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文档简介
2023-2024学年甘肃省庆阳市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1.关于命题“,”,下列判断正确的是(
)A.该命题是全称量词命题,且是真命题 B.该命题是存在量词命题,且是真命题C.该命题是全称量词命题,且是假命题 D.该命题是存在量词命题,且是假命题【正确答案】B【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断.【详解】该命题是存在量词命题,当时,,所以该命题为真命题.故选:B.2.设集合,,则(
)A. B. C. D.【正确答案】C【分析】求集合中函数的值域,解集合中一元二次不等式,得到两个集合,再求【详解】函数值域为,∴,不等式解得,∴,则.故选:C3.下列函数为增函数的是(
)A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据函数的单调性逐项判断即可.【详解】函数与在定义域内为减函数,不符合题意;函数在上为减函数,不符合题意;根据幂函数的性质知为增函数.故选:B.4.函数的部分图像大致为(
)A. B.C. D.【正确答案】A【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项.【详解】函数的定义域为,,因此是上的偶函数,其图象关于轴对称,选项C,D不满足;又,所以选项B不满足,选项A符合题意.故选:A5.已知,,,则(
)A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的性质比较即可.【详解】因为,,,所以.故选:D.6.已知幂函数的图象过点,若,则的取值范围为(
)A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式,可得其为奇函数,且在上单调递增,可转化为,根据单调性即可求解.【详解】设幂函数,其图象过点,所以,解得,所以.因为,所以为奇函数,且在上单调递增,所以可化为,可得,解得,所以的取值范围为.故选:C.7.下列式子中,可以是函数为奇函数的充分必要条件为(
)A. B.C., D.,【正确答案】C【分析】利用三角函数的奇偶性和充要条件的定义判定即可.【详解】若为奇函数,则,解得;当时,有,则函数为奇函数.所以函数为奇函数的充分必要条件为,故选:C8.已知函数满足,若与的图像有交点,,,则(
)A. B.0 C.3 D.6【正确答案】C【分析】两个函数图像都关于点对称,则图像交点也关于点对称,可求值.【详解】由可得,函数的图像上任意一点关于点的对称点为,即点,由也满足函数解析式,可得函数的图像关于点对称,函数的图像可以由奇函数的图像向上平移1个单位得到,所以函数的图像也关于点对称,若与的图像有交点,,,不妨设,由对称性可得,,,,所以.故选:C二、多选题9.下列命题正确的是(
)A.若,,则 B.若,则C.若且,则 D.若正数a,b满足,则【正确答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用,逐个判断选项.【详解】由不等式的性质可知,A正确,B错误;当时,,C错误;正数a,b满足,则,当且仅当时,等号成立,D正确.故选:AD.10.设函数,则(
)A.是偶函数 B.在上单调递减C.的最大值为 D.是的一个零点【正确答案】AC【分析】根据函数解析式,研究函数的奇偶性、单调性、最值和零点,验证各选项的结论.【详解】函数,由得的定义域为,关于坐标原点对称,又,所以为定义域上的偶函数,A选项正确;令,则,由二次函数的性质,当时,为增函数;当时,为减函数;在定义域内为增函数,由复合函数的单调可知,在上单调递增,在上单调递减,B选项错误;由函数单调性可知,最大值为,C选项正确;,解得,则的零点为,D选项错误.故选:AC.11.现代研究结果显示,饮茶温度最好不要超过60℃.一杯茶泡好后置于室内,1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃,65℃,给出两个茶温T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟,)的函数模型:①;②.根据所给的数据,下列结论中正确的是(
)(参考数据:,)A.选择函数模型①B.选择函数模型②C.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟D.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟【正确答案】AD【分析】将分别代入与,从而可判断AB;解不等式可得判断CD.【详解】将代入,得;将代入,得.故选择函数模型①.由,可得,故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分.故选:AD.12.高斯是德国的天才数学家,享有“数学王子”的美誉,以“高斯”命名的概念、定理、公式很多,如高斯函数,其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作.如,,,记函数,则(
