二定律得：G－FN＝meq\f(v2,r)，则FN＝G－meq\f(v2,r)。汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即F′N＝FN＝G－meq\f(v2,r)，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小。(1)当0≤v<eq\r(gr)时，0<FN≤G。(2)当v＝eq\r(gr)时，FN＝0.(3)当v>eq\r(gr)时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。甲乙2．汽车过凹形桥如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则FN－G＝meq\f(v2,r)，故FN＝G＋meq\f(v2,r)。由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力F′N＝G＋meq\f(v2,r)，大于汽车的重力。【例2】如图所示，质量m＝2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60m。如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N(g取10m/s2)，则：(1)汽车允许的最大速率是多少？(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？[解析](1)汽车在凹形桥面的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的最大支持力FN1＝3.0×105N，根据牛顿第二定律得FN1－mg＝meq\f(v2,r)即v＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(FN1,m)－g))r)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3.0×105,2.0×104)－10))×60)m/s＝10eq\r(3)m/s＜eq\r(gr)＝10eq\r(6)m/s故汽车在凸形桥最高点上不会脱离桥面，所以最大速率为10eq\r(3)m/s。(2)汽车在凸形桥面的最高点时，由牛顿第二定律得mg－FN2＝meq\f(v2,r)则FN2＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g－\f(v2,r)))＝2.0×104×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(300,60)))N＝1.0×105N由牛顿第三定律得，在凸形桥面最高点汽车对桥面的压力为1.0×105N。[答案](1)10eq\r(3)m/s(2)1.0×105N对于汽车过桥问题，具体的解题步骤如下：(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径；(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出，明确向心力的来源；(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。航天器中的失重现象甲乙丙问题1：如图甲、乙所示，太空中的小球与陀螺相对于太空航处于静止状态，没有下落。它们受到地球对它的引力吗？为什么？问题2：如图丙所示，如果把地球看作一个巨大的拱形桥，汽车速度多大时，支持力会变成0？此时汽车是否就成了环绕地球飞行的物体？问题3：王亚萍相对地球做什么运动？半径近似为多少？受什么力作用？向心加速度的方向指向哪？问题4：你所列的方程是怎样的？所得到的答案是什么？提示：(1)受地球的引力。正因为受地球引力，这个引力提供向心力，使得小球与陀螺才能相对太空舱静止，围绕地球做匀速圆周运动。(2)当v＝eq\r(gR)时，FN＝0，此时汽车就成了环绕地球飞行的物体。(3)做圆周运动，半径近似认为等于地球半径，受地球的吸引力，向心加速度始终指向地心。(4)mg＝meq\f(v2,R)v＝eq\r(gR)。人造卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天器进入轨道后可近似认为绕地球做匀速圆周运动，此时地球引力提供了卫星做圆周运动的向心力。航天器中的人和物随航天器一起做圆周运动，其向心力由地球引力和支持力的合力提供。若地球引力全部用来提供向心力，不对其他物体产生压力，则里面的人和物处于完全失重状态。此时，mg＝meq\f(v2,R)，所以v＝eq\r(Rg)(式中g为航天器所在处的重力加速度，R为航天器做匀速圆周运动的半径)。[特别提醒]1.航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受地球引力。反而是因为受到地球引力作用才使航天器连同其中的宇航员能环绕地球转动。2．物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力消失。3．物体的速度不断变化，具有加速度，处于非平衡状态。【例3】“神舟十号”飞船绕地球的运动可视为匀速圆周运动，“神舟十号”航天员在“天宫一号”中展示了失重环境下的物理实验或现象，下列四幅图中的行为可以在“天宫一号”舱内完成的有()ABCDA．用台秤称量重物的质量B．用水杯喝水C．用沉淀法将水与沙子分离D．给小球一个很小的初速度，小球就能在竖直面内做圆周运动D[重物处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤称量重物的质量，故A错误；水杯中的水处于完全失重状态，不会因重力而流入嘴中，故B错误；沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故C错误；小球处于完全失重状态，给小球一个很小的初速度，小球能在拉力作用下在竖直面内做圆周运动，故D正确。][解题误区]航天器的失重不能理解为不受重力作用，只是重力完全提供向心力。离心运动链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。甲乙(1)链球飞出后受几个力？(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？(3)物体做离心运动的条件是什么？提示：(1)重力和空气阻力。(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的合力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。(3)物体受到的合力不足以提供其运动所需的向心力。1．离心运动的实质离心现象的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来。