高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第05讲 1.5全称量词与存在量词（教师版）

第05讲1.5全称量词与存在量词课程标准学习目标①理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念，能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法.②理解含有一个量词的命题的否定的意义，能准确表达含有一个量词的命题否定的数学要求1．通过学习能准确判定全称量词命题与存在量词命题的真假性，会用数学符号准确表达题的具体要求.2．能根据题的具体要求准确写出两类量词命题的否定，会求在两类量词命题中的待定参数.以及与两类量词有关的命题的综合问题.知识点01：全称量词与全称量词命题概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.对全称量词与全称量词命题的理解(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.知识点02：存在量词与存在量词命题概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为.对存在量词与存在量词命题的理解(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”.(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.知识点03：全称量词命题和存在量词命题的否定1全称量词命题及其否定（高频考点）①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.②全称量词命题的否定：.2存在量词命题及其否定（高频考点）①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.②存在量词命题的否定：.【即学即练1】（2023春·陕西宝鸡·高一校联考阶段练习）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由全称命题的否定知原命题的否定为．故选：C．知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等于（）大于（）小于（）是否定词语不等于（）不大于（）不小于（）不是正面词语都是任意的所有的至多一个至少一个否定词语不都是某个某些至少两个一个也没有题型01判断全称命题与特称命题【典例1】（2023秋·陕西西安·高一校考期末）下列语句不是全称量词命题的是（

）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【答案】C【详解】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.【典例2】（多选）（2023秋·陕西西安·高一统考期末）关于命题“”，下列判断正确的是（

）A．该命题是全称量词命题 B．该命题是存在量词命题C．该命题是真命题 D．该命题是假命题【答案】BC【详解】是存在量词命题，A选项错误B选项正确；时，成立，命题为真命题，即C正确D错误.故选：BC【变式1】（2023·全国·高三专题练习）下列命题是特称命题的是（）①有一个实数a，a不能取对数；②所有不等式的解集A，都有A⊆R；③有些向量方向不定；④矩形都是平行四边形.A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】A【详解】①中含有存在量词“有一个”；②中含有全称量词“所有”；③中含有存在量词“有些”；④中含有存在量词“都是”．故①③是特称命题.故选：A.题型02全称命题与特称命题的否定【典例1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）命题，，则命题的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】由题意得，为全称量词命题，故命题p的否定是，，故选：A【典例2】（2023春·安徽滁州·高一校考开学考试）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】∵命题“，”为特称命题，特称命题的否定是全称命题，∴命题“，”的否定是“，”．故选：B【典例3】（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校联考阶段练习）命题“对任意的，有”的否定是（

）A．不存在，使 B．存在，使C．存在，使 D．对任意的，【答案】C【详解】“对任意的，有”，即“对任意的，有”，其否定为“存在，使”，故选：C.【典例4】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）命题，，则命题的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】解：因为命题，是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即，，故选：B【变式1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）命题“，”的否定是______.【答案】，【详解】由全称命题的否定形式可得：“，”的否定是“，”.故答案为：，.题型03全称命题、特称命题与充分（必要）条件【典例1】（2023·重庆·统考模拟预测）命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】若命题“”是真命题，则，可知当时，取到最大值，解得，所以命题“”是真命题等价于“”.因为，故“”是“”的必要不充分条件，故A正确；因为，故“”是“”的充要条件，故B错误；因为，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；因为与不存在包含关系，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故D错误；故选：A.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，；，则是的______条件．（在充分不必要､必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入）【答案】必要不充分【详解】因为，为真命题等价于不等式在上恒成立，当时，显然不成立；当时，，解得，综上，实数的取值范围为，所以，又因为，所以p是q的必要不充分条件．故答案为：必要不充分.【典例3】（2023春·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）已知命题:“，不等式”是真命题.(1)求实数的取值集合；(2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；（2）【详解】解：（1）命题：，都有不等式成立是真命题，∴，即在时恒成立，又当时，∴，即；（2）不等式，故∵是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，解得，故实数a的取值范围为.【变式1】（2023春·甘肃张掖·高一统考期末）已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：依题意，全称量词命题：为真命题，所以，在区间上恒成立，所以，所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”.故选：B【变式2】（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考期中）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为命题“，”是真命题，所以，恒成立，所以，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，故选：B题型04根据全称命题与特称命题的真假求参数【典例1】（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）若命题“时，”是假命题，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为命题“时，”是假命题，所以命题“时，”是真命题，即有，易知当，有最小值0,所以.故选：C【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意命题“，”为真命题，当时，成立，当时，成立，当时，函数开口向下，不恒成立.综上所述，.故选：B【典例3】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是________.【答案】【详解】由题意得：“，使得”是真命题，即，解得：，故实数的取值范围是.故答案为：【典例4】（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知“，”为假命题，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】因命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，当时，恒成立，则；当时，必有，解得，综上，实数a的取值范围是.故答案为：【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若命题“”是假命题，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题，若，即或，当时，不等式为，恒成立，满足题意；当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；当时，则需要满足，即，解得，综上所述，的范围是，故选：B.【变式2】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）若为真命题，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】因为为真命题，当时，即，成立；当时，即，解得综上所述，的取值范围是故答案为:题型05重点方法（判别法）【典例1】（2023春·四川达州·高二校考阶段练习）已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意可知，命题“”是假命题则该命题的否定“”是真命题，所以，解得；故选：D.【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）命题“，使”是假命题，则实数m的取值可以为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】CD【详解】若，使是假命题，则，使是真命题，当时，转化，不合题意；当时，则，解得，综上，.故选：CD.【典例3】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考期中）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是____．【答案】[2，6]【详解】由命题“”的否定为“”，因为命题“”为假命题，则“”为真命题，所以，解得，则实数的取值范围是.故答案为：.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围是_________．【答案】【详解】“，”为假命题则“，”为真命题，①当时，，成立；②当时，，解得；综上所述，.故答案为：.题型06重点方法（变量分离法）【典例1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知．若p为假命题，则a的取值范围为(