)A. B.的值域为C.在上有5个零点 D.,方程有两个实根【正确答案】BD【分析】根据高斯函数的定义,结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】,选项A错误;当时,,当时,,;当时,,……以此类推,可得的图象如下图所示,由图可知,的值域为,选项B正确;由图可知,在上有6个零点,选项C错误;,函数与的图象有两个交点,如下图所示,即方程有两个根,选项D正确.故选:BD三、填空题13.“数摺聚清风,一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句,折扇出入怀袖,扇面书画,扇骨雕琢,是文人雅士的宠物,所以又有“怀袖雅物”的别号.如图,这是折扇的示意图,已知为的中点,,,则此扇面(扇环)部分的面积是__________.【正确答案】【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积.【详解】.故答案为.14.已知,则__________.【正确答案】##【分析】利用同角三角函数的关系,求出函数解析式,再代入求值.【详解】已知,因为,所以令,则,则.故15.已知,函数,已知有且仅有5个零点,则的取值范围为__________.【正确答案】【分析】当时,在上无零点,所以在上有且仅有5个零点;当时,在上恰有一个零点,所以在上有且仅有4个零点,利用正弦函数的图象列式可求出结果.【详解】当时,,令,得,若,即时,在上无零点,所以在上有且仅有5个零点,当时,,所以,即.若,即时,在上恰有一个零点,所以在上有且仅有4个零点,所以,即,又,所以.综上所述:的取值范围为.故答案为.四、双空题16.已知函数是奇函数,当时,,,则__________.当时,__________.【正确答案】
##
【分析】利用是奇函数,由,代入函数解析式解出的值;由时的函数解析式利用奇函数的性质求时的解析式.【详解】因为是奇函数,所以,解得;因为当时,,当时,,则.故;五、解答题17.已知是第二象限角,且.(1)求的值;(2)求的值.【正确答案】(1);(2).【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程,根据所在的象限即可求解;(2)根据诱导公式可得原式,分子分母同时除以即可求解.【详解】(1)由,可得,即,解得或.因为是第二象限角,所以.(2).18.已知函数的定义域为集合,集合.(1)当时,求;(2)若命题:,是假命题,求的取值范围.【正确答案】(1);(2).【分析】(1)求出函数的定义域可得集合,代入,根据集合的补集与并集运算即可求解;(2)由题意可得,分与讨论列式即可求解.【详解】(1)要使函数有意义,则解得,所以集合,.因为,所以.(2)因为命题:,是假命题,所以.当时,,解得;当时,则或,解得.综上,的取值范围为.19.已知幂函数在上单调递增.(1)求的值域;(2)若,,求的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】(1)根据幂函数的定义及单调性列式求解即可;(2)由题意可得,,根据二次函数的性质求出的最大值即可.【详解】(1)因为幂函数在上单调递增,所以,解得,所以.故的值域为.(2)由题可得,,则,当时,有最大值2,则,即的取值范围为.20.已知函数.(1)证明:当时,在上至少有两个零点;(2)当时,关于的方程在上没有实数解,求的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)通过零点存在性定理即可判断零点个数;(2)易判断函数的单调性,求出的值域,结合题设条件,即可求得的取值范围.【详解】(1)当时,,因为,,,所以,,因此,,,,即在上至少有两个零点.(2)当时,,易知在上单调递增.又,,即的值域为,且关于的方程在上没有实数解,所以的取值范围为.21.对于函数,若在定义域内存在两个不同的实数x,满足,则称为“类指数函数”.(1)已知函数,试判断是否为“类指数函数”,并说明理由;(2)若为“类指数函数”,求a的取值范围.【正确答案】(1)不是“类指数函数”(2)【分析】(1)是否为“类指数函数”,可以转化为方程是否存在两个不同的实数根;(2)是否为“类指数函数”,转化为方程是否存在两个不同的实数根,进一步化简、换元转化为一元二次方程求解.【详解】(1)若函数为“类指数函数”,则在定义域内存在两个不同的实数x满足方程,.由于函数与在R上均单调递增,所以在R上均单调递增,至多有一个零点,所以不是“类指数函数”.(2)若函数为“类指数函数”,则方程有两个不同的实数根,即方程有两个不同的实数根,整理得,设,则方程有两个不等的正根,,由,解得或;由,解得;由,解得.所以.故a的取值范围.22.已知函数的部分图像如图所示.(1)求函数的解析式;(2)将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到的图像,求函数的单调递增区间;(3)在第(2)问的前提下,对于任意,是否总存在实数,使得成立?