江西省南昌市南昌外国语集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

2023-2024学年第一学期期中质量检测九年级数学试卷说明：1.本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效。一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.方程的根是（）A. B. C.， D.，3.二次函数的图象的顶点坐标是（）A. B. C. D.4.如图为的直径，，则（）A.55° B.50° C.45° D.40°5.如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（）A.160° B.162° C.164° D.170°6.如图是二次函数图象的一部分，是对称轴，且经过点.有下列判断：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则.其中正确的是（）A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______.8.一元二次方程的两个根为，则______.9.抛物线的对称轴是直线，则______.10.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形.如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径______米.11.如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，且，则______.12.若关于的函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为______.三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.解下列方程：（1）；（2）.14.已知关于的方程.（1）若该方程的一个根是，求该方程的另一个根；（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.15.已知二次函数（）中，函数与自变量的部分对应值如表：…02……5…（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；（2）求出该函数图象与轴的交点坐标.16.如图，经过，，三个格点，请仅用无刻度的直尺作图.（1）画出圆心；（2）画弦，使平分.17.如图，是的直径，是的弦，半径于点.（1）求证；（2）若，，求.四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，点是等边内一点，，，将绕点按顺时针旋转60°，得，连接.（1）当时，试判断的形状，并说明理由；（2）直接写出为多少度时，是等腰三角形.19.如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分，于点.（1）求证；（2）若，，求的长.20.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元.为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件.（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元；（2）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元.五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽与桥长均为，在距离点6米的处，测得桥面到桥拱的距离为，以桥拱顶点为原点，桥面为轴建立平面直角坐标系.图1图2（1）求桥拱顶部离水面的距离；（2）如图2，桥面上方有3根高度均为的支柱，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值.22.材料背景：如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程式“邻根方程”.例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”.知识应用：（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①；②.拓展延伸：（2）已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值.综合探究：（3）若关于的一元二次方程（，是常数，且）是“邻根方程”，令，求当为何值时，的最大值是多少.六、解答题（本大题共12分）23.如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点.图1图2（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标.当为何值时，的面积最大？并求出这个面积的最大值；（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线（），平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

2023—2024学年第一学期期中质量检测初三年级数学学科试卷参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.A2.C3.D4.B5.C6.B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.8.39.210.1011.30°12.2或或3三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.解：（1），，或.（2），或；14.解：（1）将代入方程，得，，设另外一个根为，由根与系数的关系可知：，，（2）由题意可知：，不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根15.解：（1）由题意，得.将点，代入，得解得.顶点坐标为.（2）当时，，解得：或，函数图象与轴的交点坐标为，.16.解：（1）如图，点为所求，（2）线段即为所求.17.（1）证明：是直径，，，，，；（2）解：设，，，，在中，，，，或（舍去），.四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.解：（1）当时，是直角三角形.理由如下：绕点按顺时针方向旋转60°得，，绕点按顺时针方向旋转60°得，，，是等边三角形.，当时，是直角三角形.（2），.是等边三角形，，，，①当时，，解得：②当时，，解得：，③当时，，解得：，，..19.（1）证明：平分，，，，，，，；（2）解：过点作，垂足为点.平分，，，，，在和中，，，，在和中，，，，.20.解：（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出件，由题意，得，即：，解，得，，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为20，所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件袝衫应降价20元；（2）设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元，由题意，得，当元时，该函数取得最大值为1250元，所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元.五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.解：（1）根据题意可知点的坐标为，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：.将代入有：，求得，，当时，，桥拱顶部离水面高度为.（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，可设其表达式为，将代入其表达式有：，求得，右边钢缆所在抛物线表达式为：，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：②设彩带的长度为，则，当时，，答：彩带长度的最小值是.22.解：（1）①，，或，解得，，方程不是“邻根方程”；（2），，或，解得，，方程是“邻根方程”；②设方程的较小的一根为，则另一根为，，，，，解得或；（3）设方程的较小的一根为，则另一根为，，，，，，且，，，，当时，有最大值为66.六、解答题（本大题共12分）23.解：（1）将点和点代入，得，解得，；（2）令，则，，设直线的解析式为，则有，解得，过点作轴交于，由已知可得，则，，当时，有最大值，此时；（3），将