多值因果图中的原因分析和推理

多值因果图中的原因分析和推理

1海水淡化工程在故障诊断领域的应用动态因果图理论（以下简称因果图理论）是结合故障树和信度网络等不确定性模型的优点而发展起来的一种不确定性知识表达和推理模型。它在最初的研究中得到了验证和应用，不仅鸡角诊断系统的系统如此，而且还具有重要的应用前景。预测分析、问题响应（例如，识别实体关系）和知识处理中的相关数据。近年来,因果图理论在多值离散因果图、连续因果图、高效的精确推理和近似推理算法上取得了一定的研究成果.目前已建立的动态因果图理论虽能严格处理单值问题,但对多值问题而言还存在下文所指出的知识表达独立性与知识本身相关性的矛盾问题,解决这一问题成为动态因果图理论能更加广泛应用的关键.2x为相互独立的时下面先看一个例子,如图1所示,A和B为基本事件,是中间事件X的两个输入节点,A、B和X均为两态(A1、A2,B1、B2,X1、X2),PAX为A引起X发生的连接事件,PBX为B引起X发生的连接事件.更确切地说,P11AX11AX为A1引起X1发生的连接事件,P12AX为A1引起X2发生的连接事件.如此类推,我们有P21AX、P22AX、P11BX、P12BX、P21BX、P22BX.根据文献中因果图知识独立性的要求,A、B及PAX和PBX是相互独立的.于是,就可能出现A1发生、P11AX发生,从而导致X1发生;同时B1发生、P12BX发生,从而导致X2发生的状况.这就产生了一个问题,按照单值因果图的推理思路,将得出X1和X2同时发生的推理结果,但X只能处在其中一个状态,两个状态不能同时发生,即X1和X2是互斥的.实际上,出现上述问题的原因在于多值因果图为满足领域专家给定知识的独立性要求,表达知识时在一定程度上放宽了对知识相关性的约束.因此可以认为在多值情况下,存在知识表达的独立性与同一变量不同状态相关性(互斥)之间的矛盾,简单来说,存在知识独立性与相关性的矛盾.为了解决这个矛盾,我们需要在多值因果图中作一个基本假设:假设1:假定在多值因果图中原因节点对结果节点只贡献概率值,且每个贡献是简单相加的关系.这里将原来在单值因果图中的关于“如果原因节点事件发生并且连接事件发生必然导致结果事件发生”的基本假设修改为:在多值因果图中,原因节点对结果节点状态的影响是非直接的,原因节点只影响结果节点各状态的概率分布,结果节点的状态由这个状态概率分布随机决定.这样的假设显然也是合理的.那么对于上例出现的问题,在某一具体时刻,如果A1发生、P11AX发生,我们可以认为其对X1的发生概率贡献了1;B1发生、P12BX发生对X2的发生概率也贡献了1.由于X1和X2的概率分布之和为2,不归一,因而必须进行归一化处理,即将两个概率分布值均除以2,得到X1和X2的实际发生概率均为0.5,最后,X究竟处在哪个状态由这个概率分布随机决定.这样,我们就解决了这个问题.3归一化常数的推导然而,在实际计算中,我们首先要用逻辑展开的办法处理因果循环等问题,并将每个节点事件表达为最终割集表达式DCS-f,然后才能进行概率计算.在这个过程中,上述归一化处理无法进行.而如果不进行归一化处理,就可能出现某节点概率分布不归一,导致整个计算出现错误.为此,归一化最好在逻辑展开之前完成.实际上,我们只要在连接事件的概率值上除以一个归一化常数即可.归一化常数的推导如下.设结果节点Y有m个状态、n个原因节点Xk(k=1,2,…,n),Xk有mk个状态,第i个状态与结果节点Y的第j个状态之间的连接事件为PijΚY,PijΚY的概率值为Pr{PijΚY}≡pijΚY,其中Pr{·}为取括号内的事件概率值算符.