2．离心运动的条件做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力。3．离心运动、近心运动的判断如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需向心力eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m\f(v2,r)或mrω2))的大小关系决定。(1)若Fn＝mrω2(或meq\f(v2,r))即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。(2)若Fn＞mrω2(或meq\f(v2,r))即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。(3)若Fn＜mrω2(或meq\f(v2,r))即“提供”不足，物体做离心运动。[特别提醒]1.产生离心运动的原因是合力突然消失或不足以提供所需的向心力，而不是物体又受到了“离心力”。2．做离心运动的物体是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出去的运动，而不是沿半径方向飞出去。4．离心运动的应用和防止(1)应用：离心干燥器，洗衣机的脱水筒，离心制管技术。(2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶，转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。【例4】如图所示是摩托车比赛转弯时的情形。转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是()A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去B[摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误。]专题课向心力的应用和计算匀速圆周运动问题求解1．匀速圆周运动的特点线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、频率都恒定不变；向心加速度和向心力大小都恒定不变，但方向时刻改变。2．求解步骤解决匀速圆周运动相关问题的方法就是解决动力学问题的一般方法，其解决问题的步骤也是解决动力学问题的步骤，但要注意灵活运用匀速圆周运动的一些运动学规律，同时在解题的过程中要弄清匀速圆周运动问题的轨道平面、圆心和半径等。3．几种常见匀速圆周运动的向心力分析图形受力分析以向心加速度方向为x轴正方向建立坐标系，将各力进行正交分解根据牛顿第二定律和向心力公式列关系式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(FTcosθ＝mg,FTsinθ＝,mω2lsinθ))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(FNcosθ＝mg,FNsinθ＝mω2r))在水平面上eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F升cosθ＝mg,F升sinθ＝mω2r))在光滑水平面上eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(FN＝mAg,F拉＝mBg＝,mAω2r))【例1】如图所示，一长为L的细绳一端固定在天花板上，另一端与一质量为m的小球相连接。现使小球在一水平面内做匀速圆周运动，此时细绳与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度大小为g。(1)求维持小球做圆周运动的向心力大小Fn；(2)求小球做圆周运动的线速度大小v；(3)某同学判断，若小球的线速度增大，细绳与竖直方向的夹角θ也将增大，但θ不能等于90°。试证明当θ趋近于90°时，细绳对小球的拉力将趋近于无穷大。[解析](1)小球做匀速圆周运动时受细线的拉力和重力作用，由向心力的定义及力的合成法则得Fn＝F合＝mgtanθ。(2)由向心力的公式得mgtanθ＝meq\f(v2,R)，又R＝Lsinθ，所以v＝eq\r(gLtanθsinθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\r(\f(gL,cosθ))sinθ))。(3)细绳对小球的拉力FT＝eq\f(mg,cosθ)，当θ趋近于90°时，cosθ趋近于0，所以FT趋近于无穷大。[答案](1)mgtanθ(2)eq\r(gLtanθsinθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\r(\f(gL,cosθ))sinθ))(3)见解析向心力是效果力，它由某一个力，或某一个力的分力，或几个力的合力提供，它不是性质力，分析物体受力时不能分析向心力。同时，还要清楚向心力的不同的表达式。两根长度不同的细线下面分别悬挂着小球，细线上端固定在同一点。若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则图中两个小球在运动过程中的相对位置关系示意图正确的是()ABCDB[如图所示，小球做匀速圆周运动，对小球受力分析，根据向心力的公式有mgtanθ＝mω2Lsinθ，整理得Lcosθ＝eq\f(g,ω2)，eq\f(g,ω2)是常量，即两球处于同一高度，B正确。]圆周运动中的临界问题关于圆周运动的临界问题，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识列方程求解。1．与绳的弹力有关的临界问题此问题要分析出绳子恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)等。2．与支持面弹力有关的临界问题此问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)等。3．因静摩擦力而产生的临界问题此问题要分析出静摩擦力达最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)等。【例2】(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力为Fmax＝6.0N，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量m＝1.0kg的物体，当转台以角速度ω＝5rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10m/s2，M、m均视为质点)()A．0.04mB．0.08mC．0.16mD．0.32mBCD[当M有远离轴心运动的趋势时，有mg＋Fmax＝Mω2rmax，解得rmax＝eq\f(mg＋Fmax,Mω2)