苏教版数学选修2-2讲义第1章1.31.3.1单调性Word版含答案

1.3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性学习目标核心素养1.利用导数研究函数的单调性．(重点)2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．(难点)3．由单调性求参数的取值范围．(易错点)1.通过对导数与函数单调性关系的学习，培养数学抽象，直观想象素养．2．通过利用导数证明单调性、求单调区间等，培养数学运算素养.1．函数的单调性与其导数的关系(1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0f(x)为该区间上的增函数f′(x)<0f(x)为该区间上的减函数(2)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)在这个区间内是常数函数．2．导数与函数图象间的关系(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．(2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些．思考：利用导数求函数的单调区间，需要先确定什么？[提示]函数的定义域．函数的单调区间是函数定义域的子集．1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)D[f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)·(ex)′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0可得x>2，故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．选D.]2．设f(x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,x)(x<0)，则f(x)的单调递减区间为()A．(－∞，－2) B．(－2,0)C．(－∞，－eq\r(2)) D．(－eq\r(2)，0)D[f′(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,x2)，令f′(x)<0可得，－eq\r(2)<x<eq\r(2)，又x<0，∴－eq\r(2)<x<0.选D.]3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________．(0，＋∞)[∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1.由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]4．函数y＝ax3－1在(－∞，＋∞)内是减函数，则a的取值范围为__________．(－∞，0)[因为y′＝3ax2≤0恒成立，解得a≤0.而a＝0时y＝－1不是减函数，所以a<0.]判断(证明)函数的单调性【例1】(1)求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．(2)判断函数f(x)＝eq\f(lnx,x)在区间(0,2)上的单调性．[解](1)证明：由于f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，ex>1，即f′(x)＝ex－1>0.故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0.故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．(2)由于f(x)＝eq\f(lnx,x)，所以f′(x)＝eq\f(\f(1,x)·x－lnx,x2)＝eq\f(1－lnx,x2).由于0<x<2，所以lnx<ln2<1，x2>0.故f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)>0.∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数．1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒成立．2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论．1．证明：函数y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．[证明]显然函数的定义域为{x|x>0}，又f′(x)＝(lnx＋x)′＝eq\f(1,x)＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝eq\f(ex,x－2)；(3)f(x)＝－x3＋3x2.[思路探究]首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间．[解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝eq\f(\r(2)x－1\r(2)x＋1,x).因为x>0，所以eq\r(2)x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>eq\f(\r(2),2)，所以函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))；由f′(x)<0，解得x<eq\f(\r(2),2)，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝eq\f(exx－2－ex,x－22)＝eq\f(exx－3,x－22).因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．当0<x<2时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；当x<0或x>2时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围；当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．2．若函数f(x)＝x2－2x－4lnx，则函数f(x)的单调递增区间为________．(2，＋∞)[由已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2x2－2x－4,x)，由f′(x)>0得x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，又x>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]已知函数的单调性求参数的取值范围[探究问题]1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？[提示]不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．2．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？[提示]f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．【例3】已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．[思路探究]eq\x(fx单调递增)→eq\x(f′x≥0恒成立)→eq\x(分离参数求a的范围)[解]由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的取值范围．[解]f′(x)＝3x2－a，①当a≤0时，f′(x)≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意．②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±eq\f(\r(3a),3)，当－eq\f(\r(3a),3)＜x＜eq\f(\r(3a),3)时，f′(x)＜0.∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3a),3)，\f(\r(3a),3)))上为减函数，∴f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3a),3)，\f(\r(3a),3)))，∴eq\f(\r(3a),3)＝1，即a＝3.2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的取值范围．[解]由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－1≤0，,f′1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a≤0，,3－a≤0，))∴a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的取值范围．[解]∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±eq\f(\r(3a),3)(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜eq\f(\r(3a),3)＜1，即0＜a＜3.故a的取值范围为(0,3)．1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．1．求函数单调区间应遵循“定义域优先”原则．2．由函数单调性求参数范围时，函数单调递增⇒f′(x)≥0，函数单调递减⇒f′(x)≤0，不要忽略“等号”.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0.()(2)函数f(x)＝eq\f(1,x)在其定义域上是单调减函数．()(3)函数f(x)＝x3－2x在(1，＋∞)上单调递增．()(4)若存在x∈(a，b)有f′(x)＝0成立，则函数f(x)为常数函数．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()C[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上为增函数，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.]3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．(1,2)[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.]4．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)ax2＋2x，a≠0.若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．[解]h(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝eq\f(1,x)－ax－2.因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以x∈[1,4]时，h′(x)＝eq\f(1,x)－ax－2≤0恒成立，即a≥eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)恒成立，令G(x)＝eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)，所以a≥G(x)最大值，而G(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2－1.因为x∈[1,4]，所以eq\f(1,x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co