于是假设1可表示为:Ρr{Yj}=n∑k=1mk∑i=1Ρr{Xik}pijΚY(1)则节点Y的各状态概率之和为:m∑j=1Ρr{Yj}=m∑j=1n∑k=1mk∑i=1Ρr{Xik}pijΚY=n∑k=1mk∑i=1m∑j=1Ρr{Xik}pijΚY=n∑k=1mk∑i=1(Ρr{Xik}m∑j=1pijΚY)(2)如果令λk≡m∑j=1pijΚY‚i=1,2,⋯,mk,即令原因节点的任一状态导致结果节点的所有状态发生概率之和均等于一个常数λk(λk∈(0,1],与原因节点状态i无关),则上式变为:m∑j=1Ρr{Yj}=n∑k=1mk∑i=1Ρr{Xik}λk=n∑k=1λkmk∑i=1Ρr{Xik}=n∑k=1λk≡λ(3)这里,mk∑i=1Ρr{Xik}=1.如果将Y的所有原因节点的连接事件的概率值均除以λ,则归一化就完成了:m∑j=1Ρr′{Yj}=m∑j=1n∑k=1mk∑i=1Ρr{Xik}pijΚY/λ=λ/λ=1(4)因此λ可以称为结果节点Y的归一化常数.上述推导的关键在于假设λk≡m∑j=1pijΚY‚i=1,2,⋯,mk,是一个与原因节点Xk的状态i无关的常数.实际上,λk表征了原因节点Xk与结果节点Y之间的相关性.当λk=1时,两者为完全相关;当λk=0时,两者完全无关.由于完全无关的情况就是两者之间无连接.既然两者之间有连接,λk就必须大于0.这就是为什么λk的定义域为(0,1]这样一个区间的原因.根据上述理由,我们称λk为原因节点Xk与结果节点Y之间的相关度.实际操作时,我们首先确定λk,缺省情况下,我们可以认为λk=1,即完全相关,由此可以算出λ=n∑k=1λk,然后按归一化的方式给出pijΚY(即m∑j=1pijΚY=1),最后将所有的pijΚY均乘以λk,再除以λ即可.由此我们可以得出如下推论.推论1:令λk为原因节点Xk与结果节点Y之间的相关度,则在基于假设1进行的多值因果图推理过程中存在归一化常数λ,λ=n∑k=1λk,可以在推理前将Y的所有原因节点的连接事件的概率值均除以λ,然后进行数值运算,使得推理过程满足概率推理中的归一性要求.4y有pijyy逻辑展开逻辑互斥的假设推理推理推理推理推理以上讨论解决了多值因果图中Y的归一化问题,但还存在另外一个问题,就是表达Y的不同状态的逻辑函数间的互斥性还不能得到保证,因为原因节点及其连接事件是相互独立地给出的.比如,假定Y有两个状态Yj和Yj′,由因果图定义知:Yj=∪k=1,⋯,ni=1,⋯,mkXikΡijΚY(5)Yj′=∪k=1,⋯,ni=1,⋯,mkXikΡij′ΚY(6)我们知道两个等式左边的Yj和Yj′是互斥的,那么等式右边的逻辑函数也应该是互斥的,然而由于X和P是相互独立给出的,我们这时并不能保证这两个逻辑函数是互斥的.为解决这个问题,我们先来考虑多值因果图的两个性质.性质1:如果对于所有i≠i′或j≠j′或K≠K′,都有PijΚY∩Pi′j′Κ′Y=ϕ,则表达Y的不同状态的逻辑函数间互斥,且Y在逻辑展开时不需要进行不交化.推导如下:对于式(5),由条件PijΚY∩Pi′j′Κ′Y=ϕ可得XikPijΚY∩Xi′k′Pi′j′Κ′Y=ϕ,又由概率论知,当事件A和B互斥时有A∪B=A+B,“+”表示“互斥或”,显然可得Yj=+k=1,⋯,ni=1,⋯,mkXikΡijΚY,因此,Y在逻辑展开时不需要进行不交化.这样当j≠j′时,Yj∩Yj′=(+k=1,⋯,ni=1,⋯,mkXikΡijΚY)∩(+k′=1,⋯,ni′=1,⋯,mkXi′k′Ρi′j′Κ′Y)=k′=1,⋯,ni′=1,⋯,mk+k=1,⋯,ni=1,⋯,mkXikΡijΚYXi′k′Ρi′j′Κ′Y=ϕ,即表达Y的不同状态的逻辑函数间互斥.