圆的有关性质

24.1圆的有关性质一、圆的概念1、圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。注：①圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上；②圆心为O、半径为的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。2、圆的两要素：圆心（定点）、半径（定长）。注：①同心圆：圆心重合、半径不同的圆是同心圆；②等圆：半径相等的圆是等圆。二、圆的相关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。2、直径：经过圆心的弦叫做直径。3、圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A,B为端点的弧记作AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。4、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。5、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。三、垂直于弦的直径1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。四、弧、弦、圆心角1、圆心角的概念：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弧、弦、圆心角之间的关系：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对应的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。五、圆周角1、圆周角的概念：把顶点在圆周，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角；2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；3、圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。（2）半圆所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。六、圆内接多边形1、圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。题型一圆的相关概念的理解【例1】到O点距离为2的点的集合是．【答案】以点O为圆心，以2为半径的圆【变式11】下列命题：①长度相等的弧是等弧；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④半圆是弧．其中真命题共有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】解：完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故①错误；直径是圆中最长的弦，故②正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以③错误；圆的直径的两个端点把圆周分成两条弧，每一条弧叫做半圆，故半圆是弧，符合半圆的概念，故④正确；综上分析可知，真命题有2个．故选：C．【变式12】下列条件中，能确定一个圆的是（

）A．以点O为圆心 B．以2cmC．以点O为圆心，10cm长为半径 D．经过点【答案】C【解析】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，∴C选项正确.【变式13】若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】解：∵若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，∴AB的长不可能是5，故选：D．【变式14】在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（

）A．2 B．5 C．1 D．5或1【答案】D【解析】解：分两种情况讨论：①如图1，当点P在圆外时，此时PA=6，PB=4，∴此圆的半径为6-42②如图2，当点P在圆内时，此时PA=6，PB=4，∴此圆的半径为6+42综上可知，此圆的半径为1或5，故选：D．题型二求圆中弦的条数【例2】如图，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】A【解析】解：图中的弦有BC，CE共2条．故选：A．【变式21】如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(

)A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】B【解析】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，故选B．【变式22】如图，在⊙O中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有条弦，它们分别是．【答案】三AE，DC，AD【解析】解：图中的弦有AE，DC，AD共三条【变式23】如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数有条．【答案】三【解析】解：根据弦的定义可得：图中的弦有AB，BC，CE共三条．【变式24】如图，△ABC是⊙O内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画山一条与BC相等的弦；（2）在图2中，画出一个与△ABC全等的三角形．【答案】见解析【解析】解：（1）如图1，DE为所作；连结CO并延长交⊙O于E，连接BO并延长交⊙O于D，连结∵OB=OD=OE=OC，在△BOC和△DOE中，OC=∴△BOC≌△DOE（SAS），∴BC=DE；（2）如图2，△A′B′C′为所作．连结AO并延长交⊙O于A′，OA=OA′，连结BO并延长交⊙O于B′，OB=OB′，连结CO并延长交⊙O于C′在△BOC和△B′OC′中，OC=∴△BOC≌△B′OC′（SAS），∴BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），∴AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），∴AC=A′C′，在△ABC和△A′B′C′中，AB=∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．题型三圆的周长和面积问题【例3】由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（

）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】C【解析】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积，即π×22【变式31】如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（

）A．2πR2 B．4πR2 C【答案】C【解析】解：因为四边形内角和为360°，所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积，即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为πR2【变式32】小丽用圆规画了一个半径为2cm的圆，小杰用12.56cm的线围成一个圆．下列说法正确的是（A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小【答案】A【解析】解：∵小丽用圆规画的圆的半径为2cm∴小丽用圆规画的圆的周长为：2×3.14×2=12.56cm∴小丽与小杰所得的圆一样大，故选：A．【变式33】圆的面积扩大为原来的4倍，则半径（

）A．扩大为4倍 B．扩大为16倍 C．不变 D．扩大为2倍【答案】D【解析】解：设原来圆面积为S，当圆的面积扩大为原来的4倍，即4S，根据圆面积公式S=πr2，那么4【变式34】如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．【答案】大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长，见解析【解析】解：大圆的周长=20π，两个小圆的周长和=2×∴大圆的周长＝两个小圆的周长和，∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长．题型四利用垂径定理求解【例4】如图，⊙O的半径为5,M是圆外一点，MO=6，∠OMB=30°,MB交⊙O于点A,B，则弦AB的长为（

