重庆市七校联盟2023-2024学年高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析

重庆市七校联盟2023-2024学年高二数学第一学期期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，2．已知圆C的方程为，点P在圆C上，O是坐标原点，则的最小值为（）A.3 B.C. D.3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（）A.3 B.4C.6 D.114．若，则（）A.0 B.1C. D.25．抛物线的焦点到其准线的距离是（）A.4 B.3C.2 D.16．计算复数：（）A. B.C. D.7．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.8．平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（）A.，平行 B.，垂直C.，重合 D.，相交不垂直9．已知直线与垂直，则为（）A.2 B.C.-2 D.10．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线（曲线与曲线）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线与曲线中间最窄处间的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且，则（）A. B.C. D.11．定义运算：．已知，都是锐角，且，，则（）A. B.C. D.12．已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数为（）①②③A.0 B.1C.2 D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，正方形ABCD的边长为8，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL.依此方法一直继续下去.①从正方形ABCD开始，第7个正方形的边长为___；②如果这个作图过程可以一直继续下去，那么作到第n个正方形，这n个正方形的面积之和为___.14．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距________________15．若复数z=为纯虚数（），则|z|=_____.16．若函数的递增区间是，则实数______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的首项，，，.（1）证明：为等比数列；（2）求数列的前项和18．（12分）如图，在几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，，且是的中点.（1）求证:平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，直线与平面ABCD所成角的正弦值为.E，F分别为、的中点.（1）求证：平面BED；（2）求直线与平面FAC所成角的正弦值.20．（12分）已知等差数列满足：，（1）求数列的通项公式，以及前n项和公式；（2）若，求数列的前n项和21．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是(为参数（1）求直线和曲线的普通方程；（2）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求22．（10分）已知函数.（1）当时，证明：函数图象恒在函数的图象的下方；（2）讨论方程的根的个数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设平面的法向量是，，，由可求得法向量.【详解】在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，设平面的法向量是，，，则，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故选：.2、B【解析】化简判断圆心和半径，利用圆的性质判断连接线段OC，交圆于点P时最小，再计算求值即得结果.【详解】化简得圆C的标准方程为，故圆心是，半径，则连接线段OC，交圆于点P时最小，因为原点到圆心的距离，故此时.故选：B.3、A【解析】利用椭圆的定义可得，再结合条件即求.【详解】由椭圆的定义可知，因为，所以，因为点分别是线段，的中点，所以是的中位线，所以.故选：A.4、D【解析】由复数的乘方运算求，再求模即可.【详解】由题设，，故2.故选：D5、C【解析】由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2.故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.6、D【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简可得结论.【详解】故选：D.7、B【解析】根据向量加法和减法法则即可用、、表示出.【详解】故选：B.8、B【解析】根据可判断两平面垂直.【详解】因为，所以，所以，垂直.故选：B.9、A【解析】利用一般式中直线垂直的系数关系列式求解.【详解】因为直线与垂直，故选：A.10、D【解析】依题意以双曲线的对称中心为坐标原点建系，设双曲线的方程为，根据已知求得，点纵坐标代入计算即可求得横坐标得出结果.【详解】以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，因为双曲线的离心率为2，所以可设双曲线的方程为，依题意可得，则，即双曲线的方程为.因为，所以的纵坐标为18.由，得，故.故选：D.11、B【解析】，只需求出与的正、余弦值即可，用平方关系时注意角的范围.【详解】解：因为，都是锐角，所以，，因为，所以，即，，所以，，因为，所有，故选：B.【点睛】信息给予题，已知三角函数值求三角函数值，考查根据三角函数的恒等变换求值，基础题.12、C【解析】根据等差数列的定义判断【详解】设的公差为，则，是等差数列，，是常数列，也是等差数列，若，则不是等差数列，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.1②.【解析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得，然后根据等比数列的通项公式及等比数列的前n项和的公式即可求解.【详解】设第n个正方形的边长为，第n个正方形的面积为，则第n个正方形的对角线长为，所以第n+1个正方形的边长为，，∴数列{}是首项为，公比为的等比数列，，∴，即第7个正方形的边长为1；∴数列{}是首项为，公比为的等比数列，故答案为：1；.14、【解析】首先构造二面角的平面角，如图，再分别在和中求解.【详解】作，且，连结，，，，平面且，四边形时平行四边形，，平面，平面，中，,中，.故答案为：15、【解析】利用复数z=为纯虚数求出a，即可求出|z|.【详解】z=.由纯虚数的定义知，，解得.所以.故|z|=.故答案为：.16、【解析】求得二次函数的单调增区间，即可求得参数的值.【详解】因为二次函数开口向上，对称轴为，故其单调增区间为，又由题可知：其递增区间是，故.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用等比数列的定义即可证明.（2）利用错位相减法即可求解.【小问1详解】当时，，所以：数列是公比为3的等比数列；【小问2详解】由（1）知，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列，所以：，所以：，，所以，①所以，②①②可得.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点F，连接EF，，由四边形是平行四边形即可求解；（2）采用建系法，以为轴，为轴，垂直底面方向为轴，求出对应点坐标，结合二面角夹角余弦公式即可求解.【小问1详解】取的中点F，连接EF，，∵，∴，且，∴，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面；【小问2详解】取AC的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，∴，.设平面的法向量是，则，即，令，得，易知平面的一个法向量是，∴，又二面角是钝二面角，∴二面角的余弦值为.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明垂直于平面BED内的两条相交直线，即可得到答案；（2）分别以OB，OC，OE为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，平面FAC的一个法向量为，代入向量的夹角公式，即可得到答案；【小问1详解】∵ABCD为菱形，∴，设AC与BD的交点为O，则OE为的中位线，∴.由题意得平面ABCD，∴平面ABCD，而AC平面ABCD中，∴.又，∴平面BED.小问2详解】∵ABCD为菱形，，∴为正三角形，∴.∵平面ABCD，∴与平面ABCD所成角，由，得，所以.如图，分别以OB，OC，OE为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则，，，，，，，设平面FAC的法向量为，则由可得，取，故可得平面FAC的一个法向量为，记直线与平面FAC的夹角为，则20、（1），（2）【解析】（1）由，，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式，利用公式可得.（2）由（1）求得，结合“裂项法”求和，即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1）知，可得，所以数列的前项和：.【点睛】关键点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“裂项法”求和的应用，解答本题的关键是将的通项裂成两项的差，利用裂项相消求和，属于中档题.21、（1），（2）4【解析】（1）根据，即可将直线的极坐标方程转化为普通方程；消参数，即可求出曲线的普通方程；（2）由题意易知，求出直线的参数方程，将其代入曲线的普通方程，利用一元二次方程根和系数关系式的应用，即可求出结果【小问1详解】解：直线极坐标方程为，即，又，可得的普通方程为，曲线的参数方程是(为参数，消参数，所以曲线的普通方程为【小问2详解】解：在中令得，，倾斜角，的参数方程可设为，即（为参数），将其代入，得，，设，对应的参数分别为，，则，，，异号，.22、（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】（1）构造函数，利用导数判断单调性，并求出函数的最大值小于零，即，即