高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第17讲 3.2.1单调性与最大（小）值（教师版）

第03讲3.2.1单调性与最大（小）值课程标准学习目标①理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义．②掌握定义法证明函数单调性的步骤．③掌握函数单调区间的写法.④理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.⑤.会借助单调性求最值.⑥掌握求二次函数在给定区间上的最值．通过本节课的学习，要求掌握函数单调性的证明，会求常用函数的单调区间，会利用函数的单调性求函数的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值.知识点01：函数的单调性1、增函数与减函数1.1增函数一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasingfunction).1.2减函数一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasingfunction).2、函数的单调性与单调区间如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．3、常见函数的单调性函数单调性一次函数（）当时，在上单调递增当时，在上单调递减反比例函数（）当时，在和上单调递减当时，在和上单调递增二次函数（）对称轴为当时，在上单调递减；在上单调递增当时，在上单调递增；在上单调递减知识点02：函数单调性的判断与证明1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为①取值：任取，，且；②作差：计算；③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性2、图象法一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.3、性质法（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；（3）和的公共定义区间，有如下结论；增增增不确定增减不确定增减减减不确定减增不确定减【即学即练1】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知函数.(1)判断函数在上的单调性，并证明；【答案】(1)函数在上单调递减，理由见详解【详解】（1）函数在上单调递减；理由如下：取，规定；则因为，所以所以所以函数在上单调递减知识点03：函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：①，都有②，使得那么称是函数的最大值；2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：①，都有②，使得那么称是函数的最小值；知识点四：复合函数的单调性（同增异减）一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数：：令：和增增增增减减减增减减减增【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）当时，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，因为，所以，当时，函数单调递减，故，当时，即，所以，所以函数的值域为：.故选：C．题型01定义法判断或证明函数单调性【典例1】（2023·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（

）A．若为增函数，为增函数，则为增函数B．若为减函数，为减函数，则为减函数C．若为增函数，为减函数，则为增函数D．若为减函数，为增函数，则为减函数【答案】C【详解】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变，选项A,B正确；选项D:为增函数，则为减函数，为减函数，为减函数，选项D正确；选选C:若为增函数，为减函数，则的增减性不确定.例如为上的增函数，当时，在上为增函数；当时，在上为减函数，故不能确定的单调性.故选:C【典例2】（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数，且，．(1)求函数的解析式；(2)根据定义证明函数在上单调递增．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由已知，解得，；（2）任取，则，，，，即，函数在上单调递增.【变式1】（2023秋·高一课时练习）求证：函数在区间上是增函数.【答案】证明见解析【详解】证明：任取，.又，，.∴，则，即.∴在区间上是增函数.【变式2】（2023春·新疆乌鲁木齐·高一新疆师范大学附属中学校考开学考试）设函数．（1）用定义证明函数在区间上是单调减函数；【答案】（1）见解析；【详解】（1）任取，因为在上是单调减函数【变式3】（2023·全国·高一专题练习）求证：函数在区间上是减函数．【答案】证明见解析【详解】设，且，则,，且，又，,,即，故函数在区间是减函数.题型02求函数单调区间【典例1】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是.故选：B.【典例2】（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）函数的减区间是（

）A． B．C．， D．【答案】C【详解】由图象知单调减区间为，故选：.【变式1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图是函数的图象，则函数的减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为，，故选：D．题型03复合函数单调区间【典例1】（2023·高一课时练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故选：D.【典例2】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数的单调递减区间是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【详解】，则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；当，的单调递减区间为，故的单调递减区间是和.故选：B【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，则函数在上单调递增，所以函数的单调递减区间是.故选：A题型04根据函数的单调性求参数【典例1】（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______【答案】【详解】二次函数的图像开口向上，单调增区间为，又函数在区间上是增函数，则，解之得，则实数的取值范围是故答案为：【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为（）A． B． C．0 D．1【答案】A【详解】解：由题意可得，解得，∴整数a的取值可以为.故选：A【变式1】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知在上是增函数，则的取值范围是________．【答案】【详解】由于在上是增函数，所以，所以的取值范围是.故答案为：【变式2】（2023·全国·高一专题练习）“”是“函数在区间上为减函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】的图象如图所示，要想函数在区间上为减函数，必须满足，因为是的子集，所以“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件.故选：A题型05根据函数的单调性解不等式【典例1】（2023秋·高一课时练习）已知函数是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（