）A．4 B．6 C．63 D．【答案】D【解析】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA=90°，∵MO=6，∠OMA=30°，∴OC=1在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC=∵OC⊥AB，∴BC=AC，即AB=2AC=2×4=8，故选：D．【变式41】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B．42 C．43 D【答案】C【解析】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4∴OC=2∴AC=OA∴AB=2AC=4【变式42】兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，高度CD为【答案】4【解析】解：根据题意得，在Rt△ADO中，AB=16m∴OC=OA=10m，AD∴CD=【变式43】如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点，则OP【答案】3【解析】解：当点P与点AB，重合时，此时OP最长，为⊙∵⊙O的直径为10∴OP的长的最大值为5cm当OP⊥AB时，如图：连接OA,则：AP=12在Rt△OPA中，∴3cm【变式44】在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是【答案】2或14【解析】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接∵AB∥∴OE⊥∵AB=12∴CE=8∵OA=∴由勾股定理得：EO=102∴EF=②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图，过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接同理EO=102EF=所以AB与CD之间的距离是2或14．题型五垂径定理的推理的理解【例5】如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则折痕AB的长为（

）A．3 B．23 C．6 D．【答案】D【解析】解：过点O作OC⊥AB与AB交于点D，交⊙O于点C根据题意可得：OD=∵OC⊥∴AD=BD在Rt△OAD中，AB=2AD=4【变式51】如图所示，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AM=BM,OM:OC=3:5，则AB的长为（

A．8cm B．91cm C．6cm【答案】A【解析】解：连接AO，∵⊙O的直径为10∴OA=∵OM:∴OM=3∵AM=∴OC⊥在Rt△OMA中，∴AB=2AM=8【变式52】如图，⊙O的弦AB=6，C为AB的中点，且OC=4，则⊙O的半径为（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】解：连接OA，OB，如图所示：∵OA和OB是⊙∴OA又∵C为AB的中点，且AB=6∴AC=1∴∠OCA在Rt△AOC中，∠OCA∴OA∴⊙O的半径为：5，故选C【变式53】如图，点A、B、C三点在⊙O上，点D为弦AB的中点，AB=8cm，CD=6cm，则A．43cm B．53cm C．83【答案】B【解析】解：连接OA，设OA=则OC=∵点D为弦AB的中点，O为圆心，∴OD∵AB∴AD∵CD∴OD在Rt△AOD中，由勾股定理得∴r解得r=∴OD=53【变式54】如图，已知在半圆AOB中，AD=DC，∠CAB=30°，AB=8，求AD的长．【答案】AD【解析】解：连接OD交AC于E，如图，∵AD=∴AD=∴OD⊥∴∠AEO∵∠CAB∴∠AOE而OA=∴△OAD∴AD=题型六垂径定理的实际应用【例6】一辆装满货物，宽2.4m的卡车，欲通过如图所示的隧道（截面上部为半圆形，下部为长4m，宽2.5mA．4.1m B．4.0m C．3.9m【答案】A【解析】解：∵车宽2.4米，∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高，在Rt△CD=OCCH=∴卡车的外形高必须低于4.1米.故选：A.【变式61】如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2A．5cm B．6cm C．7cm【答案】A【解析】作半径OD⊥AB于C，连接设圆的半径是rcm，∵CD=2∴OC=(∵OD⊥∴AC=∵OA∴r2∴r=5∴该输水管的半径为5cm，故选：A【变式62】唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子直径为（A．10m B．8m C．6m【答案】A【解析】解：设半径为r，则OA=∴OD∵AB∴AD在Rt△ODAOA2r2解得r=5则该桨轮船的轮子直径为10m，故选：A．【变式63】一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC=6，求水面的宽AB．【答案】16【解析】解：∵截面圆圆心O到水面的距离OC=6∴OC∴AB在Rt△BC=∴答：水面宽AB长为16．【变式64】如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为（