若存在,求出实数的值或取值范围;若不存在,说明理由.【正确答案】(1)(2)(3)存在,【分析】(1)由题知,,求出从而得的值,将特殊点代入函数中求出,即可解决问题;(2)根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式,根据函数解析式求解单调区间即可;(3)假设存在实数的值或取值范围满足题意,根据所给条件先由,得,再根据所给的角把范围求出来,根据范围的包含关系列出不等式解出即可.【详解】(1)由图可知,,则,,所以,.所以,即又,所以当时,,所以.(2)将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得:,再向右平移个单位长度得到:,由,,解得,,所以函数的单调递增区间为(3)由,得,由,得,所以,所以.又,得,所以.由题可知,得,解得,所以存在,使得成立.2023-2024学年甘肃省庆阳市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1.下列各项中,不能组成集合的是A.所有的正数 B.所有的老人C.不等于0的数 D.我国古代四大发明【正确答案】B【分析】根据集合的三要素:确定性、互异性、无序性得到选项.【详解】集合中的元素具有确定性,老人的标准不确定,元素不能确定,故所有的老人不能构成集合,故选B.本题考查集合中元素满足的三要素:确定性、互异性、无序性.2.设集合,则(
)A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}【正确答案】C【分析】首先用列举法表示集合,再根据并集的定义计算可得;【详解】解:因为,,所以故选:C3.宁县二中共有学生3000人,其中高一级800人,现在全体学生中抽取一个容量为90的样本进行“学习兴趣”调查,则在高一级应抽取(
)人A.22 B.24 C.26 D.28【正确答案】B【分析】根据给定条件,求出抽样比即可求解作答.【详解】依题意,抽样比为,所以高一级应抽取人数为.故选:B4.一组数据6,7,8,8,9,10的方差是(
)A.8 B.9 C. D.【正确答案】D【分析】利用平均数、方差的定义直接计算作答.【详解】数据6,7,8,8,9,10的平均数为,所以所求方差为.故选:D5.函数,当m为(
)时,函数没有零点.A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】D【分析】根据函数零点的概念、一元二次方程根的判别式进行求解判断.【详解】函数没有零点,等价于方程无实数根,由有,,故A,B,C错误.故选:D.6.某同学居住地距离学校1km,某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟,到早餐店买早餐耽搁1分钟后步行到达学校,与此事实吻合最好的图象是(
)A. B.C. D.【正确答案】A【分析】结合题意分析即可求解.【详解】该同学从居住地出发,一开始距离学校距离为1km,排除C、D,先跑步3分钟,再买早餐耽搁1分钟,最后步行,速度比跑步要慢一些,所以相对而言,A选项更合适.故选:A.7.已知函数以上函数中,幂函数的个数是(
)A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】C【分析】根据给定条件,利用幂函数的定义判断各个函数作答.【详解】函数叫幂函数,其中是自变量,是常数,函数可化为:,因此函数都是幂函数,函数都不是幂函数,所以幂函数的个数是3.故选:C8.已知,那么(
)A. B. C. D.2【正确答案】B【分析】令,可得,进而代入解析式即可求解.【详解】令,且,解得,所以.故选:B.9.已知函数,若,则(
)A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由题意,可得,即函数为奇函数,进而求解.【详解】由,即,所以函数定义域为,关于原点对称,由,所以,则,即,所以函数为奇函数.由,所以.故选:C.二、多选题10.已知a>b>0,c>d>0,则下列不等式中一定成立的是(
)A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd D.【正确答案】ACD【分析】根据不等式的性质依次判断即可.【详解】对A,若a>b>0,c>d>0,则a+c>b+d,故A正确;对B,若a>b>0,c>d>0,如,则,故B错误;对C,若a>b>0,c>d>0,则ac>bd,故C正确;对D,若a>b>0,c>d>0,则,则,故D正确.故选:ACD.11.下列关系式正确的是(
)A. B. C. D.【正确答案】AD【分析】根据指数函数、幂函数的单调性,可得答案.【详解】对于A,由函数在内单调递增,则,故A正确;对于B,由函数在上单调递减,则,故B错误;对于C,由函数在上单调递减,则,故C错误;对于D,由函数在上单调递增,则,由函数在上单调递减,则,故D正确.故选:AD.12.若,化简的结果可能(
)A. B.. C. D.【正确答案】AC【分析】解不等式求的范围,结合根式的性质化简代数式即可【详解】由化简可得,所以,所以或,又,所以,当时,,当时,,故选:AC.13.函数性质描述正确的是(
)A.奇函数 B.偶函数 C.在上单调递减 D.在上单调递增【正确答案】BC【分析】利用奇偶函数的定义、二次函数的单调性判断作答.【详解】函数的定义域为R,,函数是偶函数,A错误,B正确;当时,,即函数在上单调递减,C正确;当时,,显然函数在上单调递增,由选项C知在上不单调,D错误.故选:BC14.已知,分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则下列选项中正确的是(
)A.和在上的单调性相同B.和在上的单调性相反C.和在上的单调性相同D.和在上的单调性相反【正确答案】BC【分析】利用函数奇偶性的定义,可求得和的解析式,进而得解.【详解】因为,分别是定义在上的偶函数和奇函数,所以,,因为,所以,即,两式联立,可得,,所以函数在上单调递减,在上单调递增,函数在上单调递减,所以和在上的单调性相同,在上的单调性相反.故选:BC.三、填空题15.已知命题:至少有一个实数,使.写出命题的否定______.【正确答案】任意的,【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】题:至少有一个实数,使,命题的否定为:任意的,.故任意的,.本题考查了特称命题的否定,属于简单题.16.已知定义域为R的函数,,则_.【正确答案】【分析】根据给定函数,直接代入计算函数值作答.【详解】依题意,,所以.故17.高一级共840名同学参加了数学单元测验,已知所有学生成绩的第80百分位数是85分,至少有____名学生的成绩大于或等于85分.【正确答案】168【分析】根据给定条件,结合百分位数的定义计算作答.【详解】将840名学生的成绩按照由小到大的顺序排列,85分为第80百分位数,则比85分少的人数占80%,因此成绩大于或等于85分的学生至少占20%,人数为,所以至少有168名学生的成绩大于或等于85分.故168四、双空题18.已知,则函数的最小值为________,此时值为________.【正确答案】
6
2【分析】先分离常数,然后再利用基本不等式即可求解.【详解】因为,所以,所以,当且仅当,即时取等号,所以的最小值为6,此时.故6;2.五、填空题19.若正数满足,则的最小值为______________.【正确答案】【分析】将已知等式左边因式分解,然后利用基本不等式求得的最小值.【详解】由得,,当且仅当时等号成立,所以的最小值为.故六、解答题20.已知集合,,,(1)求,,;(2)若是的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.【正确答案】(1);;(2)【分析】(1)先解出集合B,再由集合间的运算性质求解即可;(2)由题意可得,分和两种情况讨论即可.【详解】(1),,,又或,.(2)是的充分而不必要条件,,当时,有,即;当时,有,即,综上所述,实数m的取值范围为.21.求下列各式的值:(1);(2).【正确答案】(1)(2)【分析】(1)利用指数幂运算性质求解即可;(2)利用对数性质求解即可.【详解】(1).(2).22.某种型号的汽车在水泥路面上的刹车距离(m)与汽车行驶速度(km/h)之间有如下关系.(1)当汽车行驶速度为80km/h时,刹车距离为多少?(结果精确到0.01m);(2)在一次交通事故中测得刹车距离大于30m,那么这辆汽车刹车前的速度至少为多少?(,结果精确到0.01km/h).【正确答案】(1)m(2)km/h【分析】(1)根据函数关系式求解即可;(2)根据题意,列出不等式,进而即可求解.【详解】(1)由题意,当汽车行驶速度为80km/h时,即时,m.(2)由题意,,解得(舍去)或,所以这辆汽车刹车前的速度至少为km/h.23.某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示月收入在)(1)求居民月收入在的频率;(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数;(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析,则月收入在的这段应抽取多少人?【正确答案】(1)0.15;(2)中位数为2400(元),平均数为2400(元);(3)25人.(1)根据频率=小矩形的高×组距来求;(2)根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等,所以只需求出从左开始面积和等于0.5的底边横坐标的值即可,运用取中间数乘频率,再求之和,计算可得平均数;(3)求出月收入在[2500,3000)的人数,用分层抽样的抽取比例乘以人数,可得答案.【详解】(1)月收入在的频率为.(2)从左数第一组的频率为;第二组的频率为;第三组的频率为;∴中位数位于第三组,设中位数为,则.∴中位数为24
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