）A． B．(2，3)C．(1，2) D．(1，3)【答案】A【详解】∵是定义在R上的增函数，且，∴，解得，则a的取值范围为．故选：A．【典例2】（2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数在定义域上是减函数，且，则有解得，所以实数的取值范围是.故选：A．【典例3】（2023秋·云南保山·高一统考期末）已知定义在上的函数,满足,且当时,.(1)讨论函数的单调性,并说明理由;(2)若,解不等式.【答案】(1)在上单调递增,理由见解析(2)【详解】（1）解:在上单调递增,理由如下:因为定义域为,不妨取任意,且,则,由题意,即,所以在上单调递增.（2）因为,令,由可得:,即,由,可得,令,,则,所以不等式,即,即,由(1)可知在定义域内单调递增,所以只需,解得,所以不等式的解集为.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3)>f(－m)，则实数m的取值范围是（

）A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)【答案】D【详解】因为函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3)>f(－m)，所以，得，所以实数m的取值范围是(－∞，1)，故选：D【变式2】（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是______．【答案】【详解】函数是定义在上的减函数，且，∴，解得．故答案为：题型06根据单调性（图象）求最值或值域【典例1】（多选）（2023秋·云南怒江·高一校考期末）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A．的单调递减区间为B．的最大值为C．的最小值为D．的单调递增区间为【答案】ABC【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确；对于B，当时，，B正确；对于C，当时，，C正确；对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误.故选：ABC.【典例2】（2023春·重庆·高二统考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且．（1）求实数a，b，并确定函数的解析式；（2）判断在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论；（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需要说明理由）【答案】（1）（2）见解析（3）单调减区间为x=-1时，，当x=1时，．【详解】（1）是奇函数，．即，，，又，，，（2）任取，且，，，，，，在（-1，1）上是增函数．（3）单调减区间为当x=-1时，，当x=1时，.【变式1】（2023·全国·高一专题练习）设对任意的有，且当时，.(1)求证是上的减函数；(2)若，求在上的最大值与最小值.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）令，则有，令，则，设且，则，因为时，所以，所以是上的减函数.（2）由（1）：是上的减函数，所以在上单调递减，又，，所以.【变式2】（2023秋·高一单元测试）已知函数是上的偶函数(1)求实数的值，判断函数在,上的单调性；(2)求函数在,上的最大值和最小值．【答案】(1)，单调递增(2)最小值，最大值【详解】（1）若函数是上的偶函数，则，即，解得，所以，函数在上单调递减．（2）由（1）知函数在上单调递减，又函数是上的偶函数，所以函数在,上为增函数，所以函数在,上为增函数，在,上为减函数．又所以题型07根据函数的最值（值域）求参数【典例1】（2023·全国·高一专题练习）函数在时有最大值为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为时，，当且仅当，即时取“”，所以函数，解得，，所以．故选：C．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线，要使得当，函数的最大值为，则满足且，解得，所以实数的取值范围是.故选D.【典例3】（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】若时，，；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.故选：B【典例4】（2023·全国·高一专题练习）已知(1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数(2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）且，则，因为，所以，又因为，所以，因此，所以在是减函数；（2）由（1）可知，是减函数，所以时，取得最大值为，时，取得最小值为，因为最大值与最小值之差为1，所以，解得.【变式1】（2023·上海·高三专题练习）设若是的最小值，则的取值范围是.【答案】【详解】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则.【变式1】（2023秋·江西宜春·高一校考期末）已知函数.(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；(2)若在区间上有最大值3，求实数的值.【答案】(1)；(2)或.【详解】（1）的对称轴，要满足题意，只需，故实数的取值范围为.（2）当时，在单调递减，则在上的最大值为，令，解得；当时，在单调递增，在单调递减，则在上的最大值为，令，解得或，都不满足，故舍去；当时，在单调递增，则在上的最大值为，令，解得；综上所述，或.题型08二次函数最值问题（含参）【典例1】（2023·高一课时练习）已知函数的表达式，若，求函数的最值．【答案】答案见解析【详解】解：函数的图像的对称轴为直线．①当，即时，，；②当，即时，，；③当，即时，，；④当，即时，，．∴，.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足，且．(1)求的解析式；(2)求函数在区间，上的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）设，则，因为，所以，故，解得：又所以，所以；（2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为．当时，，所以此时函数的最大值为；当时，，所以此时函数的最大值为；综上：．【变式1】（2022秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知函数（）的最小值为–1．(1)求实数a的值；(2)当，时，求函数的最小值．【答案】(1)2(2)答案详见解析【详解】（1）∵函数，∴函数的图象开口向上，对称轴为直线．∴，解得或（舍）．∴实数a的值为2．（2）由（1）知函数的图象开口向上，对称轴为直线．①当，即时，函数在区间上为减函数，∴；②当时，函数在区间上为增函数，∴；③当，即时，易知．综上，当时，；当时，；当时，．【变式2】（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）已知函数，求函数在区间上的最小值【答案】【详解】，（1）当，即时，，（2）当，即时，，（3）当即时，，【变式3】（2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知函数．(1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若，求时的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）的开口向上，对称轴为，由于函数在上是增函数，所以，所以的取值范围是.（2）当时，，开口向上，对称轴为，所以，当时，在时取得最小值，即；当，时，在时取得最小值，即；当时，在时取得最小值，即.所以.题型09函数不等式恒成立问题【典例1】（2023秋·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）已知.(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)若，解不等式.【答案】(1)(2)解集见解析【详解】（1）变形得到对一切实数x恒成立，当时，，不对一切实数x恒成立，舍去；当时，则需，解得，综上，实数a的取值范围是；（2），即，因为，所以，因为，所以当时，，解集为，当时，，解集为，当时，，解集为，综上：当时，的解集为，当时，的解集为，当时，的解集为.【典例2】（2023·江苏·高一专题练习）已知函数，(1)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明；(2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，理由见解析；(2).【详解】（1）在上单调递减，在上单调递增，理由如下：取，且，，因为，，故，，，所以，所以在上单调递减；取，且，，因为，，故，，，所以，所以在上单调递增；（2）若对任意的时，恒成立，时，无意义，舍去，当时，，此时无解，舍去，所以，只需求出的最大值，当时，单调递减，当时，单调递增，故，又因为，，故，故，所以，因为，故解得：或实数的取值范围是.【变式1】（2023·高一课时练习）已知函数.(1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【详解】（1）解法一：对任意的，恒成立，即恒成立，即对任意的恒成立.①当时，不等式为恒成立，此时；②当时，，∵，∴，∴，当且仅当时，即时取“=”，∴，综上，a的取值范围为；解法二：由题可得对任意成立，所以，对于二次函数，对称轴为轴，当时，函数在上单调递增，则，解得；当时，则，解得；当时，函数在上单调递减，则，无解，综上，a的取值范围为；（2）由题可得，则当时，不等式恒成立，则，整理得：，解得：或，∴x的取值范围为或.题型10函数不等式有解问题【典例1】（2023·高一课时练习）已知函数(1)解关于的不等式；(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)或.【详解】（1）由题设，当时，，故不等式解集为；当时，，故不等式解集为；当时，，故不等式解集为；（2）由题设，在上，要使任意的，总存在，使成立，所以是值域的子集，显然时不满足题设，或，可得或.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值为3，最小值为．(1)求的解析式；(2)若，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）的开口向上，对称轴为，所以在区间上有：，即，所以.（2）依题意，使得，即，由于，，当且仅当时等号成立.所以.【变式1】（2023·高一单元测试）若存在实数，使得不等式成立，求x的取值范围．【答案】或【详解】原不等式可化为.设，当时，恒成立，满足题意；当时，恒成立，不满足题意；当时，函数单调递增，要使不等式成立，则应有，即有，解得，或；当时，函数单调递减，要使不等式成立，则应有，即有，解得，.综上所述，x的取值范围为或.【变式2】（2023·高一课时练习）已知，其中为常数．(1)若的解集为或，求的值；(2)使，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：即为，因为的解集为或，所以，方程的实数根为，所以，根据韦达定理得，即所以.（2）解：因为使，所以，，因为时，，当且仅当时等号成立，由对勾函数的性质可得在上单调递增，所以，所以，解得所以，实数的取值范围为.题型11重点方法（分类讨论）【典例1】（2023·高一课时练习）定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的值是__________．【答案】【详解】若在上的最大值为4，所以由，解得或，所以要使函数最大值为4，则根据新定义，结合与图像可知，当，时，，此时解得，当，时，，此时解得，故或4，故答案为：或4.