性质2:在基于假设1进行的多值因果图推理过程中,可以假定指向同一节点的各连接事件的各状态之间彼此互斥,即对于所有i≠i′或j≠j′或K≠K′都有PijΚY∩Pi′j′Κ′Y=ϕ,这样并不影响推理结果.推导如下:当假定指向同一节点的各连接事件的各状态之间彼此互斥时,由性质1的推导过程可知Yj=+k=1,⋯,ni=1,⋯,mkXikΡijΚY,又由概率论知:Pr{A+B}=Pr{A}+Pr{B},其中“+”表示“互斥或”,于是有Ρr{Yj}=n∑k=1mk∑i=1Ρr{XikΡijΚY},与假设1的式(1)完全一致.当然,在上述推导中,由于Xik与PijΚY的对称性,可以同样得出即使假定Xik间彼此互斥,也不会影响推理结果的结论,但由于在逻辑展开时,如果Xik不是基本事件,它将被继续展开为仅由基本事件和连接事件表示的最终割集表达式,在逻辑化简的过程中不具备可操作性,故而不采用此假定.这样,根据性质1和性质2,显然有如下的推论2.推论2:在基于假设1进行的多值因果图推理过程中,可以假定指向同一节点Y的各连接事件的各状态之间彼此互斥,这样就保证了Y的不同状态间互斥,且Y在逻辑展开时不需要进行不交化操作.5节点事件3g的多值因果图下面将以文献中的图1为例,对本文提出的方法作一验证.如图2所示,图中符号定义如下:B1=[B11B21]∶[0.80.2],B2=[B12B22]∶[0.70.3]X3=[X13X23],Ρ13=[Ρ1113Ρ2113Ρ1213Ρ2213]∶[0.90.30.10.7]Ρ23=[Ρ1123Ρ2123Ρ1223Ρ2223]∶[0.80.40.20.6]首先对连接事件进行归一化处理,由图2知,X3的归一化常数λ=2,则:Ρ´13=[Ρ1113/λΡ2113/λΡ1213/λΡ2213/λ]:[0.450.150.050.35]Ρ´23=[Ρ1123/λΡ2123/λΡ1223/λΡ2223/λ]:[0.40.20.10.3]再根据因果图定义可得到如下逻辑公式:[X13X23]=[Ρ1113Ρ2113Ρ1213Ρ2213][B11B21]∪[Ρ1123Ρ2123Ρ1223Ρ2223][B12B22]=[(Ρ1113B11+Ρ2113B21)∪(Ρ1123B12+Ρ2123B22)(Ρ1213B11+Ρ2213B21)∪(Ρ1223B12+Ρ2223B22)]=[Ρ1113B11+Ρ2113B21+Ρ1123B12+Ρ2123B22Ρ1213B11+Ρ2213B21+Ρ1223B12+Ρ2223B22](7)对X3的两状态进行“交”运算,并由假设2可得:X13∩X23=(P1113B11+P2113B21+P1123B12+P2123B22)∪(P1213B11+P2213B21+P1223B12+P2223B22)=ϕ(8)再进行数值计算得:Pr{X13}=Pr{P1113}Pr{B11}+Pr{P2113}Pr{B21}+Pr{P1123}Pr{B12}+Pr{P2123}Pr{B22}=0.45×0.8+0.15×0.2+0.4×0.7+0.2×0.3=0.73Pr{X23}=0.05×0.8+0.35×0.2+0.1×0.7+0.3×0.3=0.27Pr{X13}+Pr{X23}=0.73+0.27=1(9)由式(8)、(9)可知节点事件X3的两个状态互斥且完备,完全满足概率论的要求.同时对于文献中的两个问题而言,问题(1)显然得到了解决,而且由于问题(2)是由问题(1)引起的,如果解决了问题(1),问题(2)将不复存在.这表明,采用本文的方法,文献中所指