)A． B． C． D．【答案】A【详解】因为p为假命题，所以，为真命题，故当时，恒成立．因为当时，的最小值为，所以，即a的取值范围为．故选：A.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）命题：，为真命题的一个充分条件是_________．【答案】（不唯一，集合的子集即可）【详解】解：因为，对于，为真命题，所以，对于，恒成立，所以，对于，恒成立，因为，对勾函数的最大值为，所以，对于，恒成立，则所以，命题为真命题时，的取值范围是，所以，命题：，为真命题的一个充分条件可以是（不唯一，集合的子集即可）故答案为：（不唯一，集合的子集即可）【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.【答案】【详解】由题意可知命题“，”是真命题，即，.因为，所以，则.故答案为：.1.5全称量词与存在量词A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023春·辽宁·高三校联考期中）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】根据全称量词命题的否定形式可知，命题“，”的否定为，.故选：C2．（2023·青海西宁·统考一模）已知命题，，则p的否定为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题，得p的否定为.故选：A.3．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴赫猜想的否定为（

）A．任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和B．任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和C．至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和D．至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和【答案】D【详解】哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和”．故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由命题“”为假命题，则该命题的否定：“”为真命题，也即，所以，所以为该命题的一个充分不必要条件，故选：C.5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知命题，，若为真命题，则a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】：，，因为为真命题，则，即.故选：C.6．（2023秋·江西吉安·高一江西省安福中学校考期末）已知命题“，使得”是真命题，则的取值范围是（

）A． B．C． D．或【答案】D【详解】因为命题“，使得”是真命题，所以方程有两个不等的实数根，所以，解得：或，故选：.7．（2023·全国·高三专题练习）命题：“”为假命题，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】命题为假命题，即命题为真命题.首先，时，恒成立，符合题意；其次时，则且，即，综上可知，－4<故选：A8．（2023·全国·高三专题练习）命题“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为（

）A．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立B．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立C．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立D．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立【答案】D【详解】“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为：a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立.故选：D二、多选题9．（2023秋·湖南娄底·高一校考期末）下列命题为真命题的是（

）A．“”是存在量词命题 B．C． D．“全等三角形面积相等”是全称量词命题【答案】ABD【详解】“”是存在量词命题，选项A为真命题．，选项B为真命题．因为由得，所以选项C为假命题．“全等三角形面积相等”是全称量词命题，选项D为真命题．故选：ABD10．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）下列命题的否定中，是真命题的有（

）A．某些平行四边形是菱形 B．C． D．有实数解【答案】BD【详解】对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B，因为，所以原命题是假命题；对于C，，是真命题；对于D，只有，即或时，有实数解，是假命题；根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命题.故选：BD三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为_____．【答案】【详解】命题“，使”是假命题，则命题，恒成立为真命题，所以当时，，不恒成立，当时，需满足可得，解得，故的范围为．故答案为：．12．（2023·全国·高三专题练习）若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是________．【答案】【详解】试题分析：因为命题“存在”的否定是“对任意”．命题的否定是真命题，则四、解答题13．（2023春·福建南平·高二福建省南平市高级中学校考期中）已知集合（1）若，求实数m的取值范围.（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）①当B为空集时，成立.②当B不是空集时，∵，，∴综上①②，.（2），使得，∴B为非空集合且.当时，无解或，，