【典例2】（2023·全国·高三对口高考）设的定义域为，对于任意实数，则的最小值__________．【答案】【详解】可化为，当，即时，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，当，即时，函数在上单调递增，所以当时，函数取最小值，最小值为，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取最小值，最小值为，所以，故答案为：.题型12数学思想方法（数形结合）【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意，函数在时为单调递增，即，解得；易知，二次函数是开口向上且关于对称的抛物线，所以为单调递增；若满足函数在上单调递增，则分段端点处的函数值需满足，如下图所示：所以，解得；综上可得.故选：A【典例2】（2023·全国·高三对口高考）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【详解】若存在，使得成立，则说明在上不单调，当时，，图象如图，满足题意；当时，函数的对称轴，其图象如图，满足题意；当时，函数的对称轴，其图象如图，要使在上不单调，则只要满足，解得，即.综上，.故选：D.3.2.1单调性与最大（小）值A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·广东·高三统考学业考试）在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】A选项在上是增函数；B选项在是减函数，在是增函数；C选项在是减函数；D选项在是减函数，在是增函数；故选C.2．（2023秋·江苏扬州·高一期末）的图象大致是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题设，故上递减，上递增，且最小值，根据各选项图象知：B符合要求.故选：B3．（2023秋·高一课时练习）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数的单调递增区间是，依题意，，所以，即实数的取值范围是.故选：D4．（2023·江苏·高一专题练习）关于的不等式的解集为，且不等式恒成立，则实数t的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意知方程的两根为，，则，即，，当且仅当即时，等号成立；设，则在上单调递增，故，又不等式恒成立，即，，故实数t的取值范围为故选:D.5．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知函数若，则的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增故选：D6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则a的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】由已知得当时，，值域为；当时，，值域为；∵函数的值域为，∴，则a的最小值为1.故选：A.7．（2023秋·高一课时练习）已知函数，对于任意的恒成立，则实数的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】对于任意的使恒成立，令（），则，即，设，则，故，即实数m的最小值是.故选：.8．（2023春·广东河源·高一龙川县第一中学校考期中）设函数，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意得：函数在上是减函数在上单调递减，则当时，当时，故，解得，所以的取值范围为故选：B二、多选题9．（2023春·甘肃武威·高一统考开学考试）下列函数中，在上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】画出函数图象如图所示，由图可得A，D中的函数在上单调递增，B，C中的函数在上不单调．故选:AD．10．（2023秋·高一课时练习）下列函数中满足“对任意，∈(0,＋∞)，都有＞0”的是(