）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】D【解析】解：如图，以O为圆心，连接OC、由题意可得，D为弧AB的中点，∴∠AOD∵OA=∴OD⊥设OD=r，则在Rt△AOC中，OA∴r2解得：r=5∴主桥拱所在圆的半径5m由题意得，水面下降为EF，连接OE，∵水面下降1米，∴OG=则EG=∴EF=2EG=8m，即水面的宽度为题型七利用弧、弦、圆心角求解【例7】如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，AB=CD，∠CED=21°，则∠AOB的度数是（A．69° B．48° C．42° D．21°【答案】C【解析】解：连接OC,∵AB=∴∠AOB∵∠COD∴∠AOB=42°，故选：【变式71】如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是（A．37° B．74° C．53° D．63°【答案】C【解析】解：如下图，连接OA，∵A是劣弧DF的中点，即DA=∴∠DOA∵∠EOD∴∠DOA∵OD=∴∠ODA即∠CDA=53°．故选：【变式72】如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】解：如图所示，连接OC，∵点B是CD的中点，AB是⊙O∴AB⊥CD，∴CD=2∵AB=10∴OC=∵BG=2∴OG=3在Rt△COG中，由勾股定理得∴CD=2∵点C是BE的中点，∴BC=∴BC∴BE∴BE=CD=8【变式73】如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，OC交AB于点D．（1）若∠AOB=120°，则∠AOC=°；（2）若AB=8cm，则AD=cm【答案】604【解析】解：∵C是AB的中点，∠AOB∴AC∴∠AOC∵C是AB的中点，OC过圆心O，AB=8∴AD=BD=12AB=4【变式74】如图所示，A,B是半径为3的⊙O上的两点．若∠AOB=120°,C是AB的中点，则四边形AOBC的周长为．【答案】12【解析】解：连接OC，∵C是AB的中点，∴∠AOC∵∠AOB=120°∴∠AOC∵OA=∴△AOC和△BOC∴OA=OB∴四边形AOBC的周长等于为12．题型八利用弧、弦、圆心角求证【例8】如图所示，在⊙O中，AB=CD，则在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：∵在⊙O中，AB=∴AB=CD∵BC∴AC=BD，故∴AC=BD∴∠AOC=∠BOD综上分析可知，正确的有4个．故选：D．【变式81】如图，点A、B、C、D在⊙O中，且AB=AC，AC与【答案】相等，理由见解析【解析】AC与BD相等．理由如下：∵AB=∴AB即AC=∴AC=【变式82】如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，且AB=CD．求证：DE=BE．【答案】见解析【解析】证明：连接BD，∵AB∴AB∴AD=∴∠BDE∴DE【变式83】如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，证明AC=【答案】见解析【解析】解：∵∠AOB∴∠AOB即∠AOC∴AC=【变式84】如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．证明：E是OB的中点．【答案】证明见解析【解析】证明：连接AC，如图，∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴AC=∴AC=∵过圆心O的CF⊥∴AC∴AC=∴AC=则△ACD是等边三角形，又CF∴∠FCD∴在Rt△COE中，∴OE=∴点E为OB的中点．题型九圆心角的理解与圆弧度数【例9】下列图形中的角是圆心角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上，故选：A．【变式91】下列说法正确的是（）A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角B．圆心角α的取值范围是0°<α<180°C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角D．圆心角就是在圆心的角【答案】C【解析】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，∴A、D错误，C正确；∵圆心角α的取值范围是0°<α<360°，∴【变式92】如图△ABC中，∠C=90°,∠B=20°，以C为圆心，CA为半径A．30° B．40° C．45°【答案】B【解析】解：如图，连接CD,∵∠C∴∠A∵CD=∴∠A∴∠ACD∴AD的度数为：40°.故选【变式93】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，那么DE的度数是．【答案】34°【解析】解：连接CD，∵∠C=90°，∴∠BAC∵CA=∴∠CAD∴∠DCE∴DE的度数是34°.【变式94】如图，

AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，若∠AOC=75°，则【答案】30°【解析】连接OE，∵CE∥AB∴∠C∵OC∴∠E∴∠COE∴CE的度数是30°．题型十圆周角的理解与运用【例10】下列图形中的角是圆周角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角，选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．【变式101】如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，AB所对圆周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【答案】C【解析】解：由图可知：AB所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，故选C．【变式102】已知弦AB把圆周分成1:3两部分，则弦AB所对圆周角的度数为（

）A．45° B．135° C．90°或270° D．45°或135°【答案】D【解析】解：∵弦AB把圆周分成1:3两部分，∴劣弧AB的度数为：360°×14=90°优弧AB的度数为：360°×34=270°∴弦AB所对圆周角的度数为45°或135°；故选：D．【变式103】观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？【答案】特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角【解析】解：(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【变式104】如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求BE的度数【答案】68°【解析】解：连接OB，如图，∵OB=OC，OC=AB，∴OB=AB，∴∠A=∠BOA，∴∠EBO=∠A+∠BOA=2∠A，∵OB=OE，∴∠E=∠EBO=2∠A，∵∠EOD=∠E+∠A，∴2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°，∴∠E=∠EBO=56°，∴∠BOE=180°∠E∠EBO=180°56°56°=68°，∴BE的度数为68°．题型十一利用圆周角定理求解【例11】如图，AB、CD是⊙O的两条直径，点E是弧BD的中点，连接AC、BE，若A．40° B．44° C．50° D．55°【答案】D【解析】解：连接OE，如图所示，∵∠ACD∴∠AOD∵点E是弧BD的中点，∴∠DOE∵OE=∴∠ABE=∠OEB【变式111】如图，△ADC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，若∠A=66°，则∠BCD等于（

）A．66° B．34° C．24° D．14°【答案】C【解析】∵∠A∴∠B∵BC是⊙O∴∠BDC∴∠BCD=90°-66°=24°．故选：【变式112】如图，等边△ABC内接于⊙O，D是⊙O上的一点，∠CAD=45°，则∠BCD的度数是．【答案】15°【解析】解：∵△ABC∴∠ACB∵∠CAD∴∠BAD∴∠BCD【变式113】已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别