)A．＝－ B．＝－3＋1C．＝＋4＋3 D．＝－【答案】ACD【详解】因为“对任意，∈(0，＋∞)，都有＞0”，所以不妨设，都有，所以为(0,＋∞)上的增函数.对于A：＝－在(0,＋∞)上为增函数，故A正确;对于B：＝－3＋1在(0,＋∞)上为减函数，故B错误;对于C：＝＋4＋3对称轴为=，开口向上，所以在(0,＋∞)上为增函数，故C正确;对于D：＝－，因为在(0,＋∞)上为增函数，在(0,＋∞)上为增函数，所以＝－在(0,＋∞)上为增函数，故D正确;故选:ACD三、填空题11．（2023·高一课时练习）已知函数是上的严格减函数，则的取值范围是______．【答案】【详解】因为函数是上的严格减函数，所以，即.故答案为：.12．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）函数的单调减区间为__________.【答案】/【详解】函数是由函数和组成的复合函数，，解得或，函数的定义域是或，因为函数在单调递减，在单调递增，而在上单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．故答案为：.四、解答题13．（2023·高一课时练习）已知在上的图像如图所示.（1）指出的单调区间.（2）分别指出在区间及上的最大、最小值.【答案】（1）和为单调递增区间；、和为单调递减区间，（2）区间上，最大值为，最小值为；区间上，最大值为，最小值为.【详解】（1）如图，由图像可以得出：和为单调递增区间；、和为单调递减区间，（2）如图，由图像可以得出：当时，，；当时，，.14．（2023·高一课时练习）己知函数为定义在上的减函数，且，试求实数m的取值范围．【答案】【详解】函数是定义在上的减函数，且，∴，解得．故实数m的取值范围为.15．（2023·全国·高三专题练习）利用定义证明函数在区间上为减函数.【答案】证明见解析【详解】任取且，则，因为且，可得，所以，即，即，所以函数是上的减函数.B能力提升1．（2023·全国·高三对口高考）对于任意，函数的值恒大于零，则x的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【详解】对任意，函数的值恒大于零设，即在上恒成立.在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.则只需线段的两个端点在轴上方，即，解得或.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对任意的实数，都有,即成立，可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；可得：，解得，故选：C3．（2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【详解】因为存在常数，使得对任意，都有，所以函数的周期为，当时，函数在单调递减，所以当时，函数在上单调递减，因为在区间上单调递减，所以有，故选：B4．（2023春·天津河东·高二天津市第七中学校考阶段练习）若函数是定义在上的增函数，且对一切，，满足，则不等式的解为______．【答案】【详解】，取，，得到，即，，即，函数是定义在上的增函数，故，解得.故答案为：.5．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数，当时，，则，则，函数在的值域记为，对任意的，存在，使，则，①当时，，则，则；②当时，因为，则，则，所以，，解得；③当时，因为，则，即，所以，，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.C综合素养1．（多选）（2023秋·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）（多选）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（）A．B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集为【答案】ACD【详解】因为，则有，令，则，则，故A正确